و شتاينر الصورة نظرية ، المعروف أيضا باسم موازية نظرية محور، لتقييم لحظة من الجمود هيئة موسعة، حول المحور الذي يسير بشكل متواز مع مرور آخر من خلال مركز كتلة الجسم.
تم اكتشافه من قبل عالم الرياضيات السويسري جاكوب شتاينر (1796 - 1863) ويذكر ما يلي: دع I CM هي لحظة القصور الذاتي للكائن فيما يتعلق بمحور يمر عبر مركز كتلته CM و I z لحظة القصور الذاتي بالنسبة لمحور آخر بالتوازي مع هذا.
الشكل 1. الباب المستطيل الذي يدور على مفصلاته لديه لحظة من القصور الذاتي يمكن حسابها بتطبيق نظرية شتاينر. المصدر: Pixabay.
بمعرفة المسافة D التي تفصل بين المحورين والكتلة M للجسم المعني ، فإن لحظة القصور الذاتي بالنسبة للمحور المجهول هي:
تشير لحظة القصور الذاتي إلى مدى سهولة تدوير كائن حول محور معين. لا يعتمد فقط على كتلة الجسم ، ولكن على كيفية توزيعه. لهذا السبب يُعرف أيضًا باسم القصور الذاتي الدوراني ، كونه وحداته في النظام الدولي Kg. م 2.
توضح النظرية أن لحظة القصور الذاتي I z هي دائمًا أكبر من لحظة القصور الذاتي I CM بكمية معطاة بواسطة MD 2.
التطبيقات
نظرًا لأن الكائن قادر على الدوران حول العديد من المحاور ، وفي الجداول عادةً ما يتم إعطاء لحظة القصور الذاتي فقط فيما يتعلق بالمحور الذي يمر عبر النقطه الوسطى ، فإن نظرية شتاينر تسهل الحساب عندما يكون من الضروري تدوير الأجسام على المحاور التي لا تتطابق مع هذا.
على سبيل المثال ، لا يدور الباب عادة حول محور من خلال مركز كتلته ، ولكن حول محور جانبي ، حيث تلتصق المفصلات.
من خلال معرفة لحظة القصور الذاتي ، من الممكن حساب الطاقة الحركية المرتبطة بالدوران حول المحور المذكور. إذا كانت K هي الطاقة الحركية ، وأنا لحظة القصور الذاتي حول المحور المعني و السرعة الزاوية ، فهذا يتبع ذلك:
هذه المعادلة مشابهة جدًا للصيغة المألوفة جدًا للطاقة الحركية لجسم كتلته M يتحرك بسرعة v: K = ½ Mv 2. وهي أن لحظة القصور الذاتي أو القصور الذاتي الدوراني ألعب نفس الدور في الدوران مثل الكتلة M في الترجمة.
دليل على نظرية شتاينر
يتم تعريف لحظة القصور الذاتي للكائن الممتد على النحو التالي:
أنا = ∫ ص 2 دسم
حيث dm جزء متناهي الصغر من الكتلة و r هي المسافة بين dm ومحور الدوران z. في الشكل 2 ، يتقاطع هذا المحور مع مركز الكتلة CM ، ومع ذلك يمكن أن يكون كذلك.
الشكل 2. كائن ممتد بالتناوب حول محورين متوازيين. المصدر: F. Zapata.
حول محور z آخر ، لحظة القصور الذاتي هي:
أنا ض = ∫ (ص ') 2 دسم
الآن ، وفقًا للمثلث المكون من المتجهات D و r و r ' (انظر الشكل 2 على اليمين) ، هناك مجموع متجه:
r + r ' = D → r' = D - r
تقع المتجهات الثلاثة على مستوى الكائن ، والذي يمكن أن يكون xy. يتم اختيار أصل نظام الإحداثيات (0،0) في CM لتسهيل العمليات الحسابية التالية.
بهذه الطريقة تكون الوحدة التربيعية للمتجه r ' هي:
الآن يتم استبدال هذا التطور في تكامل لحظة القصور الذاتي I z وأيضًا تعريف الكثافة dm = ρ.dV يستخدم:
المصطلح M. D 2 الذي يظهر في نظرية شتاينر يأتي من التكامل الأول ، والثاني هو لحظة القصور الذاتي فيما يتعلق بالمحور الذي يمر عبر CM.
من جانبهم ، فإن التكاملات الثالثة والرابعة تساوي 0 ، لأنها بحكم التعريف تشكل موضع CM ، والذي تم اختياره كأصل لنظام الإحداثيات (0،0).
تمارين محلولة
- تمرين حل 1
يبلغ وزن الباب المستطيل في الشكل 1 23 كجم وعرضه 1.30 وارتفاعه 2.10 مترًا. حدد لحظة القصور الذاتي للباب فيما يتعلق بالمحور الذي يمر عبر المفصلات ، على افتراض أن الباب رقيق وموحد.
الشكل 3. تخطيطي لمثال عملي 1. المصدر: معدل من Pixabay.
المحلول
من جدول لحظات القصور الذاتي ، بالنسبة للوحة مستطيلة الكتلة M والأبعاد a و b ، فإن لحظة القصور الذاتي بالنسبة للمحور الذي يمر عبر مركز كتلته هي: I CM = (1/12) M (a 2 + ب 2).
سيتم افتراض بوابة متجانسة (تقريب ، لأن البوابة في الشكل ربما ليست كذلك). في مثل هذه الحالة ، يمر مركز الكتلة عبر مركزها الهندسي. في الشكل 3 ، تم رسم محور يمر عبر مركز الكتلة وهو أيضًا موازٍ للمحور الذي يمر عبر المفصلات.
أنا سم = (1/12) × 23 كجم × (1.30 2 +2.10 2) م 2 = 11.7 كجم.م 2
تطبيق نظرية شتاينر للمحور الأخضر للدوران:
I = I CM + MD 2 = 11.7 Kg.m 2 + 23 Kg x 0.652 م 2 = 21.4 كجم.
- تمرين حل 2
أوجد لحظة القصور الذاتي لقضيب رقيق متجانس عندما يدور حول محور يمر عبر أحد طرفيه ، انظر الشكل. هل هي أكبر أم أقل من لحظة القصور الذاتي عندما تدور حول مركزها؟ لماذا ا؟
الشكل 4. مخطط للمثال الذي تم حله 2. المصدر: F. Zapata.
المحلول
وفقًا لجدول لحظات القصور الذاتي ، فإن لحظة القصور الذاتي I CM لقضيب رفيع كتلته M وطوله L هي: I CM = (1/12) ML 2
وتنص نظرية شتاينر على أنه عندما يتم تدويره حول محور يمر عبر أحد طرفيه D = L / 2 فإنه يظل كما يلي:
إنه أكبر ، على الرغم من أنه ليس مرتين فقط ، ولكن 4 مرات أكثر ، لأن النصف الآخر من القضيب (غير مظلل في الشكل) يدور ويصف نصف قطر أكبر.
تأثير المسافة إلى محور الدوران ليس خطيًا ، بل تربيعيًا. الكتلة التي تساوي ضعف المسافة ستحصل على لحظة من القصور الذاتي بالنسبة إلى (2D) 2 = 4D 2.
المراجع
- باور ، دبليو 2011. فيزياء الهندسة والعلوم. المجلد 1. ماك جراو هيل. 313-340.
- جامعة ولاية جورجيا. حركة دائرية. تم الاسترجاع من: phys.nthu.edu.tw.
- نظرية المحور المتوازي. تم الاسترجاع من: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
- ريكس ، 2011. أساسيات الفيزياء. بيرسون. 190-200.
- ويكيبيديا. نظرية المحور المتوازي. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org