الأحداث المكملة: ما تتكون منها والأمثلة - رياضيات - 2025

في أحداث إضافية تعرف بأنها أي مجموعة من الأحداث حصرية كل منهما الأخرى، حيث الاتحاد منهم قادر على تغطية كامل فضاء العينة أو الحالات المحتملة من التجريب (هي شاملة).

ينتج عن تقاطعهم المجموعة الفارغة (∅). مجموع احتمالات حدثين متكاملين يساوي 1. بمعنى آخر ، حدثان لهما هذه الخاصية يغطيان تمامًا إمكانية وقوع أحداث تجربة.

المصدر: pexels.com

ما هي الأحداث المكملة؟

هناك حالة عامة مفيدة جدًا لفهم هذا النوع من الأحداث وهي رمي حجر النرد:

عند تحديد مساحة العينة ، يتم تسمية جميع الحالات المحتملة التي تقدمها التجربة. تُعرف هذه المجموعة بالكون.

مساحة العينة (S):

S: {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6}

الخيارات غير المنصوص عليها في مساحة العينة ليست جزءًا من إمكانيات التجربة. على سبيل المثال {العدد سبعة يأتي} لديه احتمال صفر.

وفقًا لهدف التجربة ، يتم تحديد المجموعات والمجموعات الفرعية إذا لزم الأمر. يتم أيضًا تحديد مجموعة الرموز المراد استخدامها وفقًا للهدف أو المعلمة المراد دراستها:

ج: {إخراج رقم زوجي} = {2، 4، 6}

ب: {احصل على رقم فردي} = {1، 3، 5}

في هذه الحالة A و B هما أحداث تكميلية. نظرًا لأن كلا المجموعتين متنافيتان (لا يمكن أن يظهر رقم زوجي فردي بدوره) ويغطي اتحاد هاتين المجموعتين مساحة العينة بأكملها.

المجموعات الفرعية المحتملة الأخرى في المثال أعلاه هي:

ج: {إخراج عدد أولي} = {2 ، 3 ، 5}

د: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4، 5، 6}

مجموعات A، B، C و مكتوبة في وصفي و تحليلي التدوين على التوالي. بالنسبة للمجموعة D ، تم استخدام التدوين الجبري ، وتم وصف النتائج المحتملة المقابلة للتجربة في التدوين التحليلي.

لوحظ في المثال الأول أنه بما أن A و B حدثان متكاملان

ج: {إخراج رقم زوجي} = {2، 4، 6}

ب: {احصل على رقم فردي} = {1، 3، 5}

تحمل البديهيات التالية:

1. AUB = S ؛ اتحاد حدثين متكاملين يساوي مساحة العينة
2. أ ∩ ب = ∅ ؛ تقاطع حدثين متكاملين يساوي المجموعة الفارغة
3. أ '= ب ᴧ ب' = أ ؛ كل مجموعة فرعية تساوي تكملة نظيرتها
4. أ '∩ أ = ب' ∩ ب = ؛ تتقاطع مجموعة مع مكملها يساوي فارغًا
5. أ 'UA = B' UB = S ؛ ربط مجموعة مع مكملها يساوي مساحة العينة

في الإحصاء والدراسات الاحتمالية ، تعتبر الأحداث التكميلية جزءًا من النظرية بأكملها ، وهي شائعة جدًا بين العمليات التي يتم تنفيذها في هذا المجال.

لمعرفة المزيد عن الأحداث التكميلية ، من الضروري فهم بعض المصطلحات التي تساعد في تعريفها من الناحية المفاهيمية.

ما هي الأحداث؟

إنها احتمالات وأحداث ناتجة عن التجريب ، قادرة على تقديم نتائج في كل تكرار لها. و الأحداث توليد البيانات التي سيتم تسجيلها بوصفها عناصر من مجموعات ومجموعات فرعية، والاتجاهات في هذه البيانات هي موضوع دراسة لاحتمال.

أمثلة على الأحداث هي:

• وأشار رأس العملة
• أسفرت المباراة عن التعادل
• تفاعلت المادة الكيميائية في 1.73 ثانية
• كانت السرعة عند أقصى نقطة 30 م / ث
• كان الموت يمثل الرقم 4

ما هو البرنامج المساعد؟

بخصوص نظرية المجموعة. و يكمل يشير إلى جزء من فضاء العينة أن هناك حاجة إلى أن تضاف إلى مجموعة لذلك ليشمل الكون لها. إنه كل شيء ليس جزءًا من الكل.

الطريقة المعروفة للدلالة على المكمل في نظرية المجموعات هي:

أ 'مكمل أ

مخطط فين

المصدر: pixabay.com

إنه مخطط تحليلي بياني للمحتوى ، يستخدم على نطاق واسع في العمليات الحسابية التي تشمل المجموعات والمجموعات الفرعية والعناصر. يتم تمثيل كل مجموعة بحرف كبير وشكل بيضاوي (هذه الخاصية ليست إلزامية في استخدامها) تحتوي على كل عنصر من عناصرها.

يتم عرض الأحداث الإضافية مباشرة على مخططات Venn ، كطريقة رسومية لتحديد الإضافات المقابلة لكل مجموعة.

ببساطة ، تخيل بيئة المجموعة بالكامل ، مع حذف حدودها وهيكلها الداخلي ، يسمح بإعطاء تعريف لتكملة المجموعة المدروسة.

أمثلة على الأحداث التكميلية

من الأمثلة على الأحداث التكميلية النجاح والهزيمة في حدث لا يمكن أن توجد فيه المساواة (لعبة بيسبول).

المتغيرات المنطقية هي أحداث مكملة: صواب أو خطأ ، وبالمثل صواب أو خطأ ، مغلق أو مفتوح ، مفعّل أو متوقف.

تمارين الحدث التكميلية

التمرين 1

لنفترض أن S هي مجموعة الكون التي تحددها جميع الأعداد الطبيعية الأقل من عشرة أو تساويها.

S: {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10}

يتم تعريف المجموعات الفرعية التالية من S

H: {الأعداد الطبيعية الأقل من أربعة} = {0، 1، 2، 3}

J: {مضاعفات الثلاثة} = {3، 6، 9}

ك: {مضاعفات الخمسة} = {5}

كبير: {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10}

م: {0 ، 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 10}

N: {الأعداد الطبيعية أكبر من أو تساوي أربعة} = {4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10}

قرر:

كم عدد الأحداث التكميلية التي يمكن تشكيلها من خلال ربط أزواج من مجموعات فرعية من S ؟

وفقًا لتعريف الأحداث التكميلية ، يتم تحديد الأزواج التي تفي بالمتطلبات (باستثناء بعضها البعض وتغطي مساحة العينة عند الانضمام). تعتبر الأزواج التالية من المجموعات الفرعية أحداثًا مكملة :

• H و N
• J و M
• لام وك

تمرين 2

أظهر أن: (M ∩ K) '= L.

{0 ، 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 10} ∩ {5} = {5} ؛ ينتج عن التقاطع بين المجموعات العناصر المشتركة بين مجموعتي التشغيل. بهذه الطريقة 5 هو العنصر المشترك الوحيد بين M و K.

{5} '= {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10} = لام ؛ نظرًا لأن L و K متكاملان ، فإن البديهية الثالثة الموصوفة أعلاه قد تحققت (كل مجموعة فرعية تساوي تكملة نظيرتها)

التمرين 3

تعريف: "

J ∩ H = {3} ، بطريقة مماثلة للخطوة الأولى من التمرين السابق.

(J * H) الأمم المتحدة = {3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10} ؛ تُعرف هذه العمليات بأنها مجمعة ويتم علاجها عادةً باستخدام مخطط Venn.

' = {0، 1، 2} ؛ يتم تحديد تكملة العملية المشتركة.

التمرين 4

أثبت أن: { ∩ ∩} '= ∅

تشير العملية المركبة الموصوفة داخل الأقواس المتعرجة إلى التقاطعات بين اتحادات الأحداث التكميلية. بهذه الطريقة ننتقل إلى التحقق من البديهية الأولى (اتحاد حدثين متكاملين يساوي مساحة العينة).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S ؛ يولد اتحاد وتقاطع مجموعة مع نفسها نفس المجموعة.

ثم؛ S '= ∅ حسب تعريف المجموعات.

التمرين 5

حدد 4 تقاطعات بين المجموعات الفرعية ، والتي تختلف نتائجها عن المجموعة الفارغة (∅).

• م ∩ ن

{0 ، 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 10} ∩ {4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10} = {4 ، 5 ، 7 ، 8 ، 10}

• L ∩ H.

{0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10} ∩ {0 ، 1 ، 2 ، 3} = {0 ، 1 ، 2 ، 3}

• ي ∩ ن

{3، 6، 9} ∩ {4، 5، 6، 7، 8، 9، 10} = {6، 9}

المراجع

1. دور الأساليب الإحصائية في علم الحاسوب والمعلوماتية الحيوية. ايرينا اريبوفا. جامعة لاتفيا للزراعة ، لاتفيا.
2. الإحصاء وتقييم الأدلة لعلماء الطب الشرعي. الطبعة الثانية. كولين جي جي أيتكين. مدرسة الرياضيات. جامعة ادنبره ، المملكة المتحدة
3. نظرية الاحتمال الأساسي ، روبرت ب. آش. قسم الرياضيات. جامعة إلينوي
4. الإحصائيات الابتدائية. الطبعة العاشرة. ماريو ف. تريولا. شارع بوسطن
5. الرياضيات والهندسة في علوم الكمبيوتر. كريستوفر جيه فان ويك. معهد علوم وتكنولوجيا الحاسوب. المكتب الوطني للمعايير. واشنطن العاصمة 20234
6. الرياضيات لعلوم الكمبيوتر. اريك ليمان. Google Inc.

   F Thomson Leighton قسم الرياضيات وعلوم الكمبيوتر ومختبر الذكاء الاصطناعي ، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ؛ تقنيات Akamai