النواقل غير متحد المستوى: التعريف ، الشروط ، التمارين - جسدي - بدني - 2026

و غير - ناقلات متحد المستوى هي تلك التي لا تشترك في نفس الطائرة. ناقلان حران ونقطة تحدد مستوى واحد متجه ثالث قد يشارك أو لا يشترك في هذا المستوى ، وإذا لم يكن كذلك ، فهي متجهات غير متحد المستوى.

لا يمكن تمثيل المتجهات غير المستوية في مسافات ثنائية الأبعاد مثل السبورة أو ورقة من الورق ، لأن بعضها موجود في البعد الثالث. لتمثيلهم بشكل صحيح ، عليك استخدام المنظور.

الشكل 1. المتجهات متحد المستوى وغير متحد المستوى. (تفصيل خاص)

إذا نظرنا إلى الشكل 1 ، فكل الأشياء المعروضة موجودة بدقة في مستوى الشاشة ، ولكن بفضل المنظور ، يستطيع دماغنا تخيل مستوى (P) يخرج منه.

على هذا المستوى (P) هي المتجهات r ، s ، u ، بينما المتجهات v و w ليستا في ذلك المستوى.

لذلك فإن المتجهات r ، s ، u هي متحد المستوى أو متحد المستوى مع بعضها البعض لأنها تشترك في نفس المستوى (P). لا تشترك المتجهات v و w في المستوى مع أي من المتجهات الأخرى الموضحة ، وبالتالي فهي غير متحد المستوى.

المتجهات المتشعبة المستوى ومعادلة المستوى

يتم تعريف المستوى بشكل فريد إذا كان هناك ثلاث نقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

لنفترض أن هذه النقاط الثلاث هي النقطة A والنقطة B والنقطة C التي تحدد المستوى (P). باستخدام هذه النقاط ، من الممكن بناء متجهين AB = u و AC = v اللذان يكونان من خلال البناء على مستوى مستوي مع المستوى (P).

ينتج عن المنتج المتقاطع (أو الضرب العرضي) لهذين المتجهين متجه ثالث متعامد (أو عادي) عليهما وبالتالي يكون عموديًا على المستوى (P):

n = u X v => n ⊥ u و n ⊥ v => n ⊥ (P)

أي نقطة أخرى تنتمي إلى المستوى (P) يجب أن تحقق أن المتجه AQ عمودي على المتجه n ؛ هذا يعادل القول بأن حاصل الضرب النقطي (أو المنتج النقطي) لـ n مع AQ يجب أن يكون صفرًا:

n • AQ = 0 (*)

الشرط السابق يعادل القول:

AQ • (u X v) = 0

تضمن هذه المعادلة أن النقطة Q تنتمي إلى المستوى (P).

المعادلة الديكارتية للطائرة

يمكن كتابة المعادلة أعلاه بالشكل الديكارتي. للقيام بذلك ، نكتب إحداثيات النقاط A و Q ومكونات المتجه العادي n:

لذا فإن مكونات AQ هي:

شرط المتجه AQ المراد احتوائه في المستوى (P) هو الشرط (*) المكتوب الآن على النحو التالي:

يبقى حساب المنتج النقطي:

إذا تم تطويره وإعادة ترتيبه يبقى:

التعبير السابق هو المعادلة الديكارتية للمستوى (P) ، كدالة لمكونات المتجه العادي لـ (P) وإحداثيات النقطة A التي تنتمي إلى (P).

شروط ثلاثة نواقل لتكون غير متحد المستوى

كما رأينا في القسم السابق ، فإن الشرط AQ • (u X v) = 0 يضمن أن المتجه AQ متحد المستوى إلى u و v.

إذا أطلقنا على المتجه AQ w ، فيمكننا تأكيد ما يلي:

w و u و v متحد المستوى ، إذا وفقط إذا كانت w • (u X v) = 0.

حالة عدم الانتماء

إذا كان المنتج الثلاثي (أو المنتج المختلط) لثلاثة نواقل مختلفًا عن الصفر ، فإن هذه المتجهات الثلاثة تكون غير مستوية.

إذا كانت w • (u X v) ≠ 0 ، فإن المتجهات u و v و w تكون غير مستوية.

إذا تم تقديم المكونات الديكارتية للمتجهات u و v و w ، فيمكن كتابة حالة عدم التماثل على النحو التالي:

يحتوي المنتج الثلاثي على تفسير هندسي ويمثل حجم خط الموازي الناتج عن المتجهات الثلاثة غير المستوية.

الشكل 2. ثلاثة نواقل غير متحد المستوى تحدد خط متوازي السطوح يكون حجمه هو وحدة المنتج الثلاثي. (تفصيل خاص)

السبب هو كما يلي؛ عندما يتم ضرب اثنين من المتجهات غير المستوية بشكل متجهي ، يتم الحصول على متجه يكون حجمه هو مساحة متوازي الأضلاع التي تولدها.

ثم عندما يتم ضرب هذا المتجه بشكل عددي في المتجه الثالث غير المستوي ، فإن ما لدينا هو الإسقاط لمتجه عمودي على المستوى الذي يحدده الأولين مضروبًا في المساحة التي يحددانها.

بعبارة أخرى ، لدينا مساحة متوازي الأضلاع الناتجة عن أول اثنين مضروبة في ارتفاع المتجه الثالث.

شرط بديل لعدم التماثل

إذا كان لديك ثلاثة متجهات ولا يمكن كتابة أي منها كمجموعة خطية من الاثنين الآخرين ، فإن المتجهات الثلاثة تكون غير مستوية. أي أن ثلاثة نواقل u و v و w غير متحد المستوى إذا كان الشرط:

α u + β v + γ w = 0

لا يرضى إلا عندما تكون α = 0 و β = 0 و γ = 0.

تمارين محلولة

-التمرين 1

هناك ثلاثة نواقل

ش = (-3 ، -6 ، 2) ؛ v = (4 ، 1 ، 0) و w = (-1 ، 2 ، ض)

لاحظ أن المكون z للمتجه w غير معروف.

أوجد مدى القيم التي يمكن أن تأخذها z بحيث تضمن عدم مشاركة المتجهات الثلاثة في نفس المستوى.

المحلول

w • (u X v) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

جعلنا هذا التعبير مساويًا للقيمة صفر

21 ض + 18 = 0

ونحل قيمة z

ض = -18 / 21 = -6/7

إذا أخذ المتغير z القيمة -6/7 ، فإن المتجهات الثلاثة ستكون متحد المستوى.

لذا فإن قيم z التي تضمن أن المتجهات ليست متحد المستوى هي تلك الموجودة في الفاصل الزمني التالي:

z ∈ (-، -6 / 7) U (-6/7، ∞)

-تمرين 2

أوجد حجم خط الموازي الموضح في الشكل التالي:

المحلول

للعثور على حجم خط الموازي الموضح في الشكل ، سيتم تحديد المكونات الديكارتية لثلاثة نواقل متزامنة غير مستوية في أصل نظام الإحداثيات. الأول هو المتجه u بطول 4 أمتار وبالتوازي مع المحور X:

ش = (4 ، 0 ، 0) م

الثاني هو المتجه v في المستوى XY بحجم 3m والذي يشكل 60º مع المحور X:

ع = (3 * كوس 60º ، 3 * خطيئة 60º ، 0) = (1.5 ، 2.6 ، 0.0) م

والثالث هو المتجه w لـ 5m والذي يشكل إسقاطه في المستوى XY 60º مع المحور X ، بالإضافة إلى w تشكل 30º مع المحور Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º، 5 * sin 30º * sin 60º، 5 * sin 30º)

بمجرد إجراء الحسابات ، لدينا: ث = (1.25 ، 2.17 ، 2.5) م.

المراجع

1. سلسلة فيغيروا ، د.: فيزياء العلوم والهندسة. المجلد 1. الكينماتيكا. 31-68.
2. جسدي - بدني. الوحدة 8: النواقل. تم الاسترجاع من: frtl.utn.edu.ar
3. هيبلر ، ر. 2006. ميكانيكا للمهندسين. ثابتة الطبعة السادسة. شركة كونتيننتال للنشر 28-66.
4. ماكلين ، سلسلة دبليو شوم. ميكانيكا للمهندسين: احصائيات وديناميكيات. الطبعة الثالثة. ماكجرو هيل. 1-15.
5. ويكيبيديا. المتجه. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org