العوملة: الطرق والأمثلة - رياضيات - 2025

و الى عوامل هي الطريقة التي يتم التعبير متعدد الحدود كما تكاثر العوامل، التي قد تكون الأرقام أو الحروف أو كليهما. لتحليل العوامل المشتركة بين المصطلحات يتم تجميعها معًا ، وبهذه الطريقة يتحلل كثير الحدود إلى عدة كثيرات حدود.

وهكذا ، عندما يتم ضرب العوامل معًا ، تكون النتيجة هي كثيرة الحدود الأصلية. يعد التحليل إلى عوامل مفيدة جدًا عندما يكون لديك تعبيرات جبرية ، لأنه يمكن تحويلها إلى مضاعفة عدة مصطلحات بسيطة ؛ على سبيل المثال: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

هناك حالات لا يمكن فيها تحليل كثير الحدود إلى عوامل لأنه لا يوجد عامل مشترك بين مصطلحاتها ؛ وبالتالي ، فإن هذه التعبيرات الجبرية لا تقبل القسمة إلا على نفسها وعلى 1. على سبيل المثال: x + y + z.

في التعبير الجبري ، العامل المشترك هو القاسم المشترك الأكبر للمصطلحات التي يتكون منها.

طرق العوملة

هناك العديد من طرق العوملة ، والتي يتم تطبيقها حسب الحالة. بعض هذه كالتالي:

التحليل بالعامل المشترك

في هذه الطريقة يتم تحديد العوامل المشتركة ؛ أي تلك التي تتكرر في مصطلحات التعبير. ثم يتم تطبيق خاصية التوزيع ، ويتم أخذ القاسم المشترك الأكبر ، ويتم إكمال عملية التخصيم.

بمعنى آخر ، يتم تحديد العامل المشترك للتعبير ويتم تقسيم كل مصطلح به ؛ سيتم ضرب الحدود الناتجة في القاسم المشترك الأكبر للتعبير عن العوامل.

مثال 1

حلل العامل (b ² x) + (b ² y).

المحلول

أولاً تجد العامل المشترك لكل حد ، وهو في هذه الحالة ب ² ، ثم تقسم الحدود على العامل المشترك على النحو التالي:

(ب ² س) / ب ² = س

(ب ² ص) / ب ² = ص.

يتم التعبير عن العامل ، بضرب العامل المشترك بالمصطلحات الناتجة:

(ب ² س) + (ب ² ص) = ب ² (س + ص).

مثال 2

حلل العامل (2a ² b ³) + (3ab ²).

المحلول

في هذه الحالة لدينا عاملين يتكرران في كل مصطلح وهما "أ" و "ب" ، ويتم رفعهما إلى قوة. لتحليلها ، يتحلل المصطلحان أولاً في شكلهما الطويل:

2 _* أ _* أ _* ب _* ب _* ب + 3 أ _* ب _* ب

يمكن ملاحظة أن العامل "أ" يتكرر مرة واحدة فقط في المصطلح الثاني ، والعامل "ب" يتكرر مرتين في هذا ؛ لذلك في المصطلح الأول ، لم يتبق سوى 2 ، العامل "أ" والعامل "ب" ؛ بينما في الفصل الثاني بقي 3 فقط.

لذلك ، الأوقات التي يتم فيها تكرار الحرفين "أ" و "ب" يتم كتابتها وضربها في العوامل المتبقية من كل مصطلح ، كما هو موضح في الصورة:

تجميع العوملة

نظرًا لأنه في جميع الحالات لا يتم التعبير عن القاسم المشترك الأكبر لكثير الحدود بوضوح ، فمن الضروري القيام بخطوات أخرى لتتمكن من إعادة كتابة كثير الحدود وبالتالي العامل.

تتمثل إحدى هذه الخطوات في تجميع مصطلحات كثيرة الحدود في عدة مجموعات ، ثم استخدام طريقة العامل المشترك.

مثال 1

حلل العامل ac + bc + ad + bd.

المحلول

هناك أربعة عوامل حيث يوجد عاملان مشتركان: في المصطلح الأول يكون "c" وفي الثاني "d". بهذه الطريقة يتم تجميع المصطلحين وفصلهما:

(ac + bc) + (ad + bd).

أصبح من الممكن الآن تطبيق طريقة العامل المشترك ، وتقسيم كل مصطلح على عامله المشترك ثم ضرب هذا العامل المشترك بالمصطلحات الناتجة ، مثل هذا:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

ج (أ + ب) + د (أ + ب).

الآن نحصل على ذات الحدين المشتركة لكلا الحدين. لتحليلها ، يتم ضربها في العوامل المتبقية ؛ بهذه الطريقة عليك أن:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

عوملة التفتيش

تُستخدم هذه الطريقة لتحليل كثيرات الحدود التربيعية ، وتسمى أيضًا ثلاثية الحدود ؛ أي تلك التي تم تنظيمها على أنها ax ² ± bx + c ، حيث تختلف قيمة "a" عن 1. تُستخدم هذه الطريقة أيضًا عندما يكون للثالث الحدود الشكل x ² ± bx + c وقيمة "a" = 1.

مثال 1

حلل العامل x ² + 5x + 6.

المحلول

لدينا ثلاثي الحدود التربيعي بالصيغة x ² ± bx + c. لتحليلها ، يجب أولاً العثور على رقمين ، عند ضربهما ، يعطيان نتيجة لذلك قيمة «c» (أي 6) وأن مجموعهما يساوي المعامل «b» ، وهو 5. هذان الرقمان هما 2 و 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

بهذه الطريقة ، يتم تبسيط التعبير كما يلي:

(س ² + ² س) + (3 س + 6)

يتم أخذ كل مصطلح في الاعتبار:

- بالنسبة لـ (x ² + 2x) يتم أخذ المصطلح الشائع: x (x + 2)

- لـ (3x + 6) = 3 (x + 2)

وهكذا فإن التعبير هو:

س (س +2) + 3 (س +2).

نظرًا لأن لدينا قاسمًا مشتركًا ذو الحدين ، لتقليل التعبير ، نضرب هذا في الحدود المتبقية وعلينا:

س ² + 5 س + 6 = (س + 2) _* (س + 3).

مثال 2

أخرج العامل 4a ² + 12a + 9 = 0.

المحلول

لدينا ثلاثية تربيعية للصيغة ax ² ± bx + cy لتحليلها ، وضرب التعبير بالكامل في معامل x ² ؛ في هذه الحالة ، 4.

4 أ ² + 12 أ +9 = 0

4 أ ² (4) + 12 أ (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 أ ² + 12 أ (4) + 36 = 0

4 ² أ ² + 12 أ (4) + 36 = 0

الآن يجب أن نجد رقمين ، عند ضربهما في بعضهما البعض ، نعطي نتيجة لذلك قيمة "c" (وهي 36) والتي ، عند إضافتها ، تعطي نتيجة لذلك معامل المصطلح "a" ، وهو 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

بهذه الطريقة يُعاد كتابة التعبير ، مع الأخذ في الاعتبار أن 4 ² أ ² = 4 أ _* 4 أ. لذلك ، تنطبق خاصية التوزيع على كل مصطلح:

(4 أ + 6) _* (4 أ + 6).

أخيرًا ، يتم تقسيم التعبير على معامل a ² ؛ أي 4:

(الرابع + 6) _* (الرابع + 6) / 4 = ((الرابع + 6) / 2) _* ((الرابع + 6) / 2).

التعبير كالتالي:

4 أ ² + 12 أ +9 = (2 أ +3) _* (2 أ + 3).

التخصيم مع المنتجات البارزة

هناك حالات حيث ، لتحليل كثيرات الحدود بالطرق المذكورة أعلاه ، تصبح عملية طويلة جدًا.

هذا هو السبب في أنه يمكن تطوير التعبير باستخدام صيغ المنتجات الرائعة وبالتالي تصبح العملية أبسط. من بين المنتجات البارزة الأكثر استخدامًا:

- فرق مربعين: (أ ² - ب ²) = (أ - ب) _* (أ + ب)

- مربع المجموع الكامل: أ ² + ² أب + ب ² = (أ + ب) ²

- مربع الاختلاف التام: أ ² - ² أب + ب ² = (أ - ب) ²

- فرق المكعبين: أ ³ - ب ³ = (أب) _* (أ ² + أب + ب ²)

- مجموع مكعبين: أ ³ - ب ³ = (أ + ب) _* (أ ² - أب + ب ²)

مثال 1

العامل (5 ² - x ²)

المحلول

في هذه الحالة هناك فرق بين مربعين ؛ لذلك تنطبق صيغة المنتج الرائعة:

(أ ² - ب ²) = (أ - ب) _* (أ + ب)

(5 ² - س ²) = (5 - س) _* (5 + س)

مثال 2

حلل العامل 16x ² + 40x + 25 ²

المحلول

في هذه الحالة ، لديك مربع كامل للمبلغ ، لأنه يمكنك تحديد حدين تربيع ، والحد المتبقي هو نتيجة ضرب اثنين في الجذر التربيعي للحد الأول ، في الجذر التربيعي للحد الثاني.

أ ² + ² أب + ب ² = (أ + ب) ²

لتحليل الجذور التربيعية للحدين الأول والثالث فقط يتم حسابها:

√ (16x ²) = 4x

√ (25 ²) = 5.

ثم يتم التعبير عن المصطلحين الناتج عن فصلهما بعلامة العملية ، ويتم تربيع كثير الحدود بالكامل:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ².

مثال 3

حلل العامل 27a ³ - b ³

المحلول

يمثل التعبير عملية طرح يتم فيها تكعيب عاملين. لتحليلها ، يتم تطبيق صيغة المنتج الملحوظ لاختلاف المكعبات ، وهي:

أ ³ - ب ³ = (أب) _* (أ ² + أب + ب ²)

وهكذا ، لتحليل ، يتم أخذ الجذر التكعيبي لكل حد من الحدود وضربه في مربع الحد الأول ، بالإضافة إلى حاصل ضرب الأول في الحد الثاني ، بالإضافة إلى تربيع الحد الثاني.

27 أ ³ - ب ³

³√ (27 أ ³) = 3 أ

³√ (-b ³) = -b

27 أ ³ - ب ³ = (3 أ - ب) _*

27 أ ³ - ب ³ = (3 أ - ب) _* (9 أ ² + ³ أب + ب ²)

التخصيم مع حكم روفيني

تُستخدم هذه الطريقة عندما يكون لديك كثير حدود من الدرجة أكبر من اثنين ، من أجل تبسيط التعبير إلى العديد من كثيرات الحدود من الدرجة الأقل.

مثال 1

عامل Q (س) = س ⁴ - 9X ² + 4x و+ 12

المحلول

أولًا نبحث عن الأعداد المقسومة على 12 ، وهي المصطلح المستقل ؛ هذه هي ± 1 و ± 2 و ± 3 و ± 4 و ± 6 و ± 12.

ثم يتم استبدال x بهذه القيم ، من الأدنى إلى الأعلى ، وبالتالي يتم تحديد أي من القيم سيكون التقسيم دقيقًا ؛ أي ، يجب أن يكون الباقي 0:

س = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - (9 -1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

س = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

س = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

وهكذا لكل مقسوم عليه. في هذه الحالة ، العوامل الموجودة هي x = -1 و x = 2.

الآن يتم تطبيق طريقة Ruffini ، والتي بموجبها سيتم تقسيم معاملات التعبير على العوامل الموجودة بحيث يكون التقسيم دقيقًا. يتم ترتيب مصطلحات كثيرة الحدود من الأس الأعلى إلى الأس الأدنى ؛ في حالة فقدان حد من الدرجة التالية في المتسلسلة ، يتم وضع 0 في مكانه.

تقع المعاملات في مخطط كما هو موضح في الصورة التالية.

يتم تخفيض المعامل الأول وضربه بالمقسوم عليه. في هذه الحالة ، يكون القاسم الأول هو -1 ، ويتم وضع النتيجة في العمود التالي. ثم تضاف قيمة المعامل بهذه النتيجة التي تم الحصول عليها رأسياً وتوضع النتيجة أدناه. بهذه الطريقة تتكرر العملية حتى العمود الأخير.

ثم يتم تكرار نفس الإجراء مرة أخرى ، ولكن مع القاسم الثاني (وهو 2) لأنه لا يزال من الممكن تبسيط التعبير.

وبالتالي ، لكل جذر تم الحصول عليه ، سيكون لكثير الحدود مصطلح (س - أ) ، حيث "أ" هي قيمة الجذر:

(س - (-1)) _* (س - 2) = (س + 1) _* (س - 2)

من ناحية أخرى ، يجب ضرب هذه المصطلحات في باقي قاعدة روفيني 1: 1 و -6 ، وهي عوامل تمثل درجة. بهذه الطريقة يكون التعبير الذي تم تكوينه هو: (س ² + س - 6).

الحصول على نتيجة تحليل كثير الحدود بطريقة روفيني هو:

× ⁴ - 9 × ² + 4 × + 12 = (س + 1) _* (س - 2) _* (س ² + س - 6)

أخيرًا ، يمكن إعادة كتابة كثير الحدود من الدرجة 2 التي تظهر في التعبير السابق كـ (x + 3) (x-2). لذلك ، فإن العامل النهائي هو:

س ⁴ - 9X ² + 4x و+ 12 = (س + 1) _* (س - 2) _* (س + 3) _* (س 2).

المراجع

1. آرثر جودمان ، إل إتش (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
2. J ، V. (2014). كيف تعلم الأطفال عن تحليل كثير الحدود.
3. مانويل موريللو ، AS (سادس). الرياضيات الأساسية مع التطبيقات.
4. Roelse ، PL (1997). الطرق الخطية لعوامل كثيرة الحدود على مجالات محدودة: النظرية والتطبيقات. جامعة إيسن.
5. شارب ، د. (1987). الحلقات والعوامل.