نتحدث عن تجربة عشوائية عندما تكون نتيجة كل تجربة معينة غير متوقعة ، على الرغم من إمكانية إثبات احتمال حدوث نتيجة معينة.
ومع ذلك ، يجب توضيح أنه لا يمكن إعادة إنتاج نفس النتيجة لنظام عشوائي مع نفس المعلمات والشروط الأولية في كل تجربة من التجربة.
الشكل 1. لفة النرد هي تجربة عشوائية. المصدر: Pixabay.
خير مثال على التجربة العشوائية هو دحرجة النرد. حتى إذا تم الحرص على دحرجة النرد بنفس الطريقة ، فإن كل محاولة ستؤدي إلى نتيجة غير متوقعة. في الواقع ، الشيء الوحيد الذي يمكن قوله هو أن النتيجة يمكن أن تكون واحدة مما يلي: 1 أو 2 أو 3 أو 4 أو 5 أو 6.
رمي عملة معدنية هو مثال آخر لتجربة عشوائية ذات نتيجتين محتملتين فقط: الوجه أو الذيل. على الرغم من رمي العملة من نفس الارتفاع وبنفس الطريقة ، سيظل عامل الفرصة موجودًا دائمًا ، مما يؤدي إلى عدم اليقين مع كل محاولة جديدة.
نقيض التجربة العشوائية هي تجربة حتمية. على سبيل المثال ، من المعروف أنه في كل مرة يتم فيها غلي الماء عند مستوى سطح البحر تكون درجة حرارة الغليان 100 درجة مئوية. ولكن لم يحدث أبدًا أن تكون النتيجة في بعض الأحيان 90 درجة مئوية ، وأخرى 12 درجة مئوية وأحيانًا 100 درجة مئوية ، مع الحفاظ على نفس الشروط.
فضاء العينة
تسمى مجموعة جميع النتائج المحتملة لتجربة عشوائية مساحة العينة. في التجربة العشوائية لرمي قالب ، تكون مساحة العينة:
د = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6}.
من ناحية أخرى ، في رمي عملة معدنية ، تكون مساحة العينة:
م = {رؤوس ، ذيول}.
حدث أو حدث
في تجربة عشوائية ، يكون الحدث هو حدوث أو عدم حدوث نتيجة معينة. على سبيل المثال ، في حالة قلب العملة ، فإن الحدث أو الوقوع هو ظهور الوجه.
حدث آخر في تجربة عشوائية يمكن أن يكون كالتالي: أن عددًا أقل من أو يساوي ثلاثة يُدحرج على نرد.
في حالة وقوع الحدث ، فإن مجموعة النتائج المحتملة هي المجموعة:
هـ = {1 ، 2 ، 3}
في المقابل ، هذه مجموعة فرعية من مساحة العينة أو المجموعة:
م = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6}.
أمثلة
فيما يلي بعض الأمثلة التي توضح ما سبق:
مثال 1
لنفترض أنه تم إلقاء عملتين ، واحدة تلو الأخرى. يسأل:
أ) بيّن ما إذا كانت تجربة عشوائية أم ، على العكس ، تجربة حتمية.
ب) ما هي مساحة العينة S لهذه التجربة؟
ج) حدد مجموعة الحدث أ ، المقابلة لحقيقة أن التجربة تؤدي إلى ظهور الرؤوس وذيول.
د) احسب احتمال وقوع الحدث أ.
هـ) أخيرًا ، أوجد احتمال وقوع الحدث "ب": عدم ظهور رؤوس في النتيجة.
المحلول
كيس يحتوي على 10 كرات بيضاء و 10 كرات زجاجية سوداء. يتم سحب ثلاث كرات من الكيس بشكل عشوائي دون النظر إلى الداخل.
أ) تحديد مساحة العينة لهذه التجربة العشوائية.
ب) حدد مجموعة النتائج المقابلة للحدث أ ، والتي تتكون من وجود كرتين من الرخام الأسود بعد التجربة.
ج) الحدث "ب" هو الحصول على كرتين من الرخام الأسود على الأقل ، وتحديد المجموعة "ب" من النتائج لهذا الحدث.
د) ما هو احتمال وقوع الحدث "أ"؟
هـ) أوجد احتمال وقوع الحدث ب.
و) حدد احتمال أن تكون نتيجة التجربة العشوائية أن لديك قطعة واحدة على الأقل من الرخام الأسود. سيطلق على هذا الحدث اسم C.
الشكل 2. كرات سوداء وبيضاء لتجارب عشوائية. المصدر: Needpix.
الاجابه على
لإنشاء مساحة العينة ، من المفيد عمل مخطط شجرة ، مثل الرسم الموضح في الشكل 3:
الشكل 3. مخطط الشجرة على سبيل المثال 2. إعداد فاني زاباتا.
مجموعة النتائج المحتملة لاستخراج ثلاث كرات من الكيس مع نفس العدد من الرخام الأبيض والأسود ، هي بالضبط مساحة العينة لهذه التجربة العشوائية.
Ω = {(ب ، ب ، ب) ، (ب ، ب ، ن) ، (ب ، ن ، ب) ، (ب ، ن ، ن) ، (ن ، ب ، ب) ، (ن ، ب ، ن) ، (ن ، ن ، ب) ، (ن ، ن ، ن)}
الحل ب
مجموعة النتائج المحتملة المقابلة للحدث أ ، والتي تتكون من امتلاك كرتين أسودتين هي:
أ = {(ب ، ن ، ن) ، (ن ، ب ، ن) ، (ن ، ن ، ب)}
الحل ج
يتم تعريف الحدث B على أنه: "امتلاك اثنين على الأقل من الكرات السوداء بعد سحب ثلاثة منهم بشكل عشوائي". مجموعة النتائج المحتملة للحدث B هي:
ب = {(ب ، ن ، ن) ، (ن ، ب ، ن) ، (ن ، ن ، ب) ، (ن ، ن ، ن)}
الحل د
احتمال وجود الحدث A هو الحاصل بين عدد النتائج المحتملة لهذا الحدث ، والعدد الإجمالي للنتائج المحتملة ، أي عدد العناصر في فضاء العينة.
P (A) = n (A) / n () = 3/8 = 0.375 = 37.5٪
لذلك هناك احتمال بنسبة 37.5٪ لامتلاك اثنين من الكرات السوداء بعد سحب ثلاث كرات من الكيس عشوائيًا. لكن لاحظ أنه لا يمكننا بأي حال توقع النتيجة الدقيقة للتجربة.
الحل ه
احتمال وقوع الحدث B ، والذي يتكون من الحصول على رخام أسود واحد على الأقل ، هو:
P (B) = n (B) / n () = 4/8 = 0.5 = 50٪
هذا يعني أن احتمال وقوع الحدث B يساوي احتمال عدم حدوثه.
الحل و
إن احتمال الحصول على قطعة رخامية سوداء واحدة على الأقل ، بعد سحب ثلاثة منها ، يساوي 1 مطروحًا منها احتمال أن تكون النتيجة "الكرات الثلاث البيضاء".
P (C) = 1 - P (bbb) = 1 - ⅛ = ⅞ = 0.875 = 87.5٪
الآن ، يمكننا التحقق من هذه النتيجة ، مع ملاحظة أن عدد الاحتمالات التي يحدثها الحدث C يساوي عدد عناصر النتائج المحتملة للحدث C:
C = {(ب ، ب ، ن) ، (ب ، ن ، ب) ، (ب ، ن ، ن) ، (ن ، ب ، ب) ، (ن ، ب ، ن) ، (ن ، ن ، ب) ، (ن ، ن ، ن)}
ن (ج) = 7
P (C) = n (C) / n () = ⅞ = 87.5٪
المراجع
- القناة تجربة عشوائية. تم الاسترجاع من: youtube.com.
- مات موفيل. تجربة عشوائية. تم الاسترجاع من: youtube.com
- بيشرو نيك هـ. مقدمة في الاحتمال. تم الاسترجاع من: probabilitycourse.com
- روس. الاحتمالات والإحصائيات للمهندسين. ماك جراو هيل.
- ويكيبيديا. التجربة (نظرية الاحتمالات). تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com
- ويكيبيديا. حدث حتمي. تعافى من: es. wikipedia.com
- ويكيبيديا. تجربة عشوائية. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com