يُشار إلى التوقع الرياضي أو القيمة المتوقعة للمتغير العشوائي X بالرمز E (X) ويتم تعريفه على أنه مجموع المنتج بين احتمال وقوع حدث عشوائي وقيمة الحدث المذكور.
في الشكل الرياضي يتم التعبير عنها على النحو التالي:
الشكل 1. يستخدم التوقع الرياضي على نطاق واسع في سوق الأوراق المالية والتأمين. المصدر: Pixabay.
حيث x i هي قيمة الحدث و P (x i) احتمال حدوثه. يمتد الجمع على جميع القيم التي يسمح بها X. وإذا كانت هذه محدودة ، فإن المجموع المشار إليه يتقارب مع القيمة E (X) ، ولكن إذا لم يتقارب المجموع ، فإن المتغير ببساطة ليس له قيمة متوقعة.
عندما يتعلق الأمر بالمتغير المستمر x ، يمكن أن يكون للمتغير قيم لا نهائية وتحل التكاملات محل عمليات الجمع:
هنا f (x) تمثل دالة كثافة الاحتمال.
بشكل عام ، التوقع الرياضي (وهو متوسط مرجح) لا يساوي المتوسط الحسابي أو المتوسط ، إلا إذا كنا نتعامل مع توزيعات منفصلة يكون فيها كل حدث محتملًا بشكل متساوٍ. وبعد ذلك فقط:
حيث n هو عدد القيم الممكنة.
هذا المفهوم مفيد جدًا في الأسواق المالية وشركات التأمين ، حيث غالبًا ما تفتقر اليقين ولكن الاحتمالات موجودة.
خصائص التوقع الرياضي
من بين أهم خصائص التوقع الرياضي ما يلي:
- الإشارة: إذا كانت X موجبة ، فسيكون E (X) موجبًا أيضًا.
- القيمة المتوقعة للثابت: القيمة المتوقعة للثابت الحقيقي k هي الثابت.
- الخطية في المجموع: توقع متغير عشوائي يكون بدوره مجموع متغيرين X و Y هو مجموع التوقعات.
ه (س + ص) = ه (س) + ه (ص)
- الضرب بثابت: إذا كان المتغير العشوائي بالصيغة kX ، حيث k ثابت (رقم حقيقي) ، فإنه يخرج خارج القيمة المتوقعة.
- القيمة المتوقعة للمنتج والاستقلالية بين المتغيرات: إذا كان المتغير العشوائي هو نتاج المتغيرين العشوائيين X و Y ، وهما مستقلان ، فإن القيمة المتوقعة للمنتج هي ناتج القيم المتوقعة.
بشكل عام ، إذا كانت Y = g (X):
- الترتيب بالقيمة المتوقعة: إذا كان X ≤ Y ، إذن:
بما أن هناك القيم المتوقعة لكل منهم.
التوقع الرياضي في الرهان
عندما لم يكن عالم الفلك الشهير كريستيان هيغنز (1629-1695) يراقب السماء ، كرس نفسه لدراسة الاحتمالات في ألعاب الحظ ، من بين التخصصات الأخرى. هو الذي قدم مفهوم الأمل الرياضي في عمله عام 1656 بعنوان: التفكير في ألعاب الحظ.
الشكل 2. كان كريستيان هيغنز (1629-1625) عالماً لامعاً ومتعدد الاستخدامات ، ندين له بمفهوم القيمة المتوقعة.
وجد Huygens أنه يمكن تصنيف الرهانات بثلاث طرق ، بناءً على القيمة المتوقعة:
- الألعاب ذات الميزة: E (X)> 0
- الرهانات العادلة: E (X) = 0
- لعبة غير مؤاتية: E (X) <0
تكمن المشكلة في أنه في لعبة الحظ ليس من السهل دائمًا حساب التوقعات الرياضية. وعندما تستطيع ، تكون النتيجة أحيانًا مخيبة للآمال لأولئك الذين يتساءلون عما إذا كانوا سيراهنون أم لا.
لنجرب رهانًا بسيطًا: الرؤوس أو الذيل ويدفع الخاسر 1 دولارًا من القهوة. ما هي القيمة المتوقعة لهذا الرهان؟
حسنًا ، احتمال دحرجة الرأس هو ½ يساوي ذيول. المتغير العشوائي هو الفوز بـ 1 دولار أو خسارة 1 دولار ، يتم الإشارة إلى المكسب بعلامة + والخسارة بالإشارة -
ننظم المعلومات في جدول:
نضرب قيم الأعمدة: 1. ½ = ½ و (-1). ½ =-وأخيرًا يتم إضافة النتائج. المجموع 0 وهي لعبة عادلة ، حيث يتوقع من المشاركين ألا يفوزوا أو يخسروا.
الروليت الفرنسي واليانصيب هما من ألعاب الإعاقة التي يخسر فيها معظم المراهنون. في وقت لاحق يوجد رهان أكثر تعقيدًا في قسم التمارين التي تم حلها.
أمثلة
فيما يلي بعض الأمثلة البسيطة حيث يكون مفهوم التوقع الرياضي بديهيًا ويوضح المفهوم:
مثال 1
سنبدأ بإلقاء زهر صادق. ما هي القيمة المتوقعة للانطلاق؟ حسنًا ، إذا كان النرد صادقًا وله 6 رؤوس ، فإن احتمال أن تتدحرج أي قيمة (X = 1 ، 2 ، 3… 6) هو 1/6 ، على النحو التالي:
E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3.5
الشكل 3. في رمية النرد الصادق ، القيمة المتوقعة ليست قيمة محتملة. المصدر: Pixabay.
القيمة المتوقعة في هذه الحالة تساوي المتوسط ، حيث أن كل وجه له نفس احتمالية الخروج. لكن E (X) ليست قيمة ممكنة ، حيث لا توجد رؤوس تساوي 3.5. هذا ممكن تمامًا في بعض التوزيعات ، على الرغم من أن النتيجة في هذه الحالة لا تساعد المراهن كثيرًا.
لنلق نظرة على مثال آخر بإلقاء عملتين.
مثال 2
يتم إلقاء عملتين صريحتين في الهواء ونحدد المتغير العشوائي X على أنه عدد الرؤوس التي يتم لفها. الأحداث التي يمكن أن تحدث هي كالتالي:
- لا تظهر رؤوس: 0 رؤوس تساوي 2 ذيول.
- يخرج رأس واحد وختم واحد أو صليب.
- وجهان يخرجان.
لنفترض أن C رأسًا و T ختمًا ، فإن مساحة العينة التي تصف هذه الأحداث هي كما يلي:
S م = {ختم-ختم ؛ وجه الختم ختم الوجه؛ Face-Face} = {TT، TC، CT، CC}
احتمالات وقوع الأحداث هي:
P (X = 0) = P (T). P (T) =. ½ = ¼
P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = + =
الفوسفور (X = 2) = الفوسفور (ج). الفوسفور (ج) = ½. ½ = ¼
الجدول مبني بالقيم التي تم الحصول عليها:
وفقًا للتعريف الوارد في البداية ، يتم حساب التوقع الرياضي على النحو التالي:
استبدال القيم:
E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1
يتم تفسير هذه النتيجة على النحو التالي: إذا كان لدى الشخص ما يكفي من الوقت لإجراء عدد كبير من التجارب عن طريق رمي عملتين ، فمن المتوقع أن يحصل على رأس في كل رمية.
ومع ذلك ، نحن نعلم أن الإصدارات التي تحتوي على تصنيفين ممكنة تمامًا.
تمرين حل
في رمي عملتين صادقتين ، يتم إجراء الرهان التالي: إذا خرج رأسان ، فستربح 3 دولارات ، وإذا خرج رأس واحد ، فستربح 1 دولار ، ولكن إذا ظهر طابعان ، يتعين عليك دفع 5 دولارات. احسب الفوز المتوقع للرهان.
الشكل 4. اعتمادًا على الرهان ، يتغير التوقع الرياضي عند قلب عملتين حقيقيتين. المصدر: Pixabay.
المحلول
المتغير العشوائي X هو القيم التي يأخذها المال في الرهان وتم حساب الاحتمالات في المثال السابق ، وبالتالي فإن جدول الرهان هو:
ه (س) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0
نظرًا لأن القيمة المتوقعة هي 0 ، فهذه لعبة عادلة ، لذلك من المتوقع أن لا يفوز المراهن ولا يخسر أيضًا. ومع ذلك ، قد يتم تغيير مبالغ الرهان لجعل الرهان لعبة إعاقة أو لعبة إعاقة.
المراجع
- Brase، C. 2009. إحصائيات مفهومة. هوتون ميفلين.
- أولميدو ، ف. مقدمة لمفهوم القيمة المتوقعة أو التوقع الرياضي لمتغير عشوائي. تم الاسترجاع من: personal.us.es.
- إحصائيات LibreTexts. القيمة المتوقعة للمتغيرات العشوائية المنفصلة. تم الاسترجاع من: stats.libretexts.org.
- Triola، M. 2010. إحصائيات أولية. الحادي عشر. إد أديسون ويسلي.
- والبول ، ر. 2007. الاحتمالية والإحصاء للعلوم والهندسة. الثامن. الإصدار. تعليم بيرسون.