أحداث مستقلة: مظاهرة ، أمثلة ، تمارين - دوداس - 2026

اثنين من الأحداث مستقلة ، عندما احتمال أن أحدهم يحدث لا تتأثر حقيقة أن البعض تحدث -أو لا occur-، معتبرا أن هذه الأحداث تحدث عشوائيا.

يحدث هذا الظرف عندما لا تغير العملية التي تولد نتيجة الحدث 1 بأي شكل من الأشكال احتمالية النتائج المحتملة للحدث 2. ولكن إذا لم يحدث ذلك ، يُقال إن الأحداث تابعة.

الشكل 1. كثيرا ما تستخدم الكرات الملونة لتفسير احتمالية وقوع أحداث مستقلة. المصدر: Pixabay.

حالة الحدث المستقل هي كما يلي: لنفترض أنه تم لف نردتين من ستة جوانب ، أحدهما أزرق والآخر وردي. إن احتمال أن يتدحرج الرقم 1 على القالب الأزرق مستقل عن احتمال أن يتدحرج الرقم 1 - أو لا يتدحرج - على القالب الوردي.

حالة أخرى لحدثين مستقلين هي حالة رمي عملة معدنية مرتين على التوالي. نتيجة الرمية الأولى لن تعتمد على نتيجة الثانية والعكس صحيح.

دليل على حدثين مستقلين

للتحقق من أن حدثين مستقلين ، سنحدد مفهوم الاحتمال الشرطي لحدث واحد فيما يتعلق بحدث آخر. لهذا ، من الضروري التمييز بين الأحداث الحصرية والأحداث الشاملة:

يكون حدثان حصريين إذا كانت القيم أو العناصر المحتملة للحدث "أ" لا تشترك في شيء مع قيم أو عناصر الحدث "ب".

لذلك في حدثين حصريين ، فإن مجموعة تقاطع A مع B هي الفراغ:

باستثناء الأحداث: A∩B = Ø

على العكس من ذلك ، إذا كانت الأحداث شاملة ، فقد يحدث أن تتزامن نتيجة الحدث A أيضًا مع حدث B آخر ، حيث يكون A و B حدثين مختلفين. في هذه الحالة:

الأحداث الشاملة: A∩B ≠ Ø

يقودنا هذا إلى تحديد الاحتمال الشرطي لحدثين شاملين ، بمعنى آخر ، احتمال حدوث الحدث A ، كلما حدث الحدث B:

الفوسفور (A¦B) = الفوسفور (A∩B) / الفوسفور (ب)

لذلك ، فإن الاحتمال الشرطي هو احتمال حدوث "أ" و "ب" مقسومًا على احتمال حدوث "ب". ويمكن أيضًا تحديد احتمال حدوث "ب" بشرط "أ":

الفوسفور (B¦A) = الفوسفور (A∩B) / الفوسفور (أ)

معايير لمعرفة ما إذا كان هناك حدثان مستقلان

بعد ذلك ، سنقدم ثلاثة معايير لمعرفة ما إذا كان حدثان مستقلان. يكفي أن يتم تحقيق واحد من الثلاثة ، بحيث يتم إظهار استقلالية الأحداث.

1.- إذا كان احتمال حدوث "أ" عند حدوث "ب" مساويًا لاحتمالية حدوث "أ" ، فهي أحداث مستقلة:

P (A¦B) = P (A) => A مستقل عن B

2.- إذا كان احتمال حدوث B معطى A يساوي احتمال B ، فهناك أحداث مستقلة:

P (B¦A) = P (B) => B مستقلة عن A

3.- إذا كان احتمال حدوث A و B مساويًا لمنتج احتمالية حدوث A واحتمال حدوث B ، فإنهما يعتبران حدثين مستقلين. والعكس صحيح أيضا.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A و B هما حدثان مستقلان.

أمثلة على الأحداث المستقلة

تتم مقارنة نعال المطاط التي ينتجها موردان مختلفان. تخضع العينات من كل مصنع لعدة اختبارات يتم من خلالها استنتاج ما إذا كانت ضمن المواصفات أم لا.

الشكل 2. مجموعة متنوعة من نعال المطاط. المصدر: Pixabay.

كان الملخص الناتج عن 252 عينة كما يلي:

الشركة المصنعة 1 ؛ 160 تفي بالمواصفات ؛ 8 لا تفي بالمواصفات.

الشركة المصنعة 2 ؛ 80 لا تفي بالمواصفات ؛ 4 - لا تفي بالمواصفات.

الحدث أ: "أن العينة من الشركة المصنعة 1".

الحدث ب: "أن تستوفي العينة المواصفات".

نريد أن نعرف ما إذا كانت هذه الأحداث (أ) و (ب) مستقلة أم لا ، والتي نطبق عليها أحد المعايير الثلاثة المذكورة في القسم السابق.

المعيار: P (B¦A) = P (B) => B مستقل عن A

P (B) = 240/252 = 0.9523

الفوسفور (B¦A) = P (A A B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

الخلاصة: الأحداث A و B مستقلة.

افترض الحدث ج: "أن العينة تأتي من الشركة المصنعة 2"

هل سيكون الحدث B مستقلاً عن الحدث C؟

نحن نطبق أحد المعايير.

المعيار: P (B¦C) = P (B) => B مستقل عن C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P (B)

لذلك ، بناءً على البيانات المتاحة ، فإن احتمال تلبية النعل المطاطي المختار عشوائيًا للمواصفات يكون مستقلاً عن الشركة المصنعة.

تحويل حدث مستقل إلى حدث تابع

لنلقِ نظرة على المثال التالي للتمييز بين الأحداث التابعة والمستقلة.

لدينا حقيبة بها كرتان من الشوكولاتة البيضاء وكراتان أسودتان. احتمالية الحصول على كرة بيضاء أو سوداء متساوية في المحاولة الأولى.

افترض أن النتيجة كانت كرة رئيسية. إذا تم استبدال الكرة المسحوبة في الحقيبة ، يتكرر الوضع الأصلي: كرتان أبيضتان وكرتان سوداوان.

لذلك في حدث أو رسم ثانٍ ، تكون فرص رسم كرة رئيسية أو كرة سوداء مماثلة لأول مرة. لذلك فهي أحداث مستقلة.

ولكن إذا لم يتم استبدال الكرة الرئيسية التي تم سحبها في الحدث الأول لأننا أكلناها ، في السحب الثاني ، هناك فرص أكبر لسحب كرة سوداء. احتمالية أن يحصل استخراج ثانٍ للون الأبيض مرة أخرى يختلف عن ذلك في الحدث الأول وهو مشروط بالنتيجة السابقة.

تمارين

- التمرين 1

في صندوق نضع الكرات العشر بالشكل 1 ، 2 منها خضراء و 4 زرقاء و 4 بيضاء. سيتم اختيار كرتين عشوائيًا ، واحدة أولاً والأخرى لاحقًا. يُطلب معرفة

احتمال عدم وجود أي منها باللون الأزرق ، في ظل الشروط التالية:

أ) مع الاستبدال ، أي إعادة الكرة الأولى قبل التحديد الثاني إلى الصندوق. وضّح ما إذا كانت أحداثًا مستقلة أم تابعة.

ب) بدون استبدال ، بحيث يتم ترك قطعة الرخام الأولى المستخرجة خارج الصندوق وقت إجراء الاختيار الثاني. وبالمثل ، وضح ما إذا كانت الأحداث تابعة أو أحداث مستقلة.

الاجابه على

نحسب احتمال ألا يكون الرخام الأول المستخرج باللون الأزرق ، وهو 1 مطروحًا منه احتمال أن يكون لونه أزرق P (A) ، أو أنه ليس أزرق بشكل مباشر ، لأنه خرج باللون الأخضر أو ​​الأبيض:

الفوسفور (أ) = 4/10 = 2/5

P (لا تكن زرقاء) = 1 - (2/5) = 3/5

اوه حسنا:

P (أخضر أو ​​أبيض) = 6/10 = 3/5.

إذا تم إرجاع الرخام المستخرج ، كل شيء سيكون كما كان من قبل. في هذا السحب الثاني ، يوجد أيضًا احتمال 3/5 ألا يكون الرخام المرسوم باللون الأزرق.

ف (ليس أزرق ، وليس أزرق) = (3/5). (3/5) = 9/25.

الأحداث مستقلة ، حيث تم إرجاع الرخام المستخرج إلى الصندوق والحدث الأول لا يؤثر على احتمالية حدوث الثانية.

الحل ب

لعملية الاستخراج الأولى ، تابع كما في القسم السابق. احتمال عدم وجود اللون الأزرق هو 3/5.

في عملية الاستخراج الثانية ، لدينا 9 كرات زجاجية في الكيس ، لأن الأولى لم ترجع ، لكنها لم تكن زرقاء ، لذلك يوجد في الحقيبة 9 كرات زجاجية و 5 كرات غير زرقاء:

ف (أخضر أو ​​أبيض) = 5/9.

P (لا شيء أزرق) = P (أولاً ليس أزرق). P (الثانية ليست زرقاء / الأولى ليست زرقاء) = (3/5). (5/9) = 1/3

في هذه الحالة ، فهي ليست أحداثًا مستقلة ، لأن الحدث الأول يشترط الثاني.

- تمرين 2

يحتوي المتجر على 15 قميصًا بثلاثة أحجام: 3 صغير و 6 متوسط ​​و 6 كبير. يتم اختيار قميصين بشكل عشوائي.

أ) ما هو احتمال أن يكون كلا القمصان المختارين صغيرين ، إذا تم أخذ أحدهما أولاً ودون استبدال الآخر في الدفعة؟

ب) ما هو احتمال أن يكون كلا القمصان المختارين صغيرين ، إذا تم رسم أحدهما أولاً ، يتم استبداله في الدفعة ، ويتم إزالة الثاني؟

الاجابه على

هنا حدثان:

الحدث أ: القميص الأول المختار صغير

الحدث ب: القميص الثاني المحدد صغير

احتمال وقوع الحدث A هو: P (A) = 3/15

احتمال وقوع الحدث B هو: P (B) = 2/14 ، لأن قميصًا قد تم إزالته بالفعل (هناك 14 على اليسار) ، ولكن أيضًا الحدث A الذي يريد تحقيقه ، يجب أن يكون القميص الأول الذي تمت إزالته صغيرًا وبالتالي كلاهما 2 صغير.

أي أن احتمال أن يكون A و B هو حاصل ضرب الاحتمالات هو:

الفوسفور (أ و ب) = الفوسفور (B¦A) الفوسفور (أ) = (2/14) (3/15) = 0.029

لذلك ، فإن احتمال وقوع الحدث A و B يساوي المنتج الذي يقع فيه الحدث A ، وهو احتمال حدوث ذلك الحدث B في حالة الحدث A.

وتجدر الإشارة إلى أن:

الفوسفور (B¦A) = 2/14

احتمال وقوع الحدث B بغض النظر عما إذا كان الحدث A سيحدث أم لا سيكون:

P (B) = (2/14) إذا كان الأول صغيرًا ، أو P (B) = 3/14 إذا لم يكن الأول صغيرًا.

بشكل عام ، يمكن استنتاج ما يلي:

P (B¦A) لا تساوي P (B) => B ليست مستقلة عن A

الحل ب

مرة أخرى هناك حدثان:

الحدث أ: القميص الأول المختار صغير

الحدث ب: القميص الثاني المحدد صغير

الفوسفور (أ) = 3/15

تذكر أنه مهما كانت النتيجة ، يتم استبدال القميص المسحوب من الدفعة ومرة ​​أخرى يتم رسم القميص بشكل عشوائي. احتمال وقوع الحدث B ، إذا وقع الحدث A هو:

الفوسفور (B¦A) = 3/15

سيكون احتمال وقوع الحدثين A و B هو:

الفوسفور (أ و ب) = الفوسفور (B¦A) الفوسفور (أ) = (3/15) (3/15) = 0.04

لاحظ أن:

P (B¦A) تساوي P (B) => B مستقلة عن A.

- التمرين 3

ضع في اعتبارك حدثين مستقلين A و B. ومن المعروف أن احتمال وقوع الحدث A هو 0.2 واحتمال وقوع الحدث B هو 0.3. ما هو احتمال وقوع كلا الحدثين؟

الحل 2

مع العلم أن الأحداث مستقلة ، فمن المعروف أن احتمال وقوع كلا الحدثين هو نتاج الاحتمالات الفردية. ذلك بالقول،

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0.2 * 0.3 = 0.06

لاحظ أنه احتمال أقل بكثير من احتمال وقوع كل حدث بغض النظر عن نتيجة الآخر. أو بعبارة أخرى ، أقل بكثير من الاحتمالات الفردية.

المراجع

1. Berenson، M. 1985. إحصائيات للإدارة والاقتصاد. Interamericana SA 126-127.
2. معهد مونتيري. احتمالية الأحداث المستقلة. تم الاسترجاع من: monterreyinstitute.org
3. مدرس رياضيات. أحداث مستقلة. تم الاسترجاع من: youtube.com
4. سوبر بروف. أنواع الأحداث والأحداث التابعة. تم الاسترجاع من: superprof.es
5. مدرس افتراضي. احتمالا. تم الاسترجاع من: vitutor.net
6. ويكيبيديا. الاستقلال (الاحتمال). تم الاسترجاع من: wikipedia.com