سلسلة القوة: أمثلة وتمارين - رياضيات - 2025

A سلسلة قوة تتكون من محصلة المصطلحات في شكل صلاحيات متغير x أو أكثر عموما، من اختراق الضاحيه، حيث c هو العدد الحقيقي المستمر. في التلخيص ، يتم التعبير عن سلسلة من القوى على النحو التالي:

حيث المعامِلات a _o و a ₁ و a ₂… أرقام حقيقية وتبدأ السلسلة عند n = 0.

الشكل 1. تعريف سلسلة الطاقة. المصدر: F. Zapata.

تتمحور هذه السلسلة على القيمة c التي هي ثابتة ، ولكن يمكنك اختيار أن c يساوي 0 ، وفي هذه الحالة يتم تبسيط سلسلة القوة إلى:

تبدأ السلسلة بـ a _أو (xc) ⁰ و a _أو x ⁰ على التوالي. لكننا نعلم أن:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

لذلك a _o (xc) ⁰ = a _أو x ⁰ = a _o (مصطلح مستقل)

الشيء الجيد في سلسلة الطاقة هو أنه يمكن التعبير عن الوظائف بها وهذا له العديد من المزايا ، خاصة إذا كنت تريد العمل بوظيفة معقدة.

في هذه الحالة ، بدلاً من استخدام الدالة مباشرةً ، استخدم توسعة سلسلة الطاقة ، والتي يمكن أن تكون أسهل في الاشتقاق أو التكامل أو العمل عدديًا.

بالطبع كل شيء مشروط بتلاقي المسلسل. تتقارب السلسلة عند إضافة عدد كبير معين من المصطلحات يعطي قيمة ثابتة. وإذا أضفنا المزيد من الحدود ، فإننا نستمر في الحصول على تلك القيمة.

وظائف مثل سلسلة الطاقة

كمثال على دالة معبر عنها في شكل سلسلة أس ، لنأخذ f (x) = e ^x.

يمكن التعبير عن هذه الوظيفة من حيث سلسلة من الصلاحيات على النحو التالي:

و ^س ≈ 1 + س + (س ² /2!) + (س ³ /3!) + (س ⁴ /4!) + (س ⁵ /! 5) +…

أين! = ن. (ن -1). (ن -2). (ن -3)… ويستغرق الأمر 0! = 1.

سوف نتحقق بمساعدة الآلة الحاسبة ، من أن السلسلة تتطابق بالفعل مع الوظيفة المعطاة صراحةً. على سبيل المثال ، لنبدأ بجعل x = 0.

نحن نعلم أن e ⁰ = 1. دعونا نرى ما تفعله السلسلة:

و ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /! 5) +… = 1

والآن لنجرب x = 1. تُرجع الآلة الحاسبة أن e ¹ = 2.71828 ، ثم نقارن بالسلسلة:

و ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /! 5) +… = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 +… ≈ 2.7167

مع 5 مصطلحات فقط لدينا بالفعل تطابق تام في e ≈ 2.71. لا يزال أمام سلسلتنا المزيد ، ولكن مع إضافة المزيد من المصطلحات ، تتقارب السلسلة بالتأكيد مع القيمة الدقيقة لـ e. التمثيل دقيق عندما n → ∞.

إذا تم تكرار التحليل السابق لـ n = 2 ، يتم الحصول على نتائج مشابهة جدًا.

بهذه الطريقة نحن على يقين من أن الدالة الأسية f (x) = e ^x يمكن تمثيلها بهذه السلسلة من القوى:

الشكل 2. في هذا الرسم المتحرك يمكننا أن نرى كيف تقترب سلسلة القوة من الوظيفة الأسية مع أخذ المزيد من المصطلحات. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

متسلسلة هندسية للقوى

الوظيفة f (x) = e ^x ليست الوظيفة الوحيدة التي تدعم تمثيل سلسلة الطاقة. على سبيل المثال ، الدالة f (x) = 1/1 - x تشبه إلى حد كبير السلسلة الهندسية المتقاربة المعروفة:

يكفي أن تفعل a = 1 و r = x للحصول على سلسلة مناسبة لهذه الوظيفة ، والتي تتمركز عند c = 0:

ومع ذلك ، من المعروف أن هذه السلسلة متقاربة لـ │r│ <1 ، وبالتالي فإن التمثيل صالح فقط في الفاصل الزمني (-1،1) ، على الرغم من أن الوظيفة صالحة لجميع x ، باستثناء x = 1.

عندما تريد تحديد هذه الوظيفة في نطاق آخر ، فإنك ببساطة تركز على قيمة مناسبة وتكون قد انتهيت.

كيفية إيجاد توسع سلسلة قوى التابع

يمكن تطوير أي دالة في سلسلة طاقة تتمحور حول c ، طالما أنها تحتوي على مشتقات لجميع الأوامر عند x = c. يستخدم الإجراء النظرية التالية ، المسماة نظرية تايلور:

لنفترض أن f (x) دالة ذات مشتقات من الرتبة n ، يُشار إليها بالرمز f ⁽ⁿ⁾ ، والتي تسمح بتوسيع متسلسل للقوى على الفترة 1. تطوره التسلسلي لتايلور هو:

لهذا السبب:

حيث يسمى R _n ، وهو المصطلح n من السلسلة ، الباقي:

عندما c = 0 تسمى السلسلة سلسلة Maclaurin.

هذه السلسلة الواردة هنا مطابقة للسلسلة المعطاة في البداية ، فقط الآن لدينا طريقة لإيجاد معاملات كل مصطلح بشكل صريح ، معطاة من خلال:

ومع ذلك ، يجب أن نتأكد من أن السلسلة تتقارب مع الوظيفة المراد تمثيلها. يحدث أنه ليس بالضرورة أن تتقارب كل سلسلة من سلاسل تايلور مع f (x) الذي كان يدور في الاعتبار عند حساب المعاملات عند _n.

يحدث هذا لأنه ربما تتطابق مشتقات الدالة ، المقيمة عند x = c مع نفس قيمة مشتقات دالة أخرى ، أيضًا عند x = c. في هذه الحالة ، ستكون المعاملات هي نفسها ، لكن التطور سيكون غامضًا لأنه ليس من المؤكد الوظيفة التي يتوافق معها.

لحسن الحظ ، هناك طريقة لمعرفة:

معيار التقارب

لتجنب الغموض ، إذا كانت R _n → 0 كـ n → ∞ لكل x في الفاصل I ، تتقارب السلسلة إلى f (x).

ممارسه الرياضه

- تم حل التمرين 1

أوجد سلسلة القوة الهندسية للدالة f (x) = 1/2 - x المتمركزة عند c = 0.

المحلول

عبر عن الوظيفة المحددة بحيث تتطابق قدر الإمكان مع 1 / 1- x ، التي تُعرف سلسلتها. فلنعد كتابة البسط والمقام دون تغيير التعبير الأصلي:

1/2 - س = (1/2) /

بما أن ½ ثابت ، فإنه يخرج من المجموع ، ويتم كتابته بدلالة المتغير الجديد x / 2:

لاحظ أن x = 2 لا تنتمي إلى مجال الوظيفة ، ووفقًا لمعيار التقارب الوارد في قسم سلسلة الطاقة الهندسية ، فإن التوسيع صالح لـ │x / 2│ <1 أو ما يعادله -2 <x <2.

- تمرين حل 2

أوجد أول 5 حدود من مفكوك سلسلة Maclaurin للدالة f (x) = sin x.

المحلول

الخطوة 1

أولا المشتقات:

مشتق الرتبة 0: نفس الوظيفة f (x) = sin x

- المشتق الأول: (sin x) ´ = cos x

- المشتق الثاني: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

- المشتق الثالث: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

- المشتق الرابع: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

الخطوة 2

ثم يتم تقييم كل مشتق عند x = c ، كما هو الحال مع توسع Maclaurin ، c = 0:

الخطيئة 0 = 0 ؛ كوس 0 = 1 ؛ - الخطيئة 0 = 0 ؛ -cos 0 = -1 ؛ الخطيئة 0 = 0

الخطوه 3

_{يتم إنشاء} المعاملات أ _ن ؛

أ _س = 0/0! = 0 ؛ أ ₁ = 1/1! = 1 ؛ أ ₂ = 0/2! = 0 ؛ أ ₃ = -1 / 3! ؛ أ ₄ = 0/4! = 0

الخطوة 4

أخيرًا يتم تجميع السلسلة وفقًا لما يلي:

الخطيئة x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0.x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴… = x - (1/3!)) x ³ +…

هل يحتاج القارئ إلى مزيد من المصطلحات؟ فكم من هذه السلسلة أقرب إلى الوظيفة.

لاحظ أن هناك نمطًا في المعاملات ، المصطلح التالي غير الصفري هو ₅ وكل أولئك الذين لديهم مؤشر فردي يختلفون أيضًا عن 0 ، مع تبديل العلامات ، بحيث:

الخطيئة x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

يُترك كتمرين للتحقق من أنه متقارب ، ويمكن استخدام معيار حاصل القسمة لتقارب السلاسل.

المراجع

1. مؤسسة CK-12. سلسلة الطاقة: تمثيل الوظائف والعمليات. تم الاسترجاع من: ck12.org.
2. Engler، A. 2019. حساب التكامل. جامعة ليتورال الوطنية.
3. لارسون ، ر. 2010. حساب متغير. 9. الإصدار. ماكجرو هيل.
4. نصوص الرياضيات الحرة. سلسلة الطاقة. تم الاسترجاع من: math.liibretexts.org.
5. ويكيبيديا. سلسلة الطاقة. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.