التوزيع الهندسي المفرط: الصيغ ، المعادلات ، النموذج - دوداس - 2025

و التوزيع فوق الهندسي هي وظيفة إحصائية منفصلة، ومناسبة لحساب احتمال في التجارب العشوائية مع اثنين من النتائج المحتملة. الشرط المطلوب لتطبيقه هو أنهم عبارة عن مجموعات صغيرة ، حيث لا يتم استبدال عمليات السحب والاحتمالات ليست ثابتة.

لذلك ، عندما يتم اختيار عنصر من السكان لمعرفة النتيجة (صواب أو خطأ) لخاصية معينة ، لا يمكن اختيار نفس العنصر مرة أخرى.

الشكل 1. في مجتمع الترباس مثل هذا ، هناك بالتأكيد عينات معيبة. المصدر: Pixabay.

من المؤكد أن العنصر التالي المختار يكون أكثر احتمالاً للحصول على نتيجة حقيقية ، إذا كان العنصر السابق له نتيجة سلبية. هذا يعني أن الاحتمال يختلف حيث يتم استخراج العناصر من العينة.

التطبيقات الرئيسية للتوزيع الهندسي الفائق هي: مراقبة الجودة في العمليات مع عدد قليل من السكان وحساب الاحتمالات في ألعاب الحظ.

أما بالنسبة للدالة الرياضية التي تحدد التوزيع الهندسي الفائق ، فهي تتكون من ثلاث معاملات ، وهي:

- عدد العناصر السكانية (N)

- حجم العينة (م)

- عدد الأحداث في جميع السكان مع نتيجة إيجابية (أو غير مواتية) للخاصية المدروسة (ن).

الصيغ والمعادلات

تعطي صيغة التوزيع الهندسي الفائق الاحتمال P أن تحدث x حالات مواتية لخاصية معينة. طريقة كتابتها رياضيًا بناءً على الأرقام التجميعية هي:

في التعبير السابق N و n و m معلمات و x هي المتغير نفسه.

- مجموع السكان N.

-عدد النتائج الإيجابية لخاصية ثنائية معينة فيما يتعلق بإجمالي السكان هو n.

- كمية العناصر في العينة م.

في هذه الحالة ، X هو متغير عشوائي يأخذ القيمة x و P (x) تشير إلى احتمال حدوث x من الحالات المفضلة للخاصية المدروسة.

المتغيرات الإحصائية الهامة

المتغيرات الإحصائية الأخرى للتوزيع فوق الهندسي هي:

- يعني μ = m * n / N

- التباين σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- الانحراف المعياري σ وهو الجذر التربيعي للتباين.

النموذج والخصائص

للوصول إلى نموذج التوزيع الهندسي الفائق ، نبدأ من احتمال الحصول على x حالة مواتية في عينة بحجم m. تحتوي هذه العينة على عناصر تتوافق مع الخاصية قيد الدراسة وعناصر لا تتوافق معها.

تذكر أن n تمثل عدد الحالات المواتية في إجمالي عدد السكان لعناصر N. ثم يتم حساب الاحتمال على النحو التالي:

بالتعبير عن ما سبق في شكل أرقام اندماجية ، يتم الوصول إلى نموذج توزيع الاحتمالات التالي:

الخصائص الرئيسية للتوزيع فوق الهندسي

وهم على النحو التالي:

- يجب أن تكون العينة صغيرة دائمًا ، حتى لو كان عدد السكان كبيرًا.

- يتم استخلاص عناصر العينة واحدة تلو الأخرى دون دمجها مرة أخرى في المجتمع.

- الخاصية المراد دراستها ثنائية ، أي أنها يمكن أن تأخذ قيمتين فقط: 1 أو 0 ، أو صواب أو خطأ.

في كل خطوة من خطوات استخراج عنصر ، يتغير الاحتمال اعتمادًا على النتائج السابقة.

التقريب باستخدام التوزيع ذي الحدين

خاصية أخرى للتوزيع الهندسي الفائق هي أنه يمكن تقريبه من خلال التوزيع ذي الحدين ، والمشار إليه بـ Bi ، طالما أن عدد السكان N كبير وأكبر 10 مرات على الأقل من العينة m. في هذه الحالة سيبدو كما يلي:

احتمال أن تكون س = 3 مسامير معيبة في العينة هو: P (500 ، 5 ، 60 ، 3) = 0.0129.

من جانبها ، فإن احتمال أن تكون x = 4 مسامير من الستين من العينة معيبة هو: P (500، 5، 60؛ 4) = 0.0008.

أخيرًا ، احتمال أن تكون x = 5 مسامير معيبة في تلك العينة هو: P (500 ، 5 ، 60 ؛ 5) = 0.

ولكن إذا كنت تريد معرفة احتمال وجود أكثر من 3 مسامير معيبة في تلك العينة ، فعليك الحصول على الاحتمال التراكمي ، مضيفًا:

هذا المثال موضح في الشكل 2 ، الذي تم الحصول عليه باستخدام GeoGebra ، وهو برنامج مجاني يستخدم على نطاق واسع في المدارس والمعاهد والجامعات.

الشكل 2. مثال للتوزيع فوق الهندسي. من إعداد F. Zapata مع GeoGebra.

مثال 2

تحتوي مجموعة أوراق اللعب الإسبانية على 40 بطاقة ، 10 منها بها ذهب والبقية 30 لا تحتوي عليها. افترض أن 7 بطاقات تم سحبها عشوائيًا من تلك المجموعة ، ولم يتم دمجها في المجموعة.

إذا كان X هو عدد الذهب الموجود في البطاقات السبعة المسحوبة ، فإن احتمال حصولك على x ذهبيات في السحب المكون من 7 بطاقات يتم إعطاؤه بواسطة التوزيع الهندسي الفائق P (40،10،7؛ x).

دعونا نرى هذا على النحو التالي: لحساب احتمال وجود 4 ذهبيات في سحب مكون من 7 بطاقات ، نستخدم صيغة التوزيع الهندسي الفائق بالقيم التالية:

والنتيجة هي: 4.57٪ احتمال.

ولكن إذا كنت تريد معرفة احتمالية الحصول على أكثر من 4 بطاقات ، فعليك إضافة:

تمارين محلولة

تهدف مجموعة التمارين التالية إلى توضيح واستيعاب المفاهيم التي تم تقديمها في هذه المقالة. من المهم أن يحاول القارئ حلها بمفرده ، قبل النظر إلى الحل.

التمرين 1

اكتشف مصنع للواقيات الذكرية أنه من بين كل 1000 واقي ذكري تنتجه آلة معينة ، هناك 5 منها معيبة. لمراقبة الجودة ، يتم أخذ 100 واقي ذكري عشوائيًا ويتم رفض الدفعة إذا كان هناك عيب واحد أو أكثر. إجابة:

أ) ما هو احتمال أن يتم التخلص من الكثير من 100؟

ب) هل معيار مراقبة الجودة هذا فعال؟

المحلول

في هذه الحالة ، ستظهر أرقام اندماجية كبيرة جدًا. الحساب صعب ، إلا إذا كان لديك حزمة برامج مناسبة.

ولكن نظرًا لوجود عدد كبير من السكان والعينة أصغر بعشر مرات من إجمالي السكان ، فمن الممكن استخدام تقريب التوزيع الهندسي الفائق عن طريق التوزيع ذي الحدين:

في التعبير أعلاه C (100، x) هو رقم اندماجي. ثم يتم حساب احتمال وجود أكثر من خلل واحد على النحو التالي:

إنه تقدير تقريبي ممتاز ، إذا ما قورن بالقيمة التي تم الحصول عليها بتطبيق التوزيع الهندسي الفائق: 0.4102

يمكن القول أنه مع احتمال 40٪ ، يجب التخلص من دفعة من 100 وقائية ، وهذا غير فعال.

ولكن ، نظرًا لكونك أقل طلبًا في عملية مراقبة الجودة وتجاهل الدفعة 100 فقط إذا كان هناك عيبان أو أكثر ، فإن احتمال التخلص من الدفعة سينخفض ​​إلى 8٪ فقط.

تمرين 2

تعمل آلة تصنيع البلوك البلاستيكي بطريقة تجعل واحدة من كل 10 قطع مشوهة. في عينة مكونة من 5 قطع ، ما مدى احتمال أن تكون قطعة واحدة فقط معيبة؟

المحلول

عدد السكان: ن = 10

عدد n من العيوب لكل N: n = 1

حجم العينة: م = 5

لذلك ، هناك احتمال بنسبة 50٪ أنه في عينة مكونة من 5 كتلة ، ستتشوه الكتلة.

التمرين 3

في لقاء خريجي الثانوية العامة هناك 7 سيدات و 6 سادة. ومن بين الفتيات 4 يدرسن العلوم الانسانية و 3 علوم. في مجموعة الأولاد ، 1 درس العلوم الإنسانية و 5 علوم. احسب الآتي:

أ) اختيار ثلاث فتيات عشوائياً: ما مدى احتمالية أن يدرسن جميعاً العلوم الإنسانية؟

ب) إذا تم اختيار ثلاثة من الحاضرين في اجتماع الأصدقاء بشكل عشوائي: ما هو احتمال أن يقوم ثلاثة منهم ، بغض النظر عن الجنس ، بدراسة العلوم الثلاثة ، أو العلوم الإنسانية الثلاثة أيضًا؟

ج) اختر الآن صديقين عشوائياً وقم باستدعاء x المتغير العشوائي "عدد من درسوا العلوم الإنسانية". بين الاثنين المختارين ، حدد القيمة المتوسطة أو المتوقعة لـ x والتباين σ ^ 2.

الاجابه على

القيم التي يجب استخدامها الآن هي:

- عدد السكان: ن = 14

- الكمية التي تدرس الحروف هي: n = 6 و

-حجم العينة: م = 3.

-عدد الأصدقاء الذين يدرسون العلوم الإنسانية: x

وفقًا لهذا ، فإن x = 3 تعني أن الثلاثة يدرسون العلوم الإنسانية ، لكن x = 0 تعني أنه لا أحد يدرس العلوم الإنسانية. احتمالية أن تكون الدراسة الثلاثة هي نفسها معطى بالمجموع:

الفوسفور (14 ، 6 ، 3 ، س = 0) + الفوسفور (14 ، 6 ، 3 ، س = 3) = 0.0560 + 0.1539 = 0.2099

ثم لدينا احتمال بنسبة 21٪ أن يدرس ثلاثة من الحاضرين في الاجتماع ، يتم اختيارهم عشوائيًا ، الشيء نفسه.

الحل ج

هنا لدينا القيم التالية:

N = 14 إجمالي عدد الأصدقاء ، n = 6 إجمالي عدد السكان الذين يدرسون العلوم الإنسانية ، حجم العينة م = 2.

الأمل هو:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0.8572

والتباين:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / (13) = 0.4521

المراجع

1. توزيعات احتمالية منفصلة. تم الاسترجاع من: biplot.usal.es
2. الإحصاء والاحتمال. التوزيع الهندسي المفرط. تم الاسترجاع من: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. التوزيع الهندسي المفرط. تم الاسترجاع من: ugr.es
4. جيوجبرا. جيوجبرا الكلاسيكية ، حساب الاحتمالات. تعافى من geogebra.org
5. حاول بسهولة. حل مشاكل التوزيع الهندسي الفائق. تم الاسترجاع من: probafacil.com
6. برنامج Minitab. التوزيع الهندسي المفرط. تم الاسترجاع من: support.minitab.com
7. جامعة فيجو. التوزيعات الرئيسية المنفصلة. تم الاسترجاع من: anapg.webs.uvigo.es
8. فيتوتور. الإحصاء والتوافقية. تم الاسترجاع من: vitutor.net
9. وايسشتاين ، إريك دبليو التوزيع الهندسي. تم الاسترجاع من: mathworld.wolfram.com
10. ويكيبيديا. التوزيع الهندسي المفرط. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com