A الزائدي هو مكعب من البعد ن. تسمى الحالة الخاصة للمكعب المفرط رباعي الأبعاد بـ tesseract. يتكون المكعب الفائق أو n-cube من مقاطع مستقيمة متساوية الطول ومتعامدة عند رؤوسها.
يدرك البشر الفضاء ثلاثي الأبعاد: العرض والارتفاع والعمق ، لكن ليس من الممكن بالنسبة لنا أن نتخيل مكعبًا مفرطًا بأبعاد أكبر من 3.
الشكل 1. إن المكعب 0 هو نقطة ، إذا امتدت تلك النقطة في اتجاه مسافة تشكل مكعبًا واحدًا ، إذا امتد هذا المكعب 1 لمسافة a في الاتجاه المتعامد لدينا 2 مكعب (من أضلاع x إلى a) ، إذا امتد المكعب 2 مسافة a في الاتجاه المتعامد ، لدينا 3 مكعبات. المصدر: F. Zapata.
على الأكثر يمكننا عمل إسقاطات منه في مساحة ثلاثية الأبعاد لتمثيله ، بطريقة مشابهة لكيفية إسقاط مكعب على مستوى لتمثيله.
في البعد 0 ، الشكل الوحيد هو النقطة ، لذا فإن 0 مكعب هو نقطة. المكعب 1 هو جزء مستقيم يتكون من تحريك نقطة في اتجاه واحد على مسافة a.
2-مكعب من جانبه هو مربع. يتم إنشاؤه عن طريق إزاحة المكعب 1 (مقطع الطول أ) في الاتجاه y ، وهو متعامد مع اتجاه x ، أي مسافة a.
3 مكعب هو المكعب المشترك. يتم بناؤه من المربع عن طريق تحريكه في الاتجاه الثالث (z) ، وهو متعامد مع اتجاهي x و y ، مسافة a.
الشكل 2. مكعب 4 (tesseract) هو امتداد لمكعب 3 في الاتجاه المتعامد إلى الاتجاهات المكانية التقليدية الثلاثة. المصدر: F. Zapata.
4-cube هو tesseract ، وهو مبني من 3 مكعبات يتحرك بشكل متعامد ، مسافة a ، نحو البعد الرابع (أو الاتجاه الرابع) ، والذي لا يمكننا إدراكه.
للقطعة الصغيرة جميع زواياها القائمة ، ولها 16 رأسًا ، وجميع حوافها (18 في المجموع) لها نفس الطول a.
إذا كان طول حواف n-cube أو hypercube للبعد n هو 1 ، فهذا يعني أنه وحدة مكعب مفرط ، حيث يقيس أطول قطري √n.
الشكل 3. يتم الحصول على n-cube من مكعب (n-1) يمتد بشكل متعامد في البعد التالي. المصدر: wikimedia commons.
ما هي أبعاد؟
الأبعاد هي درجات الحرية ، أو الاتجاهات المحتملة التي يمكن أن يتحرك فيها الكائن.
في البعد 0 ، لا توجد إمكانية للترجمة ويكون الكائن الهندسي الوحيد الممكن هو النقطة.
يتم تمثيل أحد الأبعاد في الفضاء الإقليدي بخط موجه أو محور يحدد هذا البعد ، يسمى المحور X. والفصل بين النقطتين A و B هو المسافة الإقليدية:
د = √.
في بعدين ، يتم تمثيل الفضاء بخطين موجهين بشكل متعامد مع بعضهما البعض ، يسمى المحور X والمحور Y.
يتم تحديد موضع أي نقطة في هذا الفضاء ثنائي الأبعاد من خلال زوج من الإحداثيات الديكارتية (س ، ص) والمسافة بين أي نقطتين A و B ستكون:
د = √
لأنها مساحة تتحقق فيها هندسة إقليدس.
مساحة ثلاثية الأبعاد
الفضاء ثلاثي الأبعاد هو الفضاء الذي نتحرك فيه. لها ثلاثة اتجاهات: العرض والارتفاع والعمق.
في غرفة فارغة ، تعطي الزوايا العمودية هذه الاتجاهات الثلاثة ولكل منها يمكننا ربط محور: X ، Y ، Z.
هذه المساحة هي أيضًا إقليدية ويتم حساب المسافة بين النقطتين A و B على النحو التالي:
د = √
لا يستطيع البشر إدراك أكثر من ثلاثة أبعاد مكانية (أو إقليدية).
ومع ذلك ، من وجهة نظر رياضية بحتة ، من الممكن تحديد الفضاء الإقليدي ذي البعد n.
إحداثيات النقطة في هذا الفضاء هي: (x1، x2، x3،…..، xn) والمسافة بين نقطتين هي:
د = √.
البعد الرابع والزمن
في الواقع ، في نظرية النسبية ، يتم التعامل مع الوقت على أنه بُعد آخر ويرتبط به إحداثي.
لكن يجب توضيح أن هذا الإحداثي المرتبط بالوقت هو رقم وهمي. لذلك فإن الفصل بين نقطتين أو حدثين في الزمكان ليس إقليديًا ، بل يتبع مقياس لورنتز.
لا يعيش المكعب الفائق رباعي الأبعاد (tesseract) في الزمكان ، إنه ينتمي إلى فضاء إقليدي فائق رباعي الأبعاد.
الشكل 4. إسقاط ثلاثي الأبعاد لمكعب مفرط رباعي الأبعاد في دوران بسيط حول مستوى يقسم الشكل من الأمام إلى اليسار ، ومن الخلف إلى اليمين ، ومن أعلى إلى أسفل. المصدر: ويكيميديا كومنز.
إحداثيات المكعب المفرط
يتم الحصول على إحداثيات رؤوس n-cube المتمركزة في الأصل عن طريق إجراء جميع التباديل الممكنة للتعبير التالي:
(أ / 2) (± 1 ، ± 1 ، ± 1 ،…. ، ± 1)
حيث أ هو طول الحافة.
-The حجم لن مكعب من حافة الهاوية هو: (أ / 2) ن (2 ن) = أ ن.
- أطول قطر هو المسافة بين الرؤوس المتقابلة.
- النقاط التالية هي الرؤوس المتقابلة في المربع: (-1 ، -1) و (+1 ، +1).
- وفي مكعب: (-1 ، -1 ، -1) و (+1 ، +1 ، +1).
- أطول قطري من مقاييس n-cube:
د = √ = √ = 2√n
في هذه الحالة ، تم افتراض أن الجانب هو a = 2. بالنسبة إلى n-cube من الجانب إلى أي سيكون:
د = ع ن.
-تسيراكت لها 16 رأسًا متصلة بأربعة حواف. يوضح الشكل التالي كيفية اتصال الرؤوس في قطعة صغيرة.
الشكل 5. يتم عرض الرؤوس الستة عشر للمكعب المفرط رباعي الأبعاد وكيفية ارتباطها. المصدر: ويكيميديا كومنز.
تتكشف من hypercube
يمكن كشف الشكل الهندسي المنتظم ، على سبيل المثال متعدد السطوح ، إلى عدة أشكال ذات أبعاد أصغر.
في حالة وجود مكعبين (مربع) يمكن تقسيمه إلى أربعة أجزاء ، أي أربعة مكعب واحد.
وبالمثل ، يمكن فك 3 مكعبات إلى ستة مكعبات 2.
الشكل 6. يمكن أن يتكشف n-cube إلى عدة مكعبات (n-1). المصدر: ويكيميديا كومنز.
4 مكعبات (tesseract) يمكن أن تنفتح إلى ثمانية 3 مكعبات.
تظهر الرسوم المتحركة التالية تتكشف من tesseract.
الشكل 7. يمكن فتح المكعب المفرط رباعي الأبعاد إلى ثمانية مكعبات ثلاثية الأبعاد. المصدر: ويكيميديا كومنز.
الشكل 8. إسقاط ثلاثي الأبعاد لمكعب فرعي رباعي الأبعاد يؤدي دوران مزدوج حول مستويين متعامدين. المصدر: ويكيميديا كومنز.
المراجع
- الثقافة العلمية. Hypercube ، تصور البعد الرابع. تم الاسترجاع من: Culturacientifica.com
- إبسيلونس. المكعب الفائق رباعي الأبعاد أو tesseract. تم الاسترجاع من: epsilones.com
- Perez R ، Aguilera A. طريقة للحصول على tesseract من تطوير hypercube (4D). تم الاسترجاع من: researchgate.net
- ويكي الكتب. الرياضيات ، المجسمات المتعددة الوجوه ، المكعبات المفرطة. تم الاسترجاع من: es.wikibooks.org
- ويكيبيديا. هايبر كيوب. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com
- ويكيبيديا. تسراكت. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com