البديهيات الاحتمالية: الأنواع ، التفسير ، الأمثلة ، التمارين - دوداس - 2026

و مسلمات الاحتمالات هي المقترحات الرياضية في اشارة الى نظرية الاحتمالات، التي لا تستحق الإثبات. أسس عالم الرياضيات الروسي أندريه كولموغوروف (1903-1987) البديهيات في عام 1933 في كتابه أسس نظرية الاحتمالات ووضعت أسس الدراسة الرياضية للاحتمالات.

عند إجراء تجربة عشوائية معينة ξ ، فإن مساحة العينة E هي مجموعة جميع النتائج المحتملة للتجربة ، وتسمى أيضًا الأحداث. يُشار إلى أي حدث على أنه A و P (A) هو احتمال حدوثه. ثم أثبت كولموغوروف أن:

الشكل 1. تسمح لنا بديهيات الاحتمال بحساب احتمال ضرب ألعاب الحظ مثل لعبة الروليت. المصدر: Pixabay.

- بديهية 1 (غير سلبية): احتمال وقوع أي حدث A يكون دائمًا موجبًا أو صفرًا ، P (A) ≥0. عندما يكون احتمال حدث ما 0 ، فإنه يسمى حدث مستحيل.

- بديهية 2 (يقين): عندما يكون حدث ما ينتمي إلى E ، فإن احتمال حدوثه هو 1 ، وهو ما يمكننا التعبير عنه كـ P (E) = 1. يُعرف هذا بحدث معين ، لأنه عند إجراء تجربة ، هناك نتيجة بالتأكيد.

- بديهية 3 (إضافة): في حالة حدثين أو أكثر غير متوافقين اثنين في اثنين ، يسمى A ₁ ، A ₂ ، A ₃… ، احتمال وقوع الحدث A ₁ زائد A ₂ زائد A ₃ وهكذا. على التوالي ، هو مجموع احتمالات حدوث كل منها على حدة.

يتم التعبير عن هذا على النحو التالي: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁) + P (A ₂) + P (A ₃) +…

الشكل 2. عالم الرياضيات الروسي الرائع أندريه كولموغوروف (1903-1987) ، الذي وضع أسس الاحتمال البديهية. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

مثال

تستخدم بديهيات الاحتمال على نطاق واسع في العديد من التطبيقات. فمثلا:

يتم إلقاء دبوس الإبهام أو المسدس في الهواء ، وعندما يسقط على الأرض ، يكون هناك خيار الهبوط مع النقطة لأعلى (U) أو مع النقطة لأسفل (D) (لن نفكر في الاحتمالات الأخرى). تتكون مساحة العينة لهذه التجربة من هذه الأحداث ، ثم E = {U ، D}.

الشكل 3. في تجربة رمي المسدس ، هناك حدثان لهما احتمالية مختلفة: الهبوط مع النقطة لأعلى أو باتجاه الأرض. المصدر: Pixabay.

من خلال تطبيق البديهيات لدينا:

إذا كان من المرجح أن تهبط لأعلى أو لأسفل ، P (U) = P (D) = ½ (أكسيوم 1). ومع ذلك ، فإن بناء وتصميم دبوس الإبهام قد يجعله أكثر عرضة للسقوط بطريقة أو بأخرى. على سبيل المثال ، قد يكون P (U) = ¾ بينما P (D) = ¼ (Axiom 1).

لاحظ أنه في كلتا الحالتين ، مجموع الاحتمالات يعطي 1. ومع ذلك ، فإن البديهيات لا تشير إلى كيفية تعيين الاحتمالات ، على الأقل ليس بالكامل. لكنهم يذكرون أنهم أرقام بين 0 و 1 وأن ​​مجموعهم ، كما في هذه الحالة ، هو 1.

طرق تعيين الاحتمالات

إن بديهيات الاحتمال ليست طريقة لتعيين قيمة الاحتمال. لهذا هناك ثلاثة خيارات متوافقة مع البديهيات:

حكم لابلاس

يتم تعيين نفس احتمالية حدوث كل حدث ، ثم يتم تعريف احتمال حدوثه على النحو التالي:

على سبيل المثال ، ما هو احتمال سحب الآس من مجموعة أوراق فرنسية؟ يحتوي السطح على 52 بطاقة ، 13 من كل مجموعة وهناك 4 مجموعات. تحتوي كل مجموعة على 1 ارسالات ، لذلك هناك 4 ارسالات:

الفوسفور (ع) = 4/52 = 1/13

تقتصر قاعدة لابلاس على مساحات عينة محدودة ، حيث يكون كل حدث محتملًا بشكل متساوٍ.

التردد النسبي

هنا يجب أن تكون التجربة قابلة للتكرار ، لأن الطريقة تعتمد على إجراء عدد كبير من التكرارات.

لنقم بتكرار التجربة ξ ، والتي وجدنا أن n هي عدد المرات التي يقع فيها حدث معين A ، ثم يكون احتمال حدوث هذا الحدث هو:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

حيث n / i هو التكرار النسبي لحدث ما.

إن تعريف P (A) بهذه الطريقة يرضي بديهيات Kolmogorov ، لكن له عيبًا يتمثل في أنه يجب إجراء العديد من الاختبارات حتى يكون الاحتمال مناسبًا.

طريقة ذاتية

يمكن لشخص أو مجموعة من الأشخاص الموافقة على تخصيص احتمالية لحدث ما ، من خلال حكمهم الخاص. هذه الطريقة لها عيب هو أنه يمكن لأشخاص مختلفين تعيين احتمالات مختلفة لنفس الحدث.

تمرين حل

في تجربة قلب 3 عملات صادقة في وقت واحد ، احصل على احتمالات الأحداث الموصوفة:

أ) رأسان وذيل.

ب) 1 رأس وذيلان

ج) 3 صلبان.

د) وجه واحد على الأقل.

الاجابه على

يتم الإشارة إلى الرؤوس بواسطة C وذيول بواسطة X. ولكن هناك عدة طرق للحصول على رأسين وذيل. على سبيل المثال ، يمكن أن تهبط أول قطعتين من العملات المعدنية والثالثة يمكن أن تهبط على ذيول. أو يمكن أن يسقط الأول الرؤوس ، والثاني الذيول والثالث. وأخيرًا يمكن أن يكون الأول هو ذيول والرؤوس المتبقية.

للإجابة على الأسئلة من الضروري معرفة كل الاحتمالات الموضحة في أداة تسمى مخطط الشجرة أو شجرة الاحتمالات:

الشكل 4. مخطط شجرة لإرم متزامن لثلاث عملات حقيقية. المصدر: F. Zapata.

احتمال أن تصبح أي عملة وجهًا لوجه هو ، وينطبق الشيء نفسه على ذيول ، لأن العملة صادقة. يسرد العمود الأيمن جميع الاحتمالات الموجودة في القرعة ، أي مساحة العينة.

من مساحة العينة ، يتم اختيار المجموعات التي تستجيب للحدث المطلوب ، لأن الترتيب الذي تظهر به الوجوه ليس مهمًا. هناك ثلاثة أحداث مواتية: CCX و CXC و XCC. احتمال حدوث كل حدث هو:

P (CCX) =. ½. ½ = 1/8

يحدث الشيء نفسه بالنسبة لحدثي CXC و XCC ، فلكل منهما احتمال حدوث 1/8. لذلك فإن احتمال الحصول على رأسين بالضبط هو مجموع احتمالات جميع الأحداث المواتية:

P (على الوجهين) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

الحل ب

يعد العثور على احتمال حدوث تهجين بالضبط مشكلة مماثلة للسابقة ، وهناك أيضًا ثلاثة أحداث مواتية مأخوذة من مساحة العينة: CXX و XCX و XXC. هكذا:

الفوسفور (2 تقاطعات) = 3/8 = 0.375

الحل ج

بشكل بديهي نعلم أن احتمال الحصول على 3 ذيول (أو 3 رؤوس) أقل. في هذه الحالة ، يكون الحدث المطلوب هو XXX ، في نهاية العمود الأيمن ، واحتماله هو:

ف (XXX) =. ½. ½ = 1/8 = 0.125.

الحل د

يُطلب الحصول على وجه واحد على الأقل ، وهذا يعني أنه يمكن إخراج 3 وجوه أو وجهين أو وجه واحد. الحدث الوحيد غير المتوافق مع هذا هو الحدث الذي تظهر فيه 3 ذيول ، واحتماله 0.125. لذلك فإن الاحتمال المنشود هو:

P (رأس واحد على الأقل) = 1 - 0.125 = 0.875.

المراجع

1. Canavos، G. 1988. الاحتمالية والإحصاء: التطبيقات والأساليب. ماكجرو هيل.
2. Devore، J. 2012. الاحتمالية والإحصاء للهندسة والعلوم. الثامن. الإصدار. سينجاج.
3. Lipschutz، S. 1991. سلسلة Schaum: الاحتمالية. ماكجرو هيل.
4. Obregón، I. 1989. نظرية الاحتمال. التحرير ليموزا.
5. والبول ، ر. 2007. الاحتمالات والإحصاء للهندسة والعلوم. بيرسون.