الجبر البولي: التاريخ ، النظريات والمسلمات ، أمثلة - رياضيات - 2025

و الجبر البولي أو الجبر البولي هو تدوين جبري المستخدمة لعلاج المتغيرات الثنائية. ويغطي دراسات أي متغير له نتيجتان محتملتان فقط ، مكملتان ومتنافيتان. على سبيل المثال ، المتغيرات التي يكون احتمالها الوحيد صحيحًا أو خاطئًا ، صحيحًا أو غير صحيح ، تشغيل أو إيقاف تشغيل هي أساس دراسة الجبر البولي.

يشكل الجبر المنطقي أساس الإلكترونيات الرقمية ، مما يجعله حاضرًا تمامًا اليوم. يحكمها مفهوم البوابات المنطقية ، حيث تتأثر العمليات المعروفة في الجبر التقليدي بشكل ملحوظ.

المصدر: pexels.com

التاريخ

تم تقديم الجبر المنطقي في عام 1854 من قبل عالم الرياضيات الإنجليزي جورج بول (1815 - 1864) ، الذي كان عالِمًا ذاتيًا في ذلك الوقت. نشأ قلقه من نزاع قائم بين Augustus De Morgan و William Hamilton ، حول المعايير التي تحدد هذا النظام المنطقي.

جادل جورج بول بأن تعريف القيم العددية 0 و 1 يتوافق ، في مجال المنطق ، مع تفسير لا شيء والكون على التوالي.

كانت نية جورج بول أن تحدد ، من خلال خصائص الجبر ، التعبيرات عن المنطق الافتراضى الضروري للتعامل مع متغيرات النوع الثنائي.

في عام 1854 تم نشر أهم أقسام الجبر البولي في كتاب "تحقيق في قوانين الفكر التي تستند إليها النظريات الرياضية للمنطق والاحتمال".

سيتم تلخيص هذا العنوان الغريب فيما بعد باسم "قوانين الفكر" ("قوانين الفكر"). ارتفع العنوان إلى الشهرة بسبب الاهتمام الفوري الذي تلقاه من المجتمع الرياضي في ذلك الوقت.

في عام 1948 طبقه كلود شانون على تصميم دوائر التبديل الكهربائية ثنائية الاستقرار. كان هذا بمثابة مقدمة لتطبيق الجبر المنطقي ضمن المخطط الرقمي الإلكتروني بأكمله.

بناء

القيم الأولية في هذا النوع من الجبر هي 0 و 1 ، والتي تتوافق مع FALSE و TRUE على التوالي. العمليات الأساسية في الجبر البولي هي 3:

- والتشغيل أو الاقتران. تمثلها نقطة (.). مرادف للمنتج.

- التشغيل أو الانفصال. ممثلة بصليب (+) مرادف للمجموع.

- لا عملية أو نفي. يمثلها البادئة NOT (NOT A). ومن المعروف أيضا باسم مكمل.

إذا تم تعريف قوانين A 2 للتكوين الداخلي في المجموعة على أنها حاصل ضرب ومجموع (. +) ، يُقال إن الثلاثي (A +) هو جبر منطقي إذا وفقط إذا كان هذا الثلاثي يفي بشرط كونه شعرية التوزيع.

لتحديد شبكة توزيع ، يجب استيفاء شروط التوزيع بين العمليات المحددة:

. هو التوزيع بالنسبة لمجموع + أ. (ب + ج) = (أ. ب) + (أ. ج)

+ توزيع فيما يتعلق بالمنتج. أ + (ب. ج) = (أ + ب). (أ + ج)

يجب أن تكون العناصر التي تتكون منها المجموعة "أ" ثنائية ، وبالتالي تحتوي على قيم الكون أو الفراغ.

التطبيقات

سيناريو التطبيق الرئيسي هو الفرع الرقمي ، حيث يعمل على هيكلة الدوائر التي تشكل العمليات المنطقية المعنية. فن بساطة الدوائر لصالح تحسين العمليات هو نتيجة للتطبيق الصحيح وممارسة الجبر المنطقي.

من تطوير اللوحات الكهربائية ، مرورًا بنقل البيانات ، إلى الوصول إلى البرمجة بلغات مختلفة ، يمكننا في كثير من الأحيان العثور على الجبر البولي في جميع أنواع التطبيقات الرقمية.

المتغيرات المنطقية شائعة جدًا في بنية البرمجة. اعتمادًا على لغة البرمجة المستخدمة ، ستكون هناك عمليات هيكلية في الكود تستخدم هذه المتغيرات. تقبل الشروط والحجج الخاصة بكل لغة المتغيرات المنطقية لتحديد العمليات.

المسلمات

هناك نظريات تحكم القوانين المنطقية البنيوية للجبر البولي. بالطريقة نفسها ، هناك افتراضات لمعرفة النتائج المحتملة في مجموعات مختلفة من المتغيرات الثنائية ، اعتمادًا على العملية التي يتم تنفيذها.

مجموع (+)

و أو المشغل الذي العنصر المنطقي هو اتحاد (U) يتم تعريف المتغيرات الثنائية على النحو التالي:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

المنتج (.)

عامل التشغيل AND الذي يكون عنصره المنطقي هو التقاطع (∩) معرف للمتغيرات الثنائية على النحو التالي:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

واحد. 0 = 0

واحد. 1 = 1

المقابل (ليس)

عامل التشغيل NOT الذي يكون عنصره المنطقي هو المكمل (X) 'محددًا للمتغيرات الثنائية على النحو التالي:

ليس 0 = 1

ليس 1 = 0

تختلف العديد من الفرضيات عن نظيراتها في الجبر التقليدي. هذا يرجع إلى مجال المتغيرات. على سبيل المثال ، إضافة عناصر الكون في الجبر المنطقي (1 + 1) لا يمكن أن يعطي النتيجة التقليدية 2 ، لأنها لا تنتمي إلى عناصر المجموعة الثنائية.

نظريات

حكم الصفر والوحدة

يتم تعريف أي عملية بسيطة تتضمن عنصرًا بمتغيرات ثنائية:

0 + أ = أ

1 + أ = 1

0. أ = 0

واحد. أ = أ

قوى متساوية أو عاطفة

يتم تعريف العمليات بين المتغيرات المتساوية على النحو التالي:

أ + أ = أ

إلى. أ = أ

تكملة

يتم تعريف أي عملية بين متغير ومكملته على النحو التالي:

أ + ليس أ = 1

إلى. ليس أ = 0

الإلتفاف أو النفي المزدوج

سيتم اعتبار أي نفي مزدوج كمتغير طبيعي.

ليس (ليس أ) = أ

تبادلي

أ + ب = ب + أ ؛ تبادلية المجموع.

إلى. ب = ب. إلى ؛ تبادلية المنتج.

ترابطي

أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج = أ + ب + ج ؛ ترابطية المجموع.

إلى. (ب ج) = (أ ب). ج = أ. ب. ج ؛ ترابط المنتج.

التوزيع

أ + (ب ج) = (أ + ب). (أ + ج) ؛ توزيع المجموع فيما يتعلق بالمنتج.

إلى. (ب + ج) = (أ ب) + (أ + ج) ؛ توزيع المنتج فيما يتعلق بالمجموع.

قوانين الاستيعاب

هناك العديد من قوانين الاستيعاب من بين مراجع متعددة ، ومن أشهرها:

إلى. (أ + ب) = أ

إلى. (ليس أ + ب) = أ. ب

ليس أ (أ + ب) = لا أ. ب

(أ + ب). (أ + ليس ب) = أ

أ + أ. ب = أ

أ + لا أ. ب = أ + ب

ليس أ + أ. ب = لا أ + ب

إلى. ب + أ. ليس ب = أ

نظرية مورغان

إنها قوانين تحويل ، تتعامل مع أزواج من المتغيرات التي تتفاعل بين العمليات المحددة للجبر البولي (+.).

ليس (أ ب) = لا أ + لا ب

NOT (A + B) = NOT A. لا ب

أ + ب = لا (ليس أ + ليس ب)

إلى. ب = لا (ليس أ. لا ب)

الازدواجية

تمتلك جميع المسلمات والنظريات ملكة الازدواجية. هذا يعني أنه من خلال تبادل المتغيرات والعمليات يتم التحقق من الاقتراح الناتج. أي عند استبدال 0 بـ 1 و AND لـ OR أو العكس ؛ يتم إنشاء التعبير الذي سيكون أيضًا صالحًا تمامًا.

على سبيل المثال إذا تم اتخاذ الفرضية

واحد. 0 = 0

ويتم تطبيق الازدواجية

0 + 1 = 1

تم الحصول على افتراض آخر صالح تماما.

خريطة Karnaugh

خريطة Karnaugh هي رسم تخطيطي يستخدم في الجبر البولي لتبسيط الوظائف المنطقية. وهو يتألف من ترتيب ثنائي الأبعاد مشابه لجداول الحقيقة لمنطق الافتراض. يمكن التقاط البيانات من جداول الحقيقة مباشرة على خريطة Karnaugh.

يمكن أن تستوعب خريطة Karnaugh عمليات تصل إلى 6 متغيرات. بالنسبة للوظائف التي تحتوي على عدد أكبر من المتغيرات ، يوصى باستخدام البرنامج لتبسيط العملية.

تم اقتراحه في عام 1953 من قبل موريس كارنو ، وقد تم تأسيسه كأداة ثابتة في مجال الجبر البولي ، لأن تنفيذه يزامن الإمكانات البشرية مع الحاجة إلى تبسيط التعبيرات المنطقية ، وهو جانب رئيسي في سيولة العمليات الرقمية.

أمثلة

يتم استخدام الجبر المنطقي لتقليل البوابات المنطقية في الدائرة ، حيث تكون الأولوية لإحضار تعقيد أو مستوى الدائرة إلى أدنى تعبير ممكن. هذا بسبب التأخير الحسابي الذي تفترضه كل بوابة.

في المثال التالي ، سنلاحظ تبسيط التعبير المنطقي إلى الحد الأدنى من التعبير ، باستخدام نظريات ومسلمات الجبر المنطقي.

ليس (AB + A + B). ليس (أ + لا ب)

ليس. لا (أ + لا ب) ؛ تحليل عامل A بعامل مشترك.

ليس. لا (أ + لا ب) ؛ حسب النظرية أ + 1 = 1.

ليس (أ + ب). لا (أ + لا ب) ؛ بواسطة نظرية أ. 1 = أ

(ليس أ. لا ب). ؛

حسب نظرية مورغان NOT (A + B) = NOT A. لا ب

(ليس أ. لا ب). (ليس أ ب) ؛ بواسطة نظرية النفي المزدوج NOT (NOT A) = A

لا أ. لا ب. لا أ. ب؛ التجميع الجبري.

لا أ. لا أ. لا ب. ب؛ تبادلية المنتج أ. ب = ب. إلى

لا أ. لا ب. ب؛ حسب النظرية أ. أ = أ

لا أ. 0 ؛ حسب النظرية أ. ليس أ = 0

0 ؛ حسب النظرية أ. 0 = 0

إلى. ب. C + NOT A + A. لا ب. ج

إلى. ج. (ب + ليس ب) + لا أ ؛ التحليل إلى عوامل (أ ج) بعامل مشترك.

إلى. ج. (1) + ليس أ ؛ حسب النظرية أ + ليس أ = 1

إلى. C + NOT A ؛ بواسطة قاعدة نظرية الصفر والوحدة 1. أ = أ

ليس A + C ؛ بموجب قانون Morgan A + NOT A. ب = أ + ب

لهذا الحل ، يجب توسيع قانون مورغان ليحدد:

ليس (ليس أ). C + NOT A = NOT A + C

لأن NOT (NOT A) = A عن طريق الالتفاف.

بسّط دالة المنطق

لا أ. لا ب. NOT C + NOT A. لا ب. ج + لا أ. NOT C وصولاً إلى الحد الأدنى من التعبير

لا أ. لا ب. (ليس C + C) + لا أ. ليس ج ؛ التحليل (ليس أ. لا ب) بعامل مشترك

لا أ. لا ب. (1) + لا أ. ليس ج ؛ حسب النظرية أ + ليس أ = 1

(ليس أ. لا ب) + (ليس أ. لا ج) ؛ بواسطة قاعدة نظرية الصفر والوحدة 1. أ = أ

ليس أ (ليس ب + ليس ج) ؛ تحليل عوامل NOT A بعامل مشترك

لا أ. لا (ب. ج) ؛ بموجب قوانين مورغان ليس (أ ب) = لا أ + لا ب

ليس بقوانين مورغان وليس (أ ب) = لا أ + لا ب

يمثل أي من الخيارات الأربعة بالخط العريض حلاً ممكنًا لتقليل مستوى الدائرة

بسّط الدالة المنطقية إلى أبسط صورة

(أ. لا ب. ج + أ. لا ب ب. د + لا أ. لا ب). ج

(أ. لا ب ج + أ 0. د + لا أ. لا ب). ج ؛ حسب النظرية أ. ليس أ = 0

(أ. لا ب. ج + 0 + لا أ. لا ب). ج ؛ حسب النظرية أ. 0 = 0

(أ. لا ب. ج + لا أ. لا ب). ج ؛ حسب النظرية أ + 0 = أ

إلى. لا ب. ج. ج + لا أ. لا ب. ج ؛ عن طريق توزيع المنتج فيما يتعلق بالمجموع

إلى. لا ب. ج + لا أ. لا ب. ج ؛ حسب النظرية أ. أ = أ

لا ب. ج (أ + لا أ) ؛ تحليل العوامل (ليس ب ج) بعامل مشترك

لا ب. ج (1) ؛ حسب النظرية أ + ليس أ = 1

لا ب. ج ؛ بواسطة قاعدة نظرية الصفر والوحدة 1. أ = أ

المراجع

1. الجبر البولي وتطبيقاته J. Eldon Whitesitt. شركة كونتيننتال للنشر ، 1980.
2. الرياضيات والهندسة في علوم الكمبيوتر. كريستوفر جيه فان ويك. معهد علوم وتكنولوجيا الحاسوب. المكتب الوطني للمعايير. واشنطن العاصمة 20234
3. الرياضيات لعلوم الكمبيوتر. اريك ليمان. Google Inc.

   F Thomson Leighton قسم الرياضيات وعلوم الكمبيوتر ومختبر الذكاء الاصطناعي ، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ؛ تقنيات Akamai.

4. عناصر التحليل المجرد. ميشال أوسيركويد دكتوراه. قسم الرياضيات. كلية دبلن الجامعية ، بيلدفيلد ، دوبليند.
5. مقدمة في المنطق ومنهجية العلوم الاستنتاجية. ألفريد تارسكي ، نيويورك أكسفورد. مطبعة جامعة أكسفورد.