الوظيفة الثابتة: الخصائص والأمثلة والتمارين - رياضيات - 2025

و ظيفة ثابتة واحدة التي يتم الاحتفاظ قيمة y ثابت. بمعنى آخر: يكون للدالة الثابتة دائمًا الشكل f (x) = k ، حيث k هو رقم حقيقي.

عند رسم الدالة الثابتة بالرسم البياني في نظام الإحداثيات xy ، ينتج دائمًا خط مستقيم موازٍ للمحور الأفقي أو المحور x.

الشكل 1. رسم بياني لعدة وظائف ثابتة على المستوى الديكارتي. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. المستخدم: HiTe

هذه الدالة هي حالة معينة للدالة الأفينية ، والتي يكون رسمها البياني أيضًا خطًا مستقيمًا ، ولكن بميل. الدالة الثابتة لها ميل صفري ، أي أنها خط أفقي ، كما يتضح من الشكل 1.

هناك رسم بياني لثلاث وظائف ثابتة:

كلها خطوط موازية للمحور الأفقي ، الأول أسفل المحور المذكور ، بينما الباقي أعلاه.

خصائص الوظيفة الثابتة

يمكننا تلخيص الخصائص الرئيسية للدالة الثابتة على النحو التالي:

- رسمه البياني عبارة عن خط أفقي مستقيم.

-لديه تقاطع فريد مع المحور y والذي يساوي k.

- إنه مستمر.

-The مجال وظيفة ثابتة (مجموعة من القيم التي يمكن أن يكون س) هو مجموعة من الأرقام الحقيقية R.

-المسار أو المدى أو المجال المضاد (مجموعة القيم التي يأخذها المتغير y) هو ببساطة ثابت k.

أمثلة

الوظائف ضرورية لإنشاء روابط بين الكميات التي تعتمد على بعضها البعض بطريقة ما. يمكن أن تكون العلاقة بينهما نموذجًا رياضيًا ، لمعرفة كيف يتصرف أحدهما عندما يختلف الآخر.

يساعد هذا في بناء نماذج للعديد من المواقف وإجراء تنبؤات حول سلوكهم وتطورهم.

على الرغم من بساطتها الواضحة ، فإن الوظيفة الثابتة لها العديد من التطبيقات. على سبيل المثال ، عندما يتعلق الأمر بدراسة الكميات التي تظل ثابتة بمرور الوقت ، أو على الأقل لفترة زمنية ملحوظة.

بهذه الطريقة ، تتصرف المقادير في مواقف مثل ما يلي:

- السرعة المبحرة لسيارة تسير على طريق سريع طويل ومستقيم. طالما أنك لا تفرمل أو تتسارع ، فإن السيارة تتمتع بحركة مستقيمة منتظمة.

الشكل 2. إذا كانت السيارة لا تفرمل أو تتسارع ، فلديها حركة مستقيمة منتظمة. المصدر: Pixabay.

- مكثف مشحون بالكامل مفصول عن دائرة له شحنة ثابتة بمرور الوقت.

- أخيرًا ، يحافظ موقف السيارات بسعر ثابت على سعر ثابت بغض النظر عن طول فترة وقوف السيارة هناك.

طريقة أخرى لتمثيل دالة ثابتة

يمكن بدلاً من ذلك تمثيل الوظيفة الثابتة على النحو التالي:

نظرًا لأن أي قيمة لـ x مرفوعة إلى 0 تعطي 1 نتيجة لذلك ، فإن التعبير السابق يقلل إلى القيمة المألوفة بالفعل:

بالطبع يحدث هذا طالما أن قيمة k تختلف عن 0.

هذا هو سبب تصنيف الدالة الثابتة أيضًا كدالة متعددة الحدود من الدرجة 0 ، لأن أس المتغير x هو 0.

تمارين محلولة

- التمرين 1

اجب على الاسئلة التالية:

أ) هل يمكن القول أن الخط المعطى بواسطة x = 4 دالة ثابتة؟ إعطاء أسباب إجابتك.

ب) هل يمكن أن يكون للدالة الثابتة تقاطع إكس؟

ج) هل الدالة f (x) = w ² ثابتة ؟

إجابة على

هذا هو الرسم البياني للخط x = 4:

الشكل 3. رسم بياني للخط x = 4. المصدر: F. Zapata.

الخط س = 4 ليس وظيفة ؛ بحكم التعريف ، فإن الوظيفة هي علاقة بحيث تتوافق كل قيمة للمتغير x مع قيمة واحدة لـ y. وفي هذه الحالة ، هذا غير صحيح ، لأن القيمة x = 4 مرتبطة بقيم لا نهائية لـ y. لذلك الجواب لا.

الجواب ب

بشكل عام ، ليس للدالة الثابتة تقاطع x ، إلا إذا كانت y = 0 ، ففي هذه الحالة يكون المحور x نفسه.

الجواب ج

نعم ، نظرًا لأن w ثابت ، فإن مربعه ثابت أيضًا. ما يهم هو أن w لا تعتمد على متغير الإدخال x.

- تمرين 2

أوجد التقاطع بين الدالتين f (x) = 5 و g (x) = 5x - 2

المحلول

للعثور على التقاطع بين هاتين الوظيفتين ، يمكن إعادة كتابتهما على التوالي على النحو التالي:

يتم معادلتها ، والحصول على:

ما هي المعادلة الخطية من الدرجة الأولى وحلها:

نقطة التقاطع هي (5/7).

- التمرين 3

بيّن أن مشتق دالة ثابتة تساوي 0.

المحلول

من تعريف المشتق لدينا:

الاستعاضة في التعريف:

علاوة على ذلك ، إذا فكرنا في المشتقة على أنها معدل التغير dy / dx ، فإن الدالة الثابتة لا تخضع لأي تغيير ، وبالتالي فإن مشتقتها هي صفر.

- التمرين 4

أوجد التكامل غير المحدود لـ f (x) = k.

المحلول

الشكل 4. رسم بياني للوظيفة v (t) للجوال للتمرين 6. المصدر: F. Zapata.

يسأل:

أ) اكتب تعبيرًا لدالة السرعة كدالة للوقت v (t).

ب) أوجد المسافة التي يقطعها الجوال في الفترة الزمنية بين 0 و 9 ثوانٍ.

الاجابه على

يوضح الرسم البياني الموضح ما يلي:

- v = 2 m / s في الفترة الزمنية بين 0 و 3 ثوانٍ

-الهاتف متوقف بين 3 و 5 ثواني حيث ان السرعة في هذه الفترة تساوي 0.

- v = - 3 م / ث بين 5 و 9 ثوان.

إنه مثال لدالة متعددة التعريف ، أو دالة متعددة التعريف ، والتي تتكون بدورها من وظائف ثابتة ، صالحة فقط للفترات الزمنية المحددة. استنتج أن الوظيفة المطلوبة هي:

الحل ب

من الرسم البياني v (t) ، يمكن حساب المسافة التي يقطعها الهاتف المحمول ، والتي تعادل عدديًا المنطقة الواقعة أسفل / على المنحنى. في هذا الطريق:

- المسافة المقطوعة بين 0 و 3 ثوان = 2 م / ث. 3 ق = 6 م

- تم اعتقاله ما بين 3 و 5 ثوان ، وبالتالي لم يسافر أي مسافة.

- المسافة المقطوعة بين 5 و 9 ثوان = 3 م / ث. 4 ق = ​​12 م

في المجموع ، سافر المحمول 18 م. لاحظ أنه على الرغم من أن السرعة سالبة في الفترة بين 5 و 9 ثوانٍ ، فإن المسافة المقطوعة موجبة. ما يحدث هو أنه خلال تلك الفترة الزمنية ، غيّر الهاتف المحمول الإحساس بسرعته.

المراجع

1. جيوجبرا. وظائف ثابتة. تم الاسترجاع من: geogebra.org.
2. مابل سوفت. الوظيفة الثابتة. تم الاسترجاع من: maplesoft.com.
3. ويكي الكتب. الحساب في دالة متغيرة / دوال / دالة ثابتة. تم الاسترجاع من: es.wikibooks.org.
4. ويكيبيديا. وظيفة ثابتة. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org
5. ويكيبيديا. وظيفة ثابتة. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.