المتجه الناتج: الحساب ، الأمثلة ، التمارين - جسدي - بدني - 2025

على ناقلات الناتجة هو واحد التي حصلت عليها عملية مع ناقلات الذي النتيجة هي أيضا متجه. عادةً ما تكون هذه العملية عبارة عن مجموع متجهين أو أكثر ، يتم من خلالها الحصول على ناقل يكون تأثيره مكافئًا.

بهذه الطريقة ، يتم الحصول على متجهات مثل السرعة أو التسارع أو القوة الناتجة. على سبيل المثال ، عندما تعمل عدة قوى F ₁ و F ₂ و F ₃… على الجسم. مجموع المتجهات لجميع هذه القوى يساوي صافي القوة (الناتج) ، والذي يتم التعبير عنه رياضيًا على النحو التالي:

F ₁ + F ₂ + F ₃ +… = F _R أو F _N

الشكل 1. يتم توزيع وزن الثلج على السطح ويمكن استبدال تأثيره بقوة ناتجة واحدة يتم تطبيقها في المكان المناسب. المصدر: Pixabay.

يتم العثور على المتجه الناتج ، سواء كان قوى أو أي حجم متجه آخر ، من خلال تطبيق قواعد إضافة المتجه. نظرًا لأن المتجهات لها اتجاه وإحساس بالإضافة إلى قيمة عددية ، فلا يكفي إضافة الوحدات النمطية للحصول على المتجه الناتج.

هذا صحيح فقط في الحالة التي تكون فيها النواقل المعنية في نفس الاتجاه (انظر الأمثلة). خلاف ذلك ، من الضروري استخدام طرق الجمع المتجه ، والتي يمكن أن تكون هندسية أو تحليلية حسب الحالة.

أمثلة

الطرق الهندسية لإيجاد المتجه الناتج هي طريقة الاجتياز وطريقة متوازي الأضلاع.

أما بالنسبة للطرق التحليلية ، فهناك طريقة المكون ، والتي من خلالها يمكن العثور على المتجه الناتج عن أي نظام من النواقل ، بشرط أن يكون لدينا مكوناته الديكارتية.

طرق هندسية لإضافة متجهين

افترض المتجهين u و v (نشير إليهما بالخط العريض لتمييزهما عن العددية). في الشكل 2 أ) وضعناهم على متن الطائرة. في الشكل 2 ب) تمت ترجمته إلى المتجه v بحيث يتطابق أصله مع نهاية u. ينتقل المتجه الناتج من أصل أول (u) إلى طرف الأخير (v):

الشكل 2. المتجه الناتج من المجموع الرسومي للمتجهات. المصدر: عصامي.

الشكل الناتج في هذه الحالة هو مثلث (المثلث هو مضلع ثلاثي الجوانب). إذا كان لدينا متجهان في نفس الاتجاه ، فإن الإجراء هو نفسه: ضع أحد المتجهين بعد الآخر وارسم واحدًا ينتقل من أصل أو ذيل الأول إلى طرف أو نهاية الأخير.

لاحظ أن الترتيب الذي يتم به هذا الإجراء لا يهم ، لأن مجموع المتجهات هو تبادلي.

لاحظ أيضًا أنه في هذه الحالة ، تكون الوحدة النمطية (الطول أو الحجم) للمتجه الناتج هي مجموع وحدات المتجهات المضافة ، على عكس الحالة السابقة ، حيث تكون الوحدة النمطية للمتجه الناتج أقل من مجموع وحدات المشاركين.

طريقة متوازي الأضلاع

هذه الطريقة مناسبة جدًا عندما تحتاج إلى إضافة متجهين تتطابق نقاط أصلهما ، على سبيل المثال ، مع أصل نظام إحداثيات xy. افترض أن هذا هو الحال بالنسبة لناقلاتنا u و v (الشكل 3 أ):

الشكل 3. جمع متجهين باستخدام طريقة متوازي الأضلاع مع المتجه الناتج باللون الأزرق الفيروزي. المصدر: عصامي.

في الشكل 3 ب) تم إنشاء متوازي الأضلاع بمساعدة الخطوط المنقطة الموازية لـ u و v. يكون أصل المتجه الناتج عند O ونهايته عند النقطة التي تتقاطع فيها الخطوط المنقطة. هذا الإجراء يعادل تمامًا الإجراء الموضح في القسم السابق.

تمارين

-التمرين 1

بالنظر إلى المتجهات التالية ، أوجد المتجه الناتج باستخدام طريقة الاجتياز.

الشكل 4. المتجهات للعثور على ناتجها باستخدام طريقة متعددة الأضلاع. التمرين 1. المصدر: التفصيل الخاص.

المحلول

طريقة الاجتياز هي أول الطرق التي يتم ملاحظتها. تذكر أن مجموع المتجهات هو تبادلي (ترتيب الإضافات لا يغير المجموع) ، لذلك يمكنك البدء بأي من المتجهات ، على سبيل المثال u (الشكل 5 أ) أو r (الشكل 5 ب):

الشكل 5. مجموع المتجهات باستخدام طريقة متعددة الأضلاع. المصدر: عصامي.

الشكل التي تم الحصول عليها هو مضلع وما ينجم عنها من ناقلات (باللون الأزرق) ويسمى R. إذا بدأت بمتجه آخر ، فقد يكون الشكل الذي تم تكوينه مختلفًا ، كما هو موضح في المثال ، لكن المتجه الناتج هو نفسه.

تمرين 2

في الشكل التالي ، نعلم أن وحدات المتجهين u و v على التوالي هما u = 3 وحدات تعسفية و v = 1.8 وحدة تعسفية. الزاوية التي تصنعها u مع المحور x الموجب هي 45º ، بينما v تساوي 60º مع المحور y ، كما هو موضح في الشكل. أوجد المتجه الناتج والمقدار والاتجاه.

المحلول

في القسم السابق ، تم العثور على المتجه الناتج عن طريق تطبيق طريقة متوازي الأضلاع (باللون الفيروزي في الشكل).

تتمثل إحدى الطرق السهلة للعثور على المتجه الناتج بشكل تحليلي في التعبير عن متجهات الإضافة من حيث مكوناتها الديكارتية ، وهي مهمة سهلة عند معرفة المعامل والزاوية ، مثل المتجهات في هذا المثال:

ش _س = ش. cos 45º = 3 × cos 45º = 2.12 ؛ ش _ص = ش. sin 45º = 3x sin 45º = 2.12

ت _س = ت. الخطيئة 60º = 1.8 × الخطيئة 60º = 1.56 ؛ الخامس _ص = -v. cos 60º = -1.8 x cos 60º = - 0.9

المتجهان u و v هما متجهان ينتميان إلى المستوى ، وبالتالي يحتوي كل منهما على مكونين. يوجد المتجه u في الربع الأول ومكوناته موجبة ، بينما المتجه v في الربع الرابع ؛ مكونه x موجب ، لكن إسقاطه على المحور الرأسي يقع على المحور y السالب.

حساب المكونات الديكارتية للمتجه الناتج

تم العثور على المتجه الناتج عن طريق الجمع الجبري لمركبتي x و y للحصول على مكوناتهما الديكارتية:

ص _س = 2.12 + 1.56 = 3.68

ص _ص = 2.12 + (-0.9) = 1.22

بمجرد تحديد المكونات الديكارتية ، يصبح المتجه معروفًا تمامًا. يمكن التعبير عن المتجه الناتج بالتدوين بين قوسين:

R = <3.68 ؛ 1.22> وحدات عشوائية

يستخدم تدوين القوس لتمييز متجه من نقطة في المستوى (أو في الفضاء). هناك طريقة أخرى للتعبير عن المتجه الناتج بشكل تحليلي وهي استخدام متجهات الوحدة i و j في المستوى (i و j و k في الفراغ):

R = 3.68 i + 1.22 j وحدات عشوائية

نظرًا لأن كلا مكوني المتجه الناتج موجبان ، فإن المتجه R ينتمي إلى الربع الأول ، والذي تم رؤيته بالفعل بيانياً من قبل.

حجم واتجاه المتجه الناتج

بمعرفة المكونات الديكارتية ، يُحسب حجم R من خلال نظرية فيثاغورس ، حيث أن المتجه R الناتج ، مع مكوناته R _x و R _، يشكلان مثلثًا قائمًا:

الحجم أو الوحدة النمطية: R = (3.68 ² + 1.22 ²) ^½ = 3.88

الاتجاه q بأخذ المحور x الموجب كمرجع: q = arctan (R _y / R _x) = arctg (1.22 /3.68) = 18.3 º

المراجع

1. إضافة المتجهات والقواعد. تم الاسترجاع من: newt.phys.unsw.edu.au
2. سلسلة فيغيروا ، د.: فيزياء العلوم والهندسة. المجلد 1. علم الحركة 31-68.
3. جسدي - بدني. الوحدة 8: النواقل. تم الاسترجاع من: frtl.utn.edu.ar
4. هيبلر ، ر. 2006. ميكانيكا للمهندسين. ثابتة الطبعة السادسة. شركة كونتيننتال للنشر. 15-53.
5. إضافة حاسبة المتجه. تم الاسترجاع من: www.1728.org