قوانين كبلر: الشرح ، التمارين ، التجربة - جسدي - بدني - 2026

وضع قوانين كبلر لحركة الكواكب عالم الفلك الألماني يوهانس كبلر (1571-1630). استنتجها كبلر بناءً على عمل أستاذه الفلكي الدنماركي تايكو براهي (1546-1601).

جمع Brahe بيانات عن حركات الكواكب بعناية على مدار أكثر من 20 عامًا ، بدقة ودقة مدهشة ، مع الأخذ في الاعتبار أن التلسكوب لم يتم اختراعه بعد في ذلك الوقت. صحة البيانات الخاصة بك لا تزال صالحة حتى اليوم.

الشكل 1. مدارات الكواكب وفقًا لقوانين كبلر. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. Willow / CC BY (https://creativecommons.org/licenses/by/3.0)

قوانين كبلر الثلاثة

تنص قوانين كبلر على ما يلي:

القانون الأول: كل ​​الكواكب تصف مدارات إهليلجية مع الشمس في إحدى البؤر.

هذا يعني أن النسبة T ² / r ³ هي نفسها لجميع الكواكب ، مما يجعل من الممكن حساب نصف القطر المداري ، إذا كانت الفترة المدارية معروفة.

عندما يتم التعبير عن T بالسنوات و r بالوحدات الفلكية AU * ، يكون ثابت التناسب هو k = 1:

* وحدة فلكية تساوي 150 مليون كيلومتر ، وهي متوسط ​​المسافة بين الأرض والشمس ، وتبلغ الفترة المدارية للأرض سنة واحدة.

قانون الجاذبية الكونية وقانون كبلر الثالث

ينص القانون العالمي للجاذبية على أن مقدار قوة الجاذبية بين جسمين كتلتهما M و m على التوالي ، ومركزيهما مفصولتان بمسافة r ، يُعطى بواسطة:

G هو ثابت عالمي من الجاذبية وقيمتها G = 6.674 × 10 ^-11 نيوتن متر ² / كجم ².

الآن ، مدارات الكواكب إهليلجية مع انحراف صغير جدًا.

هذا يعني أن المدار ليس بعيدًا جدًا عن المحيط ، إلا في بعض الحالات مثل الكوكب القزم بلوتو. إذا قمنا بتقريب المدارات إلى الشكل الدائري ، فإن تسارع حركة الكوكب هو:

منذ F = ma ، لدينا:

هنا v هي السرعة الخطية للكوكب حول الشمس ، المفترضة الثابتة والكتلة M ، بينما سرعة الكوكب m. وبالتالي:

يوضح هذا أن الكواكب البعيدة عن الشمس لها سرعة مدارية أقل ، لأن هذا يعتمد على 1 / r.

نظرًا لأن المسافة التي يقطعها الكوكب تساوي تقريبًا طول المحيط: L = 2πr وتستغرق وقتًا يساوي T ، الفترة المدارية ، نحصل على:

معادلة كلا التعبيرين لـ v يعطي تعبيرًا صالحًا لـ T ² ، مربع الفترة المدارية:

وهذا هو بالضبط قانون كبلر الثالث ، حيث أن الأقواس 4π ² / GM في هذا التعبير ثابت ، وبالتالي فإن T ² يتناسب مع المسافة r تكعيب.

يتم الحصول على المعادلة النهائية للفترة المدارية بأخذ الجذر التربيعي:

الشكل 3. الأوج والحضيض. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. بيرسون سكوت فورسمان / المجال العام

لذلك ، نستبدل r بـ a في قانون كبلر الثالث ، والذي ينتج عنه Halley في:

الحل ب

أ = ½ (الحضيض + الأفيليون)

تجربة

يتطلب تحليل حركة الكواكب أسابيع وشهورًا وحتى سنوات من المراقبة والتسجيل الدقيق. ولكن في المختبر ، يمكن إجراء تجربة بسيطة جدًا على مقياس بسيط جدًا لإثبات أن قانون كبلر للمساحات المتساوية ثابت.

يتطلب هذا نظامًا ماديًا تكون فيه القوة التي تحكم الحركة مركزية ، وهو شرط كافٍ للوفاء بقانون المناطق. يتكون هذا النظام من كتلة مربوطة بحبل طويل ، مع تثبيت الطرف الآخر من الخيط على دعامة.

يتم تحريك الكتلة بزاوية صغيرة من موضع توازنها وإعطائها دفعة خفيفة ، بحيث تنفذ حركة بيضاوية (تقريبًا بيضاوية الشكل) في المستوى الأفقي ، كما لو كان كوكبًا حول الشمس.

في المنحنى الذي يصفه البندول ، يمكننا إثبات أنه يكتسح مساحات متساوية في أوقات متساوية ، إذا:

-نحن نعتبر أنصاف أقطار المتجه التي تنتقل من مركز الجذب (نقطة التوازن الأولية) إلى موضع الكتلة.

- ونكتسح بين لحظتين متتاليتين متساويتين في مجالين مختلفين من الحركة.

كلما زاد طول خيط البندول وصغر الزاوية بعيدًا عن العمودي ، ستكون قوة الاستعادة الصافية أفقية بشكل أكبر وتشبه المحاكاة حالة الحركة ذات القوة المركزية في المستوى.

ثم يقترب الشكل البيضاوي الموصوف من القطع الناقص ، مثل الذي يسافر الكواكب.

المواد

-خيط غير قابل للتمديد

-1 كتلة أو كرة معدنية مطلية باللون الأبيض تعمل كبندول بوب

-مسطرة

- ناقل

-كاميرا تصوير بقرص قوي تلقائي

- يدعم

- اثنان من مصادر الإضاءة

- ورقة سوداء أو كرتون

معالجة

يعد تجميع الشكل ضروريًا لالتقاط صور ومضات متعددة للبندول وهو يتبع مساره. لهذا عليك أن تضع الكاميرا فوق البندول والقرص القوي التلقائي أمام العدسة.

الشكل 4. تجميع البندول للتأكد من أنه يكتسح مساحات متساوية في أوقات متساوية. المصدر: PSSC Laboratory Guide.

بهذه الطريقة ، يتم الحصول على الصور على فترات زمنية منتظمة للبندول ، على سبيل المثال كل 0.1 أو كل 0.2 ثانية ، مما يسمح بمعرفة الوقت المستغرق للانتقال من نقطة إلى أخرى.

عليك أيضًا أن تضيء كتلة البندول بشكل صحيح ، مع وضع الأضواء على كلا الجانبين. يجب طلاء العدس باللون الأبيض لتحسين التباين على الخلفية التي تتكون من ورق أسود منتشر على الأرض.

الآن عليك التحقق من أن البندول يكتسح مساحات متساوية في أوقات متساوية. للقيام بذلك ، يتم اختيار فترة زمنية ويتم تمييز النقاط التي يشغلها البندول في تلك الفترة على الورق.

يتم رسم خط على الصورة من مركز الشكل البيضاوي إلى هذه النقاط ، وبالتالي سيكون لدينا أول المناطق التي اجتاحها البندول ، وهو قطاع بيضاوي تقريبًا مثل ذلك الموضح أدناه:

الشكل 5. مساحة قطاع بيضاوي. المصدر: F. Zapata.

حساب مساحة المقطع البيضاوي

باستخدام المنقلة ، تُقاس الزاويتان θ _o و ₁ ، وتُستخدم هذه الصيغة لإيجاد مساحة القطاع البيضاوي S:

مع F (θ) معطى بواسطة:

لاحظ أن أ و ب هما المحوران شبه الرئيسي والثانوي على التوالي. على القارئ فقط أن يقلق بشأن القياس الدقيق لأشباه المحاور والزوايا ، حيث توجد حاسبات على الإنترنت لتقييم هذا التعبير بسهولة.

ومع ذلك ، إذا أصررت على إجراء الحساب يدويًا ، فتذكر أن الزاوية θ تقاس بالدرجات ، ولكن عند إدخال البيانات في الآلة الحاسبة ، يجب التعبير عن القيم بالراديان.

ثم يتعين عليك تحديد زوج آخر من النقاط قام فيه البندول بقلب نفس الفترة الزمنية ، ورسم المنطقة المقابلة ، وحساب قيمتها بنفس الإجراء.

التحقق من قانون المساحات المتساوية

أخيرًا ، يبقى التحقق من استيفاء قانون المناطق ، أي أن المساحات المتساوية يتم اجتياحها في أوقات متساوية.

هل النتائج تنحرف قليلاً عما كان متوقعاً؟ يجب أن يؤخذ في الاعتبار دائمًا أن جميع القياسات مصحوبة بخطأ تجريبي خاص بها.

المراجع

1. آلة حاسبة كيسان على الإنترنت. مساحة آلة حاسبة القطاع البيضاوي. تم الاسترجاع من: keisan.casio.com.
2. أوبنستاكس. قانون كبلر لحركة الكواكب. تم الاسترجاع من: openstax.org.
3. PSSC. فيزياء المختبر. افتتاحية Reverté. تم الاسترجاع من: books.google.co.
4. بالين ، س. 2002. علم الفلك. سلسلة Schaum. ماكجرو هيل.
5. Pérez R. نظام بسيط بقوة مركزية. تم الاسترجاع من: francesphysics.blogspot.com
6. قوانين ستيرن ، د.كبلر الثلاثة لحركة الكواكب. تم الاسترجاع من: phy6.org.