يتم تدريس مفاهيم المجال والمجال المضاد لوظيفة ما في دورات حساب التفاضل والتكامل التي يتم تدريسها في بداية الشهادات الجامعية.
قبل تحديد المجال والمجال المتناقض ، يجب أن تعرف ما هي الوظيفة. الوظيفة f هي قانون (قاعدة) من المراسلات بين عناصر مجموعتين.
المجموعة التي يتم اختيار العناصر منها تسمى مجال الوظيفة ، وتسمى المجموعة التي يتم إرسال هذه العناصر إليها من خلال f المجال المضاد.
في الرياضيات ، يتم الإشارة إلى دالة ذات المجال A ومجال العداد B بالتعبير f: A → B.
يقول التعبير السابق أن عناصر المجموعة أ تُرسل للمجموعة ب باتباع قانون المراسلات f.
تقوم الوظيفة بتعيين كل عنصر من عناصر المجموعة أ عنصرًا واحدًا من المجموعة ب.
المجال والتناقض
بالنظر إلى وظيفة حقيقية لمتغير حقيقي f (x) ، لدينا أن مجال الوظيفة سيكون كل تلك الأرقام الحقيقية بحيث ، عند تقييمها في f ، تكون النتيجة رقمًا حقيقيًا.
بشكل عام ، المجال المضاد لوظيفة ما هو مجموعة الأرقام الحقيقية R. ويسمى مجال العداد أيضًا مجموعة الوصول أو المجال المشترك للوظيفة f.
هل تناقض الدالة دائمًا R؟
لا ، طالما لم يتم دراسة الوظيفة بالتفصيل ، فإن مجموعة الأعداد الحقيقية R عادة ما تؤخذ كمجال مضاد.
ولكن بمجرد دراسة الوظيفة ، يمكن اعتبار مجموعة أكثر ملاءمة كمجال مضاد ، والذي سيكون مجموعة فرعية من R.
المجموعة المناسبة التي تم ذكرها في الفقرة السابقة تطابق صورة الوظيفة.
يشير تعريف الصورة أو نطاق الدالة f إلى جميع القيم التي تأتي من تقييم عنصر المجال في f.
أمثلة
توضح الأمثلة التالية كيفية حساب مجال الوظيفة وصورتها.
مثال 1
لنفترض أن f دالة حقيقية تحددها f (x) = 2.
مجال f هو جميع الأعداد الحقيقية بحيث تكون النتيجة عددًا حقيقيًا عند تقييمها عند f. التناقض في الوقت الحالي يساوي R.
نظرًا لأن الوظيفة المحددة ثابتة (تساوي دائمًا 2) ، فلا يهم أي رقم حقيقي يتم اختياره ، لأنه عند تقييمها في f ، ستكون النتيجة دائمًا مساوية لـ 2 ، وهو رقم حقيقي.
لذلك ، مجال الوظيفة المعينة هو جميع الأعداد الحقيقية ؛ هذا هو ، A = R.
الآن بعد أن أصبح معروفًا أن نتيجة الدالة تساوي دائمًا 2 ، أصبح لدينا أن صورة الوظيفة هي الرقم 2 فقط ، لذلك يمكن إعادة تعريف المجال المضاد للوظيفة على أنه B = Img (f) = {اثنان}.
لذلك ، f: R → {2}.
مثال 2
لنفترض أن g وظيفة حقيقية تحددها g (x) = √x.
طالما أن صورة g غير معروفة ، فإن المجال المتناقض لـ g هو B = R.
مع هذه الوظيفة ، يجب أن يؤخذ في الاعتبار أن الجذور التربيعية محددة فقط للأرقام غير السالبة ؛ أي للأرقام الأكبر من أو تساوي الصفر. على سبيل المثال ، √-1 ليس رقمًا حقيقيًا.
لذلك ، يجب أن يكون مجال الدالة g جميع الأعداد أكبر من أو تساوي الصفر ؛ أي x ≥ 0.
لذلك ، أ = [0 ، +).
لحساب المدى ، تجدر الإشارة إلى أن أي نتيجة لـ g (x) ، لأنها جذر تربيعي ، ستكون دائمًا أكبر من أو تساوي الصفر. أي ب = [0 ، +).
في الختام ، g: [0، + ∞) → [0، + ∞).
مثال 3
إذا كانت لدينا الدالة h (x) = 1 / (x-1) ، فلدينا أن هذه الوظيفة لم يتم تعريفها لـ x = 1 ، لأن المقام سيحصل على صفر ولن يتم تحديد القسمة على الصفر.
من ناحية أخرى ، ستكون النتيجة رقمًا حقيقيًا لأي قيمة حقيقية أخرى. لذلك ، فإن المجال هو كل الحقيقي باستثناء واحد ؛ وهذا يعني ، A = R {1}.
بنفس الطريقة ، يمكن ملاحظة أن القيمة الوحيدة التي لا يمكن الحصول عليها كنتيجة هي 0 ، لأنه لكي يكون الكسر مساويًا للصفر ، يجب أن يكون البسط صفرًا.
لذلك ، فإن صورة الوظيفة هي مجموعة جميع القيم الحقيقية باستثناء الصفر ، لذلك يتم أخذ B = R {0} كنطاق متناقض.
في الختام ، h: R {1} → R {0}.
ملاحظات
لا يجب أن يكون المجال والصورة نفس المجموعة ، كما هو موضح في المثالين 1 و 3.
عندما يتم رسم دالة على المستوى الديكارتي ، يتم تمثيل المجال بالمحور X ويتم تمثيل المجال أو النطاق بالمحور Y.
المراجع
- فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، دي (1989). الرياضيات المسبقة. برنتيس هول PTR.
- فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، دي (1989). رياضيات حساب التفاضل والتكامل: نهج لحل المشكلات (2 ، إيضاح مصور). ميشيغان: برنتيس هول.
- فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، د. (1991). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
- لارسون ، ر. (2010). Precalculus (8 ed.). سينجاج ليرنينج.
- ليل ، جي إم ، وفيلوريا ، إن جي (2005). الهندسة التحليلية المستوية. ميريدا - فنزويلا: الافتتاحية فنزويلا CA
- بيريز ، سي دي (2006). حساب مسبق. تعليم بيرسون.
- بورسيل ، EJ ، Varberg ، D. ، & Rigdon ، SE (2007). حساب التفاضل والتكامل (الطبعة التاسعة). برنتيس هول.
- ساينز ، ج. (2005). حساب التفاضل مع الدوال المتسامية المبكرة للعلوم والهندسة (الطبعة الثانية). الوتر.
- سكوت ، كاليفورنيا (2009). هندسة الطائرة الديكارتية ، الجزء: المخروطات التحليلية (1907) (طبع ed.). مصدر البرق.
- سوليفان ، م. (1997). حساب مسبق. تعليم بيرسون.