التقريب والتقريب الزائد: ما هو وأمثلة - رياضيات - 2025

و تحت وفوق التقريب هو طريقة عددية تستخدم لتحديد قيمة عدد فقا لمستويات مختلفة من الدقة. على سبيل المثال ، الرقم 235.623 قريب من 235.6 افتراضيًا و 235.7 بالزيادة. إذا اعتبرنا أن الأعشار حد للخطأ.

يتكون التقريب من استبدال رقم دقيق بآخر ، حيث يجب أن يسهل الاستبدال المذكور عمليات مشكلة رياضية ، مع الحفاظ على بنية المشكلة وجوهرها.

المصدر: Pexels.

أ ≈B

تقرأ؛ تقريبي ب. حيث يمثل "A" القيمة الدقيقة ويمثل "B" القيمة التقريبية.

أعداد كبيرة

تُعرف القيم التي يتم تعريف الرقم التقريبي بها بالأرقام المهمة. في تقريب المثال ، تم أخذ أربعة أرقام مهمة. يتم الحصول على دقة الرقم من خلال عدد الأرقام المهمة التي تحدده.

لا تعتبر الأصفار اللانهائية التي يمكن وضعها على يمين ويسار الرقم أرقامًا مهمة. لا يلعب موقع الفاصلة أي دور في تحديد الشخصيات المهمة للرقم.

750385

…. 00.0075038500….

75.038500000…..

750385000…..

….. 000007503850000…..

على ماذا تتكون؟

الطريقة بسيطة للغاية. اختر حد الخطأ ، وهو ليس سوى النطاق العددي الذي تريد إجراء القطع فيه. قيمة هذا النطاق تتناسب طرديا مع هامش الخطأ للرقم التقريبي.

في المثال أعلاه 235،623 يمتلك جزءًا من الألف (623). ثم تم التقريب لأعشار. القيمة الزائدة (235.7) تتوافق مع القيمة الأكثر أهمية بالأعشار مباشرة بعد الرقم الأصلي.

من ناحية أخرى ، تقابل القيمة الافتراضية (235.6) القيمة الأقرب والأكثر أهمية بالعشر التي تسبق الرقم الأصلي.

التقريب العددي شائع جدًا في الممارسة مع الأرقام. الطرق الأخرى المستخدمة على نطاق واسع هي التقريب والاقتطاع ؛ التي تستجيب لمعايير مختلفة لتعيين القيم.

هامش الخطأ

عند تحديد النطاق العددي الذي سيغطيه الرقم بعد تقريبه ، نحدد أيضًا نطاق الخطأ المصاحب للشكل. سيتم الإشارة إلى هذا برقم منطقي موجود أو مهم في النطاق المعين.

في المثال الأولي ، القيم المحددة بالزيادة (235.7) وافتراضيًا (235.6) بها خطأ تقريبي 0.1. في الدراسات الإحصائية ودراسات الاحتمالات ، يتم التعامل مع نوعين من الأخطاء فيما يتعلق بالقيمة العددية ؛ الخطأ المطلق والخطأ النسبي.

مقاييس

يمكن أن تكون معايير إنشاء نطاقات التقريب شديدة التباين وترتبط ارتباطًا وثيقًا بمواصفات العنصر المراد تقريبه. في البلدان ذات التضخم المرتفع ، تتجاهل التقديرات التقريبية الزائدة بعض النطاقات العددية ، لأنها أقل من مقياس التضخم.

بهذه الطريقة ، في حالة تضخم أكبر من 100٪ ، لن يقوم البائع بتعديل منتج من 50 دولارًا إلى 55 دولارًا ، ولكنه سيقربه إلى 100 دولار ، وبالتالي يتجاهل الوحدات والعشرات بالاقتراب مباشرة من المائة.

باستخدام الآلة الحاسبة

تجلب الآلات الحاسبة التقليدية معهم وضع FIX ، حيث يمكن للمستخدم تكوين عدد المنازل العشرية التي يريدون تلقيها في نتائجهم. ينتج عن هذا أخطاء يجب أخذها في الاعتبار عند إجراء حسابات دقيقة.

تقريب الأرقام غير المنطقية

تنتمي بعض القيم المستخدمة على نطاق واسع في العمليات العددية إلى مجموعة الأرقام غير المنطقية ، والتي تتمثل الخاصية الرئيسية لها في وجود عدد غير محدد من المنازل العشرية.

المصدر: Pexels.

قيم مثل:

• π = 3.141592654….
• ه = 2.718281828…
• √2 = 1.414213562…

إنها شائعة في التجريب ويجب تحديد قيمها في نطاق معين ، مع مراعاة الأخطاء المحتملة الناتجة.

لماذا هم؟

في حالة القسمة (1 ÷ 3) ، لوحظ من خلال التجريب ، الحاجة إلى تحديد عدد العمليات المنفذة لتحديد العدد.

1 ÷ 3 = 0.333333……

1 ÷ 3 3/10 = 0.3

1 ÷ 3 33/100 = 0.33

1 ÷ 3333/1000 = 0.333

1 ÷ 3 3333/10000 = 0.3333

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0.333333…..

يتم تقديم العملية التي يمكن إدامتها إلى أجل غير مسمى ، لذلك من الضروري التقريب في مرحلة ما.

في حالة ما اذا:

1 ÷ 3 333333….. / 10000….. = 0.333333…..

لأي نقطة تم تحديدها على أنها هامش خطأ ، سيتم الحصول على رقم أقل من القيمة الدقيقة لـ (1 ÷ 3). بهذه الطريقة ، فإن جميع التقديرات التي تم إجراؤها مسبقًا هي تقديرات تقريبية افتراضية لـ (1 ÷ 3).

أمثلة

مثال 1

1. أي من الأرقام التالية هو تقريب افتراضي قدره 0.0127

• 0.13
• 0.012 ؛ وهو تقدير تقريبي افتراضي قدره 0.0127
• 0.01 ؛ وهو تقدير تقريبي افتراضي قدره 0.0127
• 0.0128

مثال 2

1. أي من الأرقام التالية هو تقريب زائد قدره 23،435

• 24 ؛ هو تقريب بما يزيد عن 23،435
• 23.4
• 23.44 ؛ هو تقريب بما يزيد عن 23،435
• 23.5 ؛ هو تقريب بما يزيد عن 23،435

مثال 3

1. حدد الأرقام التالية باستخدام تقريب افتراضي ، مع ربط الخطأ المحدد.

• 547.2648…. للألف والمئات والعشرات.

الألف: تتوافق الألف مع أول 3 أرقام بعد الفاصلة ، حيث تأتي الوحدة بعد 999. انتقلنا لتقريب 547264.

المئات: يُشار إليها بأول رقمين بعد الفاصلة ، يجب أن يجتمع المئات ، 99 للوصول إلى الوحدة. بهذه الطريقة ، تقترب من 547.26 افتراضيًا .

العشرات: في هذه الحالة ، يكون حد الخطأ أعلى بكثير ، لأن نطاق التقريب محدد داخل الأعداد الصحيحة. عندما تقترب افتراضيًا في العشرة تحصل على 540.

مثال 4

1. حدد الأرقام التالية باستخدام تقريب زائد ، مع ربط الخطأ المحدد.

• 1204،27317 لأعشار ، مئات وآحاد.

أعشار: يشير إلى الرقم الأول بعد الفاصلة ، حيث تتكون الوحدة بعد 0.9. الاقتراب من أعشار زائد يعطينا 1204.3.

المئات: مرة أخرى لوحظ خطأ حد يكون نطاقه ضمن الأعداد الصحيحة للشكل. وتقريب المئات بالزيادة نحصل على 1300. هذا الرقم يختلف بشكل كبير عن 1204.27317. لهذا السبب ، لا يتم تطبيق التقريبات عادةً على قيم الأعداد الصحيحة.

الوحدات: بالاقتراب المفرط من الوحدة ، يتم الحصول على 1205.

مثال 5

1. تقطع الخياطة طول القماش 135.3 سم لصنع علم 7855 سم ². كم سيقيس الجانب الآخر إذا كنت تستخدم مسطرة تقليدية تصل إلى ملليمترات.

تقريب النتائج بالزيادة والعيب.

مساحة العلم مستطيلة ويتم تحديدها من خلال:

أ = الجانب x الضلع

الجانب = A / الجانب

الجانب = 7855 سم ² / 135.3 سم

الجانب = 58.05617147 سم

نظرًا لتقدير القاعدة ، يمكننا الحصول على بيانات تصل إلى ملليمترات ، وهو ما يتوافق مع نطاق الكسور العشرية فيما يتعلق بالسنتيمتر.

وبالتالي ، فإن 58 سم هو تقدير تقريبي افتراضي.

بينما 58.1 هو تقريب زائد.

مثال 6

1. حدد 9 قيم يمكن أن تكون أرقامًا دقيقة في كل من التقريبات:

• ينتج 34،071 من الألف تقريبًا افتراضيًا

34.07124 34.07108 34.07199

34.0719 34.07157 34.07135

34.0712 34.071001 34.07176

• ينتج 0.012 من الألف التقريبي افتراضيًا

0.01291 0.012099 0.01202

0.01233 0.01223 0.01255

0.01201 0.0121457 0.01297

• 23.9 ناتج من تقريب الأعشار بالزيادة

23.801 23.85555 23.81

23.89 23.8324 23.82

23،833 23،84 23،80004

• 58.37 هي نتيجة تقريب المئات بالزيادة

58.3605 58.36001 58.36065

58،3655 58،362 58،363

58.3623 58.361 58.3634

مثال 7

1. تقريب كل رقم غير نسبي وفقًا لحد الخطأ المشار إليه:

• π = 3.141592654….

الآلاف افتراضيًا π = 3.141

الألف بالزيادة π = 3.142

المئات افتراضيًا π = 3.14

المئات التي تزيد عن = 3.15

أعشار افتراضيًا π = 3.1

أعشار زيادة π = 3.2

• ه = 2.718281828…

الآلاف افتراضيًا e = 2.718

آلاف على زيادة e = 2.719

المئات افتراضيًا e = 2.71

المئات الزائدة e = 2.72

أعشار بشكل افتراضي e = 2.7

أعشار زيادة e = 2.8

• √2 = 1.414213562…

الآلاف افتراضيا √2 = 1.414

الألف من فائض √2 = 1.415

المئات افتراضيًا √2 = 1.41

المئات التي تزيد عن 2 = 1.42

أعشار افتراضيا √2 = 1.4

أعشار زيادة √2 = 1.5

• 1 ÷ 3 = 0.3333333…..

الآلاف افتراضيًا 1 3 = 0.332

الآلاف التي تزيد عن 1 3 = 0.334

المئات افتراضيًا 1 ÷ 3 = 0.33

المئات التي تزيد عن 1 ÷ 3 = 0.34

الأعشار افتراضيًا 1 ÷ 3 = 0.3

أعشار زيادة 1 3 = 0.4

المراجع

1. مشاكل في التحليل الرياضي. بيوتر بيلر ، ألفريد ويتكوفسكي. جامعة فروتسواف. بولندا.
2. مقدمة في المنطق ومنهجية العلوم الاستنتاجية. ألفريد تارسكي ، نيويورك أكسفورد. مطبعة جامعة أكسفورد.
3. مدرس الحساب ، المجلد 29. المجلس الوطني لمدرسي الرياضيات ، 1981. جامعة ميتشيغان.
4. تعلم وتعليم نظرية الأعداد: بحث في الإدراك والتعليم / تحرير ستيفن ر. كامبل ورينا زازكيس. Ablex للنشر 88 Post Road West ، Westport CT 06881.
5. برنولي ، ج. (1987). Ars Conjectandi- 4ème partie. روان: IREM.