النواقل المتزامنة: الخصائص والأمثلة والتمارين - رياضيات - 2025

و ناقلات المتزامنة هي مجموعات ناقلات الذي يتزامن عند نقطة واحدة، وتشكيل بين كل زوج من الداخلية والخارجية زاوية أخرى محاور. يظهر مثال واضح في الشكل أدناه ، حيث A و B و C متجهات متزامنة مع بعضها البعض.

D و E على عكس البقية ليست كذلك. توجد زوايا بين المتجهات المتزامنة AB و AC و CB. يطلق عليهم زوايا العلاقة بين المتجهات.

مميزات

-لديهم نقطة مشتركة ، والتي تتوافق مع أصلهم: تبدأ جميع مقادير النواقل المتزامنة من نقطة مشتركة إلى نهايات كل منها.

- يعتبر الأصل نقطة عمل المتجه: يجب إنشاء نقطة عمل والتي ستتأثر بشكل مباشر بكل من المتجهات المتزامنة.

-مجالها في المستوي والفضاء هو R ² و R ³ على التوالي: المتجهات المتزامنة حرة في تغطية المساحة الهندسية بأكملها.

-يتيح الرموز المختلفة في نفس مجموعة المتجهات. وفقًا لفروع الدراسة ، توجد رموز مختلفة في العمليات مع المتجهات.

أنواع النواقل

يحتوي فرع المتجهات على عدة أقسام فرعية ، من بين بعضها يمكن تسميته: متوازي ، متعامد ، متحد المستوى ، متطابق ، معاكس ووحدوي. يتم سرد النواقل المتزامنة هنا ، ومثل كل تلك المذكورة أعلاه ، لديها العديد من التطبيقات في العلوم المختلفة.

وهي شائعة جدًا في دراسة النواقل ، لأنها تمثل تعميماً مفيداً في العمليات التي تتم بها. تستخدم النواقل المتزامنة بشكل شائع سواء في المستوى أو في الفضاء لتمثيل عناصر مختلفة ودراسة تأثيرها على نظام معين.

تدوين المتجه

هناك عدة طرق لتمثيل عنصر متجه. أهم وأشهرها:

ديكارتي

تم اقتراحه من خلال نفس النهج الرياضي ، فهو يشير إلى المتجهات ذات الثلاثية المقابلة لأحجام كل محور (x ، y ، z)

أ: (1 ، 1 ، -1) مسافة أ: (1 ، 1) الطائرة

قطبي

إنها تخدم فقط للدلالة على المتجهات في المستوى ، على الرغم من أنه في حساب التفاضل والتكامل يتم تخصيص مكون العمق. يتكون من حجم خطي r وزاوية بالنسبة للمحور القطبي Ɵ.

أ: (3 ، 45 ⁰) المستوى أ: (2 ، 45 ⁰ ، 3) مسافة

تحليلي

يحددون مقادير المتجه باستخدام الآيات. تمثل الآيات (i + j + k) متجهات الوحدة المقابلة للمحاور X و Y و

ج: 3i + 2j - 3k

كروي

إنها تشبه التدوين القطبي ، ولكن مع إضافة زاوية ثانية تجتاح المستوى xy الذي يرمز إليه δ.

أ: (4 ، 60 ^أو ، / 4)

عمليات المتجهات المتزامنة

تستخدم المتجهات المتزامنة في الغالب لتحديد العمليات بين المتجهات ، لأنه من الأسهل مقارنة عناصر المتجهات عندما يتم تقديمها بشكل متزامن.

مجموع (أ + ب)

يهدف مجموع المتجهات المتزامنة إلى إيجاد المتجه الناتج V _r. والتي ، وفقًا لفرع الدراسة ، تتوافق مع الإجراء النهائي

على سبيل المثال: ثلاث سلاسل {أ ، ب ، ج} مرتبطة بصندوق ، كل طرف من أطراف السلسلة ممسك بموضوع واحد. يجب على كل من الأشخاص الثلاثة سحب الحبل في اتجاه مختلف عن الأشخاص الآخرين.

A: (ax، ay، az) B: (bx، by، bz) C: (cx، cy، cz)

A + B + C = (ax + bx + cx ؛ ay + by + cy ؛ az + bz + cz) = V _r

سيكون الصندوق قادرًا على التحرك في اتجاه واحد فقط ، لذلك سيشير V _r إلى اتجاه واتجاه حركة الصندوق.

الفرق (أ - ب)

هناك العديد من المعايير فيما يتعلق بالاختلاف بين المتجهات ، يختار العديد من المؤلفين استبعاده ويذكرون أنه يتم تحديد المجموع بين المتجهات فقط ، حيث يكون الاختلاف حول مجموع المتجه المعاكس. الحقيقة هي أنه يمكن طرح النواقل جبريًا.

A: (ax، ay، az) B: (bx، by، bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx ؛ ay-by ؛ az-bz) =

حاصل الضرب القياسي (أ.ب)

يُعرف أيضًا باسم المنتج النقطي ، وهو يولد قيمة قياسية يمكن أن ترتبط بأحجام مختلفة اعتمادًا على فرع الدراسة.

بالنسبة للهندسة ، حدد مساحة متوازي الأضلاع التي شكلها زوج من المتجهات المتزامنة من خلال طريقة متوازي الأضلاع. بالنسبة للفيزياء الميكانيكية ، فهي تحدد الشغل الذي تقوم به القوة F عند تحريك الجسم لمسافة Δr.

ѡ = F. Δr

كما يشير اسمه ، فإنه يولد قيمة عددية ويتم تعريفها على النحو التالي:

دع المتجهين A و B يكونان

A: (ax، ay، az) B: (bx، by، bz)

-شكل تحليلي:

(أ ب) = -أ -.- ب-كوز θ

حيث θ هي الزاوية الداخلية بين كلا المتجهين

-شكل جبري:

(أ ب) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

عبر المنتج (أ × ب)

المنتج ناقلات أو منتج نقطة بين متجهين، ويعرف ناقلات الثالث C وجود نوعية يجري عمودي B و C. في الفيزياء ، متجه عزم الدوران τ هو العنصر الأساسي لديناميات الدوران.

-شكل تحليلي:

- أ × ب - = - أ -. - ب - سن θ

-شكل جبري:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

- الحركة النسبية: ص _{أ / ب}

أساس النسبية هي الحركة النسبية والمتجهات المتزامنة هي أساس الحركة النسبية. يمكن استنتاج المواقف والسرعات والتسارع النسبية من خلال تطبيق الترتيب التالي للأفكار.

ص _{أ / ب} = ص _أ - ص _ب ؛ الموضع النسبي لـ A بالنسبة إلى B

الخامس _{أ / ب} = ت _أ - ت _ب ؛ السرعة النسبية لـ A بالنسبة إلى B

و _{A / B} = A _A - ل _B. تسارع نسبي لـ A بالنسبة إلى B

أمثلة: تمارين محلولة

التمرين 1

لنفترض أن A و B و C تكون متجهات متزامنة.

أ = (-1 ، 3 ، 5) ب = (3 ، 5 ، -2) ج = (-4 ، -2 ، 1)

-تحديد المتجه الناتج V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1) ، 2 (3) ، 2 (5)) = (-2 ، 6 ، 10)

-3 ب = (-3 (3) ، -3 (5) ، -3 (-2)) = (-9 ، -15 ، 6)

الخامس _ص = 2 أ + (-3 ب) + ج = (-2 ، 6 ، 10) + (-9 ، -15 ، 6) + (-4 ، -2 ، 1)

V _ص = (؛ ؛ (10 + 6 + 1))

الخامس _ص = (-15 ، -11 ، 17)

-تحديد المنتج النقطي (أ. ج)

(أ ج) = (-1 ، 3 ، 5). (-4 ، -2 ، 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4-6 + 5

(أ ج) = 3

-حسب الزاوية بين A و C

(أ ج) = -أ -.- ج-. كوس θ أين θ هي أقصر زاوية بين المتجهات

θ = 88.63 ⁰

- أوجد متجهًا عموديًا على A و B

لهذا ، من الضروري تحديد المنتج المتجه بين (-1 ، 3 ، 5) و (3 ، 5 ، -2). كما هو موضح من قبل ، يتم إنشاء مصفوفة 3 × 3 حيث يتكون الصف الأول من متجهات وحدة ثلاثية (i ، j ، k). ثم يتكون الصفان الثاني والثالث من نواقل تعمل ، مع احترام أمر التشغيل.

(أ س ب) = = أنا - ي + ك

(أ × ب) = (-5 - 9) أنا - (2-15) ي + (-5-9) ك

(أ س ب) = - 14 أنا + 13 ج - 14 ك

تمرين 2

لنفترض أن V _a و V _b يكونان متجهي السرعة لكل من A و B على التوالي. احسب سرعة B المرئية من A.

ف _أ = (3 ، -1 ، 5) ف _ب = (2 ، 5 ، -3)

في هذه الحالة ، تُطلب السرعة النسبية لـ B بالنسبة إلى A V _{B / A}

V _{B / A} = V _B - V _A

الخامس _{ب / أ} = (2 ، 5 ، -3) - (3 ، -1 ، 5) = (-1 ، 6 ، -8)

هذا هو متجه السرعة B الذي يُرى من A. حيث يتم وصف متجه جديد للسرعة B بأخذ مرجع من مراقب متمركز عند A ويتحرك بسرعة A.

تمارين مقترحة

1-قم ببناء 3 نواقل A و B و C متزامنة وتربط 3 عمليات فيما بينها من خلال تمرين عملي.

2-دع المتجهات أ: (-2 ، 4 ، -11) ، ب: (1 ، -6 ، 9) وج: (-2 ، -1 ، 10). أوجد المتجهات العمودية على: A و B و C و B ، ومجموع A + B + C.

4-حدد 3 نواقل متعامدة مع بعضها البعض دون مراعاة محاور الإحداثيات.

5- حدد الشغل الذي تقوم به القوة التي ترفع كتلة كتلتها 5 كجم من قاع بئر بعمق 20 م.

6-وضح جبريًا أن طرح المتجهات يساوي مجموع المتجه المعاكس. برر افتراضاتك.

7- يشير إلى متجه في جميع الرموز التي تم تطويرها في هذه المقالة. (ديكارتي ، قطبي ، تحليلي وكروي).

8-القوى المغناطيسية المؤثرة على المغناطيس المستقر على منضدة ، تُعطى بواسطة المتجهات التالية ؛ الخامس: (5 ، 3 ، -2) ، ت: (4 ، 7 ، 9) ، ح: (-3 ، 5 ، -4). حدد الاتجاه الذي سيتحرك فيه المغناطيس إذا كانت جميع القوى المغناطيسية تعمل في نفس الوقت.

المراجع

1. الهندسة الإقليدية والتحولات. كلايتون دبليو دودج. شركة Courier Corporation ، 1 يناير 2004
2. كيفية حل مشاكل الرياضيات التطبيقية L. Moiseiwitsch. شركة البريد السريع ، 10 أبريل 2013
3. المفاهيم الأساسية للهندسة. والتر برينويتس ، ماير جوردان. رومان وليتلفيلد ، 4 أكتوبر. 2012
4. ثلاثة أبعاد. روسيو نافارو لاكوبا ، 7 يونيو. 2014
5. الجبر الخطي. برنارد كولمان ، ديفيد ر. هيل. تعليم بيرسون ، 2006