توزيع بواسون: الصيغ ، المعادلات ، النموذج ، الخصائص - دوداس - 2026

و توزيع بواسون هو توزيع احتمال منفصلة، من خلالها يمكن معرفة احتمال، ضمن حجم عينة كبير وخلال فترة زمنية معينة، وهو الحدث الذي احتمال صغير سيحدث.

غالبًا ما يمكن استخدام توزيع بواسون بدلاً من التوزيع ذي الحدين ، طالما تم استيفاء الشروط التالية: عينة كبيرة واحتمال صغير.

الشكل 1. رسم بياني لتوزيع بواسون لمعلمات مختلفة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

أنشأ Siméon-Denis Poisson (1781-1840) هذا التوزيع الذي يحمل اسمه ، وهو مفيد جدًا عندما يتعلق الأمر بالأحداث غير المتوقعة. نشر بواسون نتائجه في عام 1837 ، وهي عبارة عن عمل تحقيق حول احتمال حدوث أحكام جنائية خاطئة.

في وقت لاحق ، قام باحثون آخرون بتعديل التوزيع في مناطق أخرى ، على سبيل المثال ، عدد النجوم التي يمكن العثور عليها في حجم معين من الفضاء ، أو احتمال وفاة جندي من ركلة حصان.

الصيغة والمعادلات

الشكل الرياضي لتوزيع بواسون هو كما يلي:

- μ (يشار إليها أحيانًا باسم λ) هي متوسط ​​أو معلمة التوزيع

- رقم أويلر: e = 2.71828

- احتمال الحصول على y = k هو P

- k هو عدد حالات النجاح 0 ، 1 ، 2 ، 3…

- n هو عدد الاختبارات أو الأحداث (حجم العينة)

المتغيرات العشوائية المنفصلة ، كما يوحي اسمها ، تعتمد على الصدفة ولا تأخذ سوى قيم منفصلة: 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4… ، ك.

يتم إعطاء متوسط ​​التوزيع من خلال:

يعد التباين σ ، الذي يقيس انتشار البيانات ، معلمة مهمة أخرى. بالنسبة لتوزيع Poisson هو:

σ = μ

قرر بواسون أنه عندما n → ∞ و p → 0 ، فإن المتوسط ​​μ - يسمى أيضًا القيمة المتوقعة - يميل إلى ثابت:

- الأحداث أو الأحداث التي يتم النظر فيها مستقلة عن بعضها البعض وتحدث بشكل عشوائي.

- الاحتمال P لحدث معين يقع خلال فترة زمنية محددة صغير جدًا: P → 0.

-احتمال وقوع أكثر من حدث في الفترة الزمنية هو 0.

- متوسط ​​القيمة يقترب من ثابت معطى بواسطة: μ = np (n هو حجم العينة)

- نظرًا لأن التشتت σ يساوي μ ، حيث تتبنى قيمًا أكبر ، فإن التباين يصبح أكبر أيضًا.

- يجب توزيع الأحداث بالتساوي في الفترة الزمنية المستخدمة.

-مجموعة القيم الممكنة للحدث y هي: 0،1،2،3،4….

- مجموع متغيرات i التي تتبع توزيع بواسون هو أيضًا متغير بواسون آخر. متوسط ​​قيمته هو مجموع متوسط ​​قيم هذه المتغيرات.

الاختلافات مع التوزيع ذي الحدين

يختلف توزيع بواسون عن التوزيع ذي الحدين بالطرق المهمة التالية:

- يتأثر التوزيع ذو الحدين بكل من حجم العينة n والاحتمال P ، لكن توزيع بواسون يتأثر فقط بالمتوسط ​​μ.

- في التوزيع ذي الحدين ، القيم المحتملة للمتغير العشوائي y هي 0،1،2 ،… ، N ، بينما في توزيع بواسون لا يوجد حد أعلى لهذه القيم.

أمثلة

طبق بواسون في البداية توزيعه الشهير على القضايا القانونية ، ولكن على المستوى الصناعي ، كان أحد استخداماته المبكرة في تخمير البيرة. في هذه العملية تستخدم مزارع الخميرة للتخمير.

تتكون الخميرة من خلايا حية ، يتغير تعدادها بمرور الوقت. في صناعة البيرة من الضروري إضافة الكمية اللازمة ، لذلك من الضروري معرفة كمية الخلايا الموجودة لكل وحدة حجم.

خلال الحرب العالمية الثانية ، تم استخدام توزيع بواسون لمعرفة ما إذا كان الألمان يهدفون بالفعل إلى لندن من كاليه ، أو يطلقون النار بشكل عشوائي. كان هذا مهمًا للحلفاء لتحديد مدى جودة التكنولوجيا المتاحة للنازيين.

تطبيقات عملية

تشير تطبيقات توزيع Poisson دائمًا إلى التهم في الوقت أو التهم في الفضاء. وبما أن احتمالية الحدوث صغيرة ، فإنها تُعرف أيضًا باسم "قانون الأحداث النادرة".

فيما يلي قائمة بالأحداث التي تقع ضمن إحدى هذه الفئات:

-تسجيل الجسيمات في الاضمحلال الإشعاعي ، والتي ، مثل نمو خلايا الخميرة ، هي وظيفة أسية.

-عدد الزيارات لموقع معين.

- وصول الناس إلى خط للدفع أو الحضور (نظرية الطابور).

- عدد السيارات التي تعبر نقطة معينة على طريق خلال فترة زمنية معينة.

الشكل 2. عدد السيارات التي تمر عبر نقطة يتبع تقريبًا توزيع بواسون. المصدر: Pixabay.

- حدوث طفرات في سلسلة DNA معينة بعد التعرض للإشعاع.

- عدد النيازك التي يزيد قطرها عن متر واحد سقطت في السنة.

- عيوب المتر المربع للنسيج.

- كمية خلايا الدم في 1 سم مكعب.

- المكالمات بالدقيقة إلى بدالة هاتفية.

- رقائق الشوكولاتة الموجودة في 1 كجم من خليط الكيك.

- عدد الأشجار المصابة بطفيلي معين في هكتار واحد من الغابات.

لاحظ أن هذه المتغيرات العشوائية تمثل عدد المرات التي يقع فيها حدث ما خلال فترة زمنية محددة (مكالمات في الدقيقة لمبادل الهاتف) ، أو منطقة معينة من الفضاء (عيوب النسيج لكل متر مربع).

هذه الأحداث ، كما تم تحديدها بالفعل ، مستقلة عن الوقت الذي مضى منذ آخر مرة.

تقريب التوزيع ذي الحدين مع توزيع بواسون

توزيع بواسون هو تقريب جيد للتوزيع ذي الحدين طالما:

- حجم العينة كبير: n 100

- الاحتمال ص صغير: ف 0.1

- μ بالترتيب: np 10

في مثل هذه الحالات ، يعد توزيع بواسون أداة ممتازة ، حيث قد يكون من الصعب تطبيق التوزيع ذي الحدين في هذه الحالات.

تمارين محلولة

التمرين 1

توصلت دراسة علم الزلازل إلى أنه خلال المائة عام الماضية ، كان هناك 93 زلزالًا كبيرًا حول العالم ، على الأقل 6.0 على مقياس ريختر - اللوغاريتمي -. افترض أن توزيع بواسون هو نموذج مناسب في هذه الحالة. تجد:

أ) متوسط ​​حدوث الزلازل الكبيرة في السنة.

ب) إذا كانت P (y) هي احتمال حدوث الزلازل خلال سنة محددة عشوائيًا ، فابحث عن الاحتمالات التالية:

إنه أقل من P (2).

النتائج مسجلة في الاسفل:

الفوسفور (0) = 0.395 ، الفوسفور (1) = 0.367 ، الفوسفور (2) = 0.171 ، الفوسفور (3) = 0.0529 ، الفوسفور (4) = 0.0123 ، الفوسفور (5) = 0.00229 ، الفوسفور (6) = 0.000355 ، الفوسفور (7) = 0.0000471.

على سبيل المثال ، يمكننا القول أن هناك احتمالية بنسبة 39.5٪ بعدم حدوث زلزال كبير في سنة معينة. أو أن هناك 5.29٪ من 3 زلازل كبيرة تحدث في تلك السنة.

الحل ج)

ج) يتم تحليل الترددات بضربها في n = 100 سنة:

39.5 36.7 ؛ 17.1 ؛ 5.29 ؛ 1.23 ؛ 0.229 ؛ 0.0355 و 0.00471.

فمثلا:

- يشير التردد 39.5 إلى حدوث 0 زلزال كبير في 39.5 من أصل 100 عام ، ويمكننا القول إنه قريب جدًا من النتيجة الفعلية البالغة 47 عامًا دون أي زلزال كبير.

دعنا نقارن نتيجة Poisson أخرى بالنتائج الفعلية:

- تعني القيمة التي تم الحصول عليها 36.7 أنه في فترة 37 عامًا حدث زلزال كبير واحد. والنتيجة الفعلية هي أنه خلال 31 عامًا كان هناك زلزال واحد كبير ، وهو تطابق جيد مع النموذج.

- 17.1 سنة من المتوقع حدوث زلزالين كبيرين ومن المعروف أنه خلال 13 عامًا ، وهي قيمة قريبة ، كان هناك بالفعل زلزالان كبيران.

لذلك فإن نموذج بواسون مقبول لهذه الحالة.

تمرين 2

تقدر إحدى الشركات أن عدد المكونات التي تعطلت قبل الوصول إلى 100 ساعة تشغيل يتبع توزيع Poisson. إذا كان متوسط ​​عدد حالات الفشل 8 في ذلك الوقت ، فابحث عن الاحتمالات التالية:

أ) فشل أحد المكونات في غضون 25 ساعة.

ب) فشل أقل من مكونين ، خلال 50 ساعة.

ج) تفشل ثلاثة مكونات على الأقل في 125 ساعة.

الاجابه على)

أ) من المعروف أن متوسط ​​حالات الفشل في 100 ساعة هو 8 ، وبالتالي في غضون 25 ساعة من المتوقع حدوث ربع حالات الفشل ، أي فشلان. ستكون هذه المعلمة μ.

احتمال فشل مكون واحد مطلوب ، والمتغير العشوائي هو "المكونات التي تفشل قبل 25 ساعة" وقيمته هي y = 1. بالتعويض في دالة الاحتمال:

ومع ذلك ، فإن السؤال هو احتمال فشل أقل من مكونين في 50 ساعة ، وليس أن مكونين بالضبط يفشلان في غضون 50 ساعة ، لذلك يجب علينا إضافة الاحتمالات التي:

-لا يفشل

- رسوب فقط 1

المعلمة μ للتوزيع في هذه الحالة هي:

μ = 8 + 2 = 10 إخفاقات في 125 ساعة.

P (3 مكونات أو أكثر تفشل) = 1- P (0) - P (1) - P (2) =

المراجع

1. ماثووركس. توزيع السم. تم الاسترجاع من: es.mathworks.com
2. Mendenhall، W. 1981. إحصائيات للإدارة والاقتصاد. الثالث. الإصدار. Grupo الافتتاحية Iberoamérica.
3. ستات تريك. علم نفسك الإحصائيات. توزيع السم. تم الاسترجاع من: stattrek.com ،
4. تريولا ، إم. 2012. إحصائيات أولية. الحادي عشر. إد. بيرسون التعليم.
5. ويكيبيديا. توزيع السم. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org