قاعدة سمبسون: صيغة ، برهان ، أمثلة ، تمارين - رياضيات - 2025

و سيمبسون الصورة حكم هو وسيلة لحساب، التكاملات تقريبا، محددة. يعتمد على تقسيم فاصل التكامل إلى عدد زوجي من الفواصل الفرعية المتباعدة بشكل متساوٍ.

تحدد القيم القصوى لفترتين فرعيتين متتاليتين ثلاث نقاط ، والتي تتناسب مع القطع المكافئ ، الذي تكون معادلته متعددة الحدود من الدرجة الثانية.

الشكل 1. في طريقة سيمبسون ، يتم تقسيم فاصل التكامل إلى عدد زوجي من الفواصل الزمنية المتساوية العرض. يتم تقريب الدالة عن طريق القطع المكافئ في كل فترتين فرعيتين ويتم تقريب التكامل بمجموع المساحة الواقعة أسفل القطع المكافئ. المصدر: upv.es.

ثم يتم تقريب المنطقة الواقعة تحت منحنى الوظيفة في فترتين متتاليتين بمساحة كثير الحدود. بإضافة المساهمة إلى المنطقة الواقعة تحت القطع المكافئ لجميع الفواصل الفرعية المتتالية ، نحصل على القيمة التقريبية للمتكامل.

من ناحية أخرى ، نظرًا لأنه يمكن حساب تكامل القطع المكافئ جبريًا تمامًا ، فمن الممكن العثور على صيغة تحليلية للقيمة التقريبية للتكامل المحدد. ومن المعروف باسم صيغة سيمبسون.

يتناقص الخطأ في النتيجة التقريبية التي تم الحصول عليها على هذا النحو لأن عدد التقسيمات الفرعية n أكبر (حيث n هو رقم زوجي).

سيتم إعطاء تعبير أدناه يسمح بتقدير الحد الأعلى لخطأ التقريب إلى التكامل I ، عندما يتم عمل قسم من n فترات فرعية منتظمة من إجمالي الفاصل الزمني.

معادلة

ينقسم الفاصل الزمني للتكامل إلى n فترات فرعية مع n عدد صحيح زوجي. سيكون عرض كل قسم فرعي:

ح = (ب - أ) / ن

بهذه الطريقة ، يتم عمل القسم عبر الفاصل الزمني:

{X0، X1، X2،…، Xn-1، Xn}

حيث X0 = a ، X1 = X0 + h ، X2 = X0 + 2h ،… ، Xn-1 = X0 + (n-1) h ، Xn = X0 + nh = b.

الصيغة التي تسمح بتقريب التكامل المحدد I للدالة المستمرة ، ويفضل أن تكون سلسة ، في الفاصل الزمني هي:

برهنة

للحصول على معادلة سيمبسون ، في كل فترة فرعية ، يتم تقريب الدالة f (X) بواسطة متعدد الحدود من الدرجة الثانية p (X) (مكافئ) يمر عبر النقاط الثلاث:؛ و.

ثم يتم حساب تكامل كثير الحدود p (x) حيث يقترب من تكامل الدالة f (X) في تلك الفترة.

الشكل 2. رسم بياني يوضح معادلة سيمبسون. المصدر: F. Zapata.

معاملات الاستيفاء كثير الحدود

معادلة القطع المكافئ p (X) لها الشكل العام: p (X) = AX ² + BX + C. عندما يمر القطع المكافئ عبر النقاط Q المشار إليها باللون الأحمر (انظر الشكل) ، فإن المعاملات A ، B ، C من نظام المعادلات التالي:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

أ (ح) ² + ب ح + ج = و (Xi + 2)

يمكن ملاحظة أن المعامل C محدد. لتحديد المعامل A نضيف المعادلتين الأولى والثالثة للحصول على:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

ثم يتم استبدال قيمة C ويتم مسح A ، وترك:

أ = / (2 س ²)

لتحديد المعامل B ، يتم طرح المعادلة الثالثة من الأولى ويتم حل B ، والحصول على:

ب = = 2 ح.

باختصار ، كثير الحدود من الدرجة الثانية p (X) الذي يمر عبر النقاط Qi و Qi + 1 و Qi + 2 له معاملات:

أ = / (2 س ²)

ب = = 2 ح

C = f (Xi + 1)

حساب التكامل التقريبي في

الحساب التقريبي للمتكامل في

كما ذكرنا سابقًا ، تم إنشاء قسم {X0 ، X1 ، X2 ،… ، Xn-1 ، Xn} على فاصل التكامل الكلي مع الخطوة h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n ، حيث n عدد زوجي.

خطأ في التقريب

لاحظ أن الخطأ يتناقص مع القوة الرابعة لعدد التقسيمات الفرعية في الفترة الزمنية. على سبيل المثال ، إذا انتقلت من n تقسيمات فرعية إلى 2n ، فسيقل الخطأ بعامل 1/16.

يمكن الحصول على الحد الأعلى للخطأ الذي تم الحصول عليه من خلال تقريب سيمبسون من نفس الصيغة ، مع استبدال المشتق الرابع بأقصى قيمة مطلقة للمشتق الرابع في الفترة.

أمثلة عملية

- مثال 1

ضع في اعتبارك الوظيفة f (X) = 1 / (1 + X ²).

أوجد التكامل المحدد للدالة f (X) في الفترة باستخدام طريقة Simpson مع قسمين فرعيين (n = 2).

المحلول

نأخذ n = 2. حدود التكامل هي a = -1 و b = -2 ، لذا يبدو القسم كما يلي:

X0 = -1 ؛ X1 = 0 و X2 = +1.

لذلك ، تأخذ صيغة سيمبسون الشكل التالي:

الشكل 3. مثال على التكامل العددي بواسطة قاعدة سيمبسون باستخدام البرمجيات. المصدر: F. Zapata.

المراجع

1. Casteleiro، JM 2002. حساب التفاضل والتكامل الشامل (طبعة مصورة). مدريد: افتتاحية ESIC.
2. UPV. طريقة سيمبسون. جامعة البوليتكنيك في فالنسيا. تم الاسترجاع من: youtube.com
3. بورسيل ، إي. 2007. الطبعة التاسعة من حساب التفاضل والتكامل. برنتيس هول.
4. ويكيبيديا. حكم سمبسون. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
5. ويكيبيديا. لاغرانج استيفاء كثير الحدود. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com