الخطوط المائلة: الخصائص والمعادلات والأمثلة - رياضيات - 2025

على خطوط مائلة هي تلك التي تميل، إما نسبة إلى سطح مستو أو الخط الآخر يشير إلى عنوان معين. كمثال ، ضع في اعتبارك الخطوط الثلاثة المرسومة في مستوى يظهر في الشكل التالي.

نحن نعرف مواضعهما النسبية لأننا نقارنها بخط مرجعي ، والذي عادة ما يكون المحور x يشير إلى الأفقي.

الشكل 1. خطوط عمودية وأفقية ومائلة في نفس المستوى. المصدر: F. Zapata.

بهذه الطريقة ، باختيار الأفقي كمرجع ، يكون الخط الموجود على اليسار عموديًا ، والخط الموجود في الوسط أفقيًا والخط الموجود على اليمين مائل ، لأنه يميل فيما يتعلق بالخطوط المرجعية اليومية.

الآن ، الخطوط الموجودة على نفس المستوى ، مثل سطح الورقة أو الشاشة ، تشغل مواقع مختلفة بالنسبة لبعضها البعض ، اعتمادًا على ما إذا كانت تتقاطع أم لا. في الحالة الأولى ، تكون الخطوط القاطعة ، بينما في الحالة الثانية ، تكون متوازية.

من ناحية أخرى ، يمكن أن تكون الخطوط القاطعة خطوطًا مائلة أو خطوطًا عمودية. في كلتا الحالتين ، تختلف منحدرات الخطوط ، لكن الخطوط المائلة تشكل زاويتين α و بينهما ، تختلف عن 90 درجة ، بينما الزوايا التي تحددها الخطوط العمودية دائمًا 90 درجة.

يلخص الشكل التالي هذه التعريفات:

الشكل 2. المواضع النسبية بين الخطوط: المواضع المتوازية والمائلة والعمودية تختلف في الزاوية التي تشكلها مع بعضها البعض. المصدر: F. Zapata.

المعادلات

لمعرفة المواضع النسبية للخطوط في المستوى ، من الضروري معرفة الزاوية بينهما. لاحظ أن الخطوط هي:

بالتوازي: إذا كان لديهم نفس الميل (نفس الاتجاه) ولم يتقاطعوا أبدًا ، فإن نقاطهم تكون متساوية البعد.

Coincidents: عندما تتزامن جميع النقاط، وبالتالي لديها نفس المنحدر، ولكن المسافة بين نقاطها صفر.

المجففات: إذا كانت منحدراتها مختلفة ، فإن المسافة بين نقاطها تختلف ويكون التقاطع نقطة واحدة.

إذن ، إحدى الطرق لمعرفة ما إذا كان خطان في المستوى قاطعين أم متوازيين هي من خلال ميلهما. معايير التوازي والعمودي للخطوط هي كما يلي:

إذا لم يتم استيفاء أي من المعايير المذكورة أعلاه ، بمعرفة ميل خطين في المستوى ، فإننا نستنتج أن الخطوط مائلة. بمعرفة نقطتين على خط ما ، يتم حساب الميل على الفور ، كما سنرى في القسم التالي.

يمكنك معرفة ما إذا كان الخطان قاطعان أم متوازيان من خلال إيجاد تقاطعهما ، وحل نظام المعادلات التي يشكلانها: إذا كان هناك حل ، فسيكونان قاطعين ، وإذا لم يكن هناك حل ، فهما متوازيان ، ولكن إذا كانت الحلول غير محدودة ، فإن الخطوط متطابقة.

ومع ذلك ، فإن هذا المعيار لا يخبرنا عن الزاوية بين هذين الخطين ، حتى لو تقاطعا.

لمعرفة الزاوية بين الخطين ، نحتاج إلى متجهين u و v ينتميان إلى كل منهما. وبالتالي من الممكن معرفة الزاوية التي تشكلها عن طريق المنتج القياسي للمتجهات ، المحددة بهذه الطريقة:

u • v = uvcos α

معادلة الخط المستقيم

يمكن تمثيل خط في المستوى الديكارتي بعدة طرق ، مثل:

- صيغة الميل والمقطع: إذا كانت m هي ميل الخط وكانت b تقاطع الخط مع المحور الرأسي ، تكون معادلة الخط y = mx + b.

- المعادلة العامة للخط: Ax + By + C = 0 حيث m = A / B هو المنحدر.

في المستوى الديكارتي ، تعتبر الخطوط الرأسية والأفقية حالات خاصة لمعادلة الخط.

- الخطوط العمودية: x = a

- الخطوط الأفقية: y = k

الشكل 3. على اليسار الخط الرأسي x = 4 والخط الأفقي y = 6. على اليمين مثال على الخط المائل. المصدر: F. Zapata.

في الأمثلة في الشكل 3 ، الخط الأحمر العمودي له المعادلة x = 4 ، بينما الخط الموازي للمحور x (الأزرق) له معادلة y = 6. أما بالنسبة للخط الأيمن ، فنلاحظ أنه مائل ولإيجاد معادلته نستخدم النقاط الموضحة في الشكل: (0،2) و (4،0) بهذه الطريقة:

قطع هذا الخط مع المحور الرأسي هو y = 2 ، كما يتضح من الرسم البياني. بهذه المعلومات:

من السهل تحديد زاوية الميل بالنسبة للمحور x. أشعر بذلك:

إذن ، الزاوية الموجبة من المحور x للخط هي: 180º - 26.6º = 153.4º

أمثلة على الخطوط المائلة

الشكل 4. أمثلة على الخطوط المائلة. المصدر: المبارزون إيان باترسون. برج بيزا المائل. بيكساباي.

تظهر الخطوط المائلة في العديد من الأماكن ، فالأمر يتطلب الانتباه للعثور عليها في الهندسة المعمارية والرياضة وأسلاك الإمداد الكهربائي والأنابيب والعديد من الأماكن الأخرى. في الطبيعة الخطوط المائلة موجودة أيضًا ، كما سنرى أدناه:

أشعة الضوء

ينتقل ضوء الشمس في خط مستقيم ، لكن الشكل الدائري للأرض يؤثر على كيفية اصطدام ضوء الشمس بالسطح.

في الصورة أدناه يمكننا أن نرى بوضوح أن أشعة الشمس تضرب بشكل عمودي في المناطق الاستوائية ، ولكنها بدلاً من ذلك تصل بشكل غير مباشر إلى السطح في المناطق المعتدلة وعند القطبين.

وهذا هو سبب انتقال أشعة الشمس لمسافة أطول عبر الغلاف الجوي ، كما تنتشر الحرارة أيضًا على سطح أكبر (انظر الشكل). والنتيجة هي أن المناطق القريبة من القطبين أبرد.

الشكل 5. تسقط أشعة الشمس بشكل غير مباشر في المناطق المعتدلة والأقطاب ، وبدلاً من ذلك تكون متعامدة إلى حد ما في المناطق المدارية. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

الخطوط التي ليست في نفس المستوى

عندما لا يكون الخطان في نفس المستوى ، يمكن أن يظلا مائلين أو ملتويين ، كما يُعرفان أيضًا. في هذه الحالة ، لا تكون متجهات مديريها متوازية ، ولكن نظرًا لأنها لا تنتمي إلى نفس المستوى ، فإن هذه الخطوط لا تتقاطع.

على سبيل المثال ، من الواضح أن الخطوط الموجودة في الشكل 6 في مستويات مختلفة. إذا نظرت إليهم من الأعلى ، يمكنك أن ترى أنها تتقاطع ، لكن ليس لديهم نقطة مشتركة. على اليمين نرى عجلات الدراجة ، التي يبدو أن قضبانها متقاطعة عند النظر إليها من الأمام.

الشكل 6. خطوط منحرفة تنتمي إلى مستويات مختلفة. المصدر: يسار F. Zapata ، يمين Pixabay.

المراجع

1. الهندسة. ناقل مدير خط. تم الاسترجاع من: juanbragado.es.
2. لارسون ، ر. 2006. حساب التفاضل والتكامل مع الهندسة التحليلية. الثامن. الإصدار. ماكجرو هيل.
3. الرياضيات لعبة. خطوط وزوايا. تم الاسترجاع من: juntadeandalucia.es.
4. الخطوط المستقيمة التي تتقاطع. تم الاسترجاع من: profesoraltuna.com.
5. فيلينا ، م. الهندسة التحليلية في R3. تم الاسترجاع من: dspace.espol.edu.ec.