نظرية الطابور: التاريخ ، النموذج ، ما هي وأمثلة - رياضيات - 2025

في نظرية الطابور هي فرع من فروع الرياضيات التي دراسات الظواهر والسلوكيات في خطوط الانتظار. يتم تحديدها عندما يقرر المستخدم الذي يطلب خدمة معينة الانتظار حتى تتم معالجة الخادم.

دراسة العناصر الموجودة في طوابير الانتظار من أي نوع سواء كانت عناصر بشرية أو معالجة بيانات أو عمليات. إن استنتاجاته قابلة للتطبيق المستمر في خطوط الإنتاج والتسجيل والمعالجة.

خط Pexels

تعمل قيمها في تحديد المعاملات قبل تنفيذها ، حيث تعمل كعنصر تنظيمي رئيسي لإدارة التخطيط الصحيحة.

التاريخ

كان المسؤول الرئيسي عن تطويرها عالم الرياضيات الدنماركي المولد Agner Kramp Erlang ، الذي عمل في شركة الاتصالات السلكية واللاسلكية في كوبنهاغن لتبادل الهاتف.

وأشار أغنر إلى الاحتياجات المتزايدة الناشئة في نظام تقديم الخدمات الهاتفية للشركة. لهذا بدأت دراسة الظواهر الرياضية التي يمكن قياسها كمياً في نظام خط الانتظار.

كان أول إصدار رسمي له هو مقال بعنوان "نظرية الانتظار" ، والذي نُشر عام 1909. كان تركيزه موجهًا بشكل أساسي إلى مشكلة تغيير حجم الخطوط ومراكز تبديل الهاتف لخدمة الاتصال.

النموذج والعناصر

هناك نماذج مختلفة لقوائم الانتظار حيث تكون بعض الجوانب مسؤولة عن تحديد وتوصيف كل منها. قبل تحديد النماذج ، يتم تقديم العناصر التي يتكون منها كل نموذج قائمة انتظار.

-عناصر

مصدر الدخول أو السكان المحتملين

هي مجموعة المتقدمين المحتملين للخدمة. ينطبق هذا على أي نوع من المتغيرات ، من المستخدمين البشريين إلى مجموعات حزم البيانات. يتم تصنيفها إلى نهائية ولانهائية اعتمادًا على طبيعة المجموعة.

الذيل

يشير إلى مجموعة العناصر التي هي بالفعل جزء من نظام الخدمة. التي وافقت بالفعل على انتظار توافر المشغل. إنهم في حالة انتظار قرارات النظام.

- نظام الذيل

وهي مكونة من ثالوث مكون من قائمة الانتظار وآلية الخدمة ونظام قائمة الانتظار. يعطي هيكلًا لبروتوكول النظام ، ويحكم معايير الاختيار للعناصر في قائمة الانتظار.

- آلية الخدمة

إنها العملية التي يتم من خلالها تقديم الخدمة لكل مستخدم.

-زبون

هو أي عنصر ينتمي إلى السكان المحتملين الذي يتطلب خدمة. من المهم معرفة معدل دخول العملاء ، وكذلك احتمالية أن يكون المصدر قد ولدهم.

القدرة -Queue

يشير إلى السعة القصوى للعناصر التي يمكن أن تنتظر تقديمها. يمكن اعتباره محدودًا أو لانهائيًا ، ويكون في معظم الحالات غير محدود بمعايير التطبيق العملي.

- انضباط الطابور

إنه البروتوكول الذي يتم من خلاله تحديد الترتيب الذي يتم من خلاله تقديم العميل. إنه بمثابة قناة معالجة وترتيب للمستخدمين ، حيث يكون مسؤولاً عن التصرف والحركة داخل قائمة الانتظار. وفقًا للمعايير الخاصة بك ، يمكن أن يكون من أنواع مختلفة.

- FIFO: من الاختصار باللغة الإنجليزية أولاً يصرف أولاً ، والمعروف أيضًا باسم FCFS يأتي أولاً يخدم أولاً. وهو ما يعني ، على التوالي ، أول ما يرد أولاً وأول من يتم تقديمه أولاً. يشير كلا النموذجين إلى أن العميل الأول الذي سيصل سيكون أول من يتم تقديمه.

- LIFO: آخر ما يرد أولاً يُطلق عليه المعروف أيضًا باسم المكدس أو LCFS آخر من يأتي أولاً يُخدم أولاً. حيث يتم تقديم العميل الذي وصل أخيرًا أولاً.

- RSS: اختيار عشوائي للخدمة يسمى أيضًا خدمة SIRO بترتيب عشوائي ، حيث يتم اختيار العملاء وفقًا لمعايير عشوائية أو عشوائية.

عارضات ازياء

هناك 3 جوانب تحكم نموذج قائمة الانتظار يجب مراعاتها. هذه هي:

- توزيع الوقت بين الوافدين: يشير إلى معدل إضافة الوحدات إلى قائمة الانتظار. إنها قيم وظيفية وتخضع لمتغيرات مختلفة حسب طبيعتها.

- توزيع وقت الخدمة: الوقت الذي يستخدمه الخادم لمعالجة الخدمة التي يطلبها العميل. وهي تختلف حسب عدد العمليات أو الإجراءات التي تم إنشاؤها.

يمكن أن يأخذ هذان الجانبان القيم التالية:

م: التوزيع الأسي الأسي (ماركوفيانا).

D: توزيع منحط (أوقات ثابتة).

E _k: توزيع Erlang بمعامل الشكل k.

ز: التوزيع العام (أي توزيع).

- عدد الخوادم: بوابات الخدمة مفتوحة ومتاحة لمعالجة العملاء. إنها ضرورية في التعريف الهيكلي لكل نموذج قائمة انتظار.

وبهذه الطريقة ، يتم تحديد نماذج الطابور ، حيث يتم أولاً أخذ الأحرف الأولى بالأحرف الكبيرة لتوزيع وقت الوصول وتوزيع وقت الخدمة. أخيرًا ، يتم دراسة عدد الخوادم.

مثال شائع إلى حد ما هو MM 1 ، والذي يشير إلى نوع أسي من الوصول وتوزيع وقت الخدمة ، أثناء العمل مع خادم واحد.

الأنواع الأخرى من نماذج قائمة الانتظار هي MM s و MG 1 و ME 1 و DM 1 وغيرها.

أنواع أنظمة الطابور

هناك عدة أنواع من أنظمة الطابور حيث تعمل المتغيرات المتعددة كمؤشرات لنوع النظام المقدم. لكنها تحكمها بشكل أساسي عدد قوائم الانتظار وعدد الخوادم. ينطبق أيضًا الهيكل الخطي الذي يخضع له المستخدم للحصول على الخدمة.

- طابور وخادم. وهي البنية المعتادة ، حيث يدخل المستخدم من خلال نظام الوصول إلى قائمة الانتظار ، حيث يتم بعد الانتهاء من انتظاره وفقًا لنظام قائمة الانتظار ، ويتم معالجتها بواسطة الخادم الوحيد.

- قائمة انتظار واحدة وخوادم متعددة. يمكن للمستخدم ، في نهاية فترة انتظاره ، الانتقال إلى خوادم مختلفة يمكن أن تكون منفذة لنفس العمليات ، بالإضافة إلى أنها يمكن أن تكون خاصة لإجراءات مختلفة.

- طوابير متعددة وخوادم متعددة. يمكن تقسيم الهيكل لعمليات مختلفة أو أن يكون بمثابة قناة واسعة لتغطية الطلب الكبير على الخدمة المشتركة.

- قائمة انتظار مع خوادم متسلسلة. يمر المستخدمون بمراحل مختلفة. يدخلون ويأخذون مكانًا في قائمة الانتظار ، وعندما يتم تقديمهم من قبل الخادم الأول ، ينتقلون إلى مرحلة جديدة تتطلب الإنجازات السابقة التي تم إجراؤها في الخدمة الأولى.

المصطلح

- λ: يمثل هذا الرمز (Lambda) في نظرية الاصطفاف القيمة المتوقعة للمدخلات في كل فترة زمنية.

- 1 /: يتوافق مع القيمة المتوقعة بين أوقات وصول كل مستخدم يدخل النظام.

- μ: يتوافق الرمز Mu مع العدد المتوقع للعملاء الذين يكملون الخدمة لكل وحدة زمنية. هذا ينطبق على كل خادم.

- 1 / μ: وقت الخدمة المتوقع من قبل النظام.

- ρ: يشير الرمز Rho إلى عامل الاستفادة من الخادم. يتم استخدامه لقياس مقدار الوقت الذي يكون فيه الخادم مشغولاً بمعالجة المستخدمين.

ρ = λ / ثانية μ

إذا كان النظام p> 1 مؤقتًا ، فسوف يميل إلى النمو ، لأن معدل فائدة الخادم أقل من عدد المستخدمين الذين يدخلون النظام.

إذا كان p <1 ، فسيظل النظام مستقرًا.

ما هي النظرية ل

تم إنشاؤه من أجل تحسين عمليات توفير خدمة الهاتف. هذا يحدد فائدة فيما يتعلق بظواهر طوابير الانتظار ، حيث يتم السعي لتقليل قيم الوقت وإلغاء أي نوع من إعادة العمل أو العملية الزائدة عن الحاجة التي تبطئ عملية المستخدمين والمشغلين.

خط Pexels

في المستويات الأكثر تعقيدًا ، حيث تأخذ متغيرات المدخلات والخدمة قيمًا مختلطة ، فإن الحسابات التي يتم إجراؤها خارج نظرية قائمة الانتظار تكاد تكون غير واردة. فتحت الصيغ التي قدمتها النظرية حسابًا متقدمًا في هذا الفرع.

العناصر الموجودة في الصيغ

- Pn: قيمة تشير إلى احتمال وجود وحدات "n" داخل النظام.

- Lq: طول قائمة الانتظار أو متوسط ​​قيمة المستخدمين فيها.

- Ls: متوسط ​​الوحدات في النظام.

- Wq: متوسط ​​معدل الانتظار في قائمة الانتظار.

- Ws: متوسط ​​معدل الانتظار في النظام.

- _λ: متوسط ​​عدد العملاء الذين يدخلون الخدمة.

- Ws (t): القيمة التي تشير إلى احتمال بقاء العميل أكثر من وحدات "t" في النظام.

- Wq (t): القيمة التي تشير إلى احتمال أن يظل العميل أكثر من وحدات "t" في قائمة الانتظار.

أمثلة

يحتوي السجل على خادم واحد لمعالجة جوازات سفر المستخدمين الذين يأتون. يحضر التسجيل ما معدله 35 مستخدمًا في الساعة. الخادم لديه القدرة على خدمة 45 مستخدمًا في الساعة. كان من المعروف سابقًا أن المستخدمين يقضون 5 دقائق في المتوسط ​​في قائمة الانتظار.

أنت تريدأنتعرف:

1. متوسط ​​الوقت الذي يقضيه كل مستخدم في النظام
2. متوسط ​​عدد العملاء في قائمة الانتظار

لدينا λ = 35/45 عميل / دقيقة

μ = 45/60 عميل / دقيقة

Wq = 5 دقائق

الجزء أ

يمكن حساب متوسط ​​الوقت في النظام باستخدام Ws

Ws = Wq + 1 / μ = 5 دقائق + 1.33 = 6.33 دقيقة

بهذه الطريقة ، يتم تحديد إجمالي الوقت الذي سيقضيه المستخدم في النظام ، حيث سيكون 5 دقائق في قائمة الانتظار و 1.33 دقيقة مع الخادم.

الجزء ب

Lq = λ x Wq

Lq = (0.78 دقيقة عميل) × (5 دقائق) = 3.89 عميل

يمكن أن يكون هناك أكثر من 3 عملاء في قائمة الانتظار في وقت واحد.

المراجع

1. إدارة العمليات. افتتاحية فيرتيس ، 16 أبريل. 2007
2. نظرية الطوابير أو طابور الانتظار. جيرمان ألبرتو كوردوبا باراهونا. جامعة Pontificia Universidad Javeriana ، 2002
3. نظرية النظم حلت المشاكل. روبرتو سانشيس لوبيس. منشورات جامعة جاومي الأولى ، 2002
4. الأساليب الكمية للتنظيم الصناعي II. جوان بابتيستا فونولوسا غوارديت ، خوسيه ماريا سالان لوز ، ألبرت سوني تورنتس. جامعة بوليتيك. من كاتالونيا ، 2009
5. نظرية الجرد وتطبيقاتها. التحرير Pax-México ، 1967