المصفوفة المعكوسة: الحساب وتمرين حلها - رياضيات - 2025

على مصفوفة معكوس مصفوفة معينة هي المصفوفة التي مضروبا في الأصل يعطي مصفوفة الوحدة. المصفوفة العكسية مفيدة في حل أنظمة المعادلات الخطية ، ومن هنا تأتي أهمية معرفة كيفية حسابها.

تعتبر المصفوفات مفيدة جدًا في الفيزياء والهندسة والرياضيات ، لأنها أداة مدمجة لحل المشكلات المعقدة. يتم تحسين فائدة المصفوفات عندما تكون قابلة للعكس ويكون معكوسها معروفًا أيضًا.

الشكل 1. تظهر مصفوفة 2 × 2 عامة ومصفوفة معكوسة. (من إعداد ريكاردو بيريز)

في مجالات معالجة الرسوم ، البيانات الضخمة ، التنقيب عن البيانات ، التعلم الآلي وغيرها ، يتم استخدام خوارزميات فعالة وسريعة لتقييم المصفوفة العكسية لمصفوفات nxn ذات n كبيرة جدًا ، بترتيب الآلاف أو الملايين.

لتوضيح استخدام المصفوفة العكسية في معالجة نظام المعادلات الخطية ، سنبدأ بأبسط حالة على الإطلاق: مصفوفات 1 × 1.

أبسط حالة: تعتبر المعادلة الخطية لمتغير واحد: 2 × = 10.

الفكرة هي إيجاد قيمة x ، لكنها ستكون "مصفوفة".

المصفوفة M = (2) التي تضرب المتجه (x) هي مصفوفة 1 × 1 ينتج عنها المتجه (10):

م (خ) = (10)

يتم الإشارة إلى معكوس المصفوفة M بالرمز M ^-1.

الطريقة العامة لكتابة هذا "النظام الخطي" هي:

MX = B ، حيث X هي المتجه (x) و B هي المتجه (10).

بحكم التعريف ، المصفوفة العكسية هي التي ضربت في المصفوفة الأصلية ينتج عنها مصفوفة الهوية I:

م ^-1 م = أنا

في الحالة التي تم النظر فيها ، المصفوفة M ^-1 هي المصفوفة (½) ، أي M ^-1 = (½) منذ M ^-1 M = (½) (2) = (1) = أنا

للعثور على المتجه المجهول X = (x) ، في المعادلة المقترحة ، يتم ضرب كلا العضوين في معكوس المصفوفة:

م ^-1 م (س) = م ^-1 (10)

(½) (2) (س) = () (10)

(½ 2) (س) = (10)

(1) (س) = (5)

(خ) = (5)

تم الوصول إلى مساواة بين متجهين ، وهما متساويان فقط عندما تكون العناصر المقابلة لها متساوية ، أي x = 5.

حساب معكوس المصفوفة

ما يحفز حساب المصفوفة العكسية هو إيجاد طريقة عالمية لحل الأنظمة الخطية مثل نظام 2 × 2 التالي:

س - 2 ص = 3

-x + ص = -2

باتباع خطوات الحالة 1 × 1 ، التي تمت دراستها في القسم السابق ، نكتب نظام المعادلات في شكل مصفوفة:

الشكل 2. نظام خطي في شكل مصفوفة.

لاحظ أن هذا النظام مكتوب بترميز متجه مضغوط على النحو التالي:

MX = ب

أين

الخطوة التالية هي إيجاد معكوس M.

الطريقة 1: استخدام القضاء على Gaussian

سيتم تطبيق طريقة الإزالة Gaussian. والتي تتكون من القيام بعمليات أولية على صفوف المصفوفة ، وهذه العمليات هي:

- اضرب صفًا في رقم غير صفري.

- إضافة أو طرح صف آخر من صف ، أو مضاعفات صف آخر.

- تبديل الصفوف.

الهدف من هذه العمليات هو تحويل المصفوفة الأصلية إلى مصفوفة الوحدة.

أثناء القيام بذلك ، في المصفوفة M يتم تطبيق نفس العمليات بالضبط على مصفوفة الهوية. عندما يتم تحويل M إلى المصفوفة الوحدوية بعد عدة عمليات على الصفوف ، فإن المصفوفة التي كانت في الأصل الوحدة ستصبح معكوس المصفوفة M ، أي M ^-1.

1- نبدأ العملية بكتابة المصفوفة M وبجانبها مصفوفة الوحدة:

2- نجمع الصفين ونضع النتيجة في الصف الثاني ، وبهذه الطريقة نحصل على صفر في العنصر الأول من الصف الثاني:

3- نضرب الصف الثاني في -1 لنحصل على 0 و 1 في الصف الثاني:

4- الصف الأول مضروبًا في:

5- يضاف الثاني والأول وتوضع النتيجة في الصف الأول:

6- الآن لإنهاء العملية ، يتم ضرب الصف الأول في 2 للحصول على مصفوفة الوحدة في الصف الأول والمصفوفة العكسية للمصفوفة الأصلية M في الصف الثاني:

ذلك بالقول:

حل النظام

بمجرد الحصول على المصفوفة العكسية ، يتم حل نظام المعادلات عن طريق تطبيق المصفوفة العكسية على كلا أعضاء معادلة المتجه المضغوطة:

م ^-1 م س = م ^-1 ب

س = م ^-1 ب

الذي يبدو صراحةً كالتالي:

ثم يتم تنفيذ عملية ضرب المصفوفة للحصول على المتجه X:

الطريقة الثانية: استخدام المصفوفة المرفقة

في هذه الطريقة الثانية يتم حساب مصفوفة عكسية من المصفوفة adjoint مصفوفة الأصلي A.

افترض أن مصفوفة A مقدمة من:

حيث _{ط، ي} هو العنصر في الصف الأول والعمود ي المصفوفة A.

المصفوفة المساعدة للمصفوفة A ستسمى Adj (A) وعناصرها هي:

ad _{i، j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai، j¦

حيث منظمة العفو الدولية، ي هو مصفوفة أقل التكميلية التي تم الحصول عليها عن طريق القضاء على الصف الأول والعمود ي مصفوفة الأصلي A. تشير الأشرطة ¦ ¦ إلى أن المحدد محسوب ، أي ¦Ai ، j¦ هو محدد المصفوفة التكميلية الثانوية.

صيغة المصفوفة العكسية

صيغة إيجاد معكوس المصفوفة بدءًا من المصفوفة المجاورة للمصفوفة الأصلية هي كما يلي:

هو، ومصفوفة عكسية من A ، A ^-1 ، هو تبديل للadjoint من A مقسوما المحدد من A.

لتبديل A ^T مصفوفة A يتم الحصول عليها عن طريق تبادل الصفوف والأعمدة، وهذا هو، ويصبح الصف الأول العمود الأول والصف الثاني يصبح العمود الثاني وهكذا حتى يتم الانتهاء من الصفوف ن المصفوفة الأصلية.

تمرين حل

دع المصفوفة أ تكون كما يلي:

يتم حساب كل عنصر من عناصر المصفوفة المساعدة لـ A: Adj (A)

ينتج عن ذلك المصفوفة المساعدة لـ A ، Adj (A) هي كما يلي:

ثم يتم حساب محدد المصفوفة A ، det (A):

أخيرًا يتم الحصول على المصفوفة العكسية لـ A:

المراجع

1. أنتوني نيكولايدس (1994) المحددات والمصفوفات. تمرير النشر.
2. Awol Assen (2013) دراسة حول حساب محددات 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) مقدمة في الجبر الخطي. افتتاحية ESIC.
4. ديف كيركبي (2004) Maths Connect. هاينمان.
5. جيني أوليف (1998) الرياضيات: دليل بقاء الطالب. صحافة جامعة كامبرج.
6. ريتشارد ج.براون (2012) رياضيات 30 ثانية: أكثر 50 نظرية توسعًا للعقل في الرياضيات. آيفي برس المحدودة.
7. مصفوفة. لاب لامبرت للنشر الأكاديمي.