لحظة القصور الذاتي: الصيغ والمعادلات وأمثلة الحساب - جسدي - بدني - 2026

تمثل لحظة القصور الذاتي لجسم صلب فيما يتعلق بمحور دوران معين مقاومته لتغيير سرعته الزاوية حول المحور المذكور. إنه يتناسب مع الكتلة وأيضًا مع موقع محور الدوران ، نظرًا لأن الجسم ، اعتمادًا على هندسته ، يمكن أن يدور بسهولة حول محاور معينة أكثر من محاور أخرى.

افترض أن جسمًا كبيرًا (يتكون من العديد من الجسيمات) يمكن أن يدور حول محور. افترض أن القوة F تؤثر بشكل عرضي على عنصر الكتلة Δm _i ، والتي تنتج عزمًا أو عزمًا ، معطى بواسطة τ _net = ∑ r _i x F _i. المتجه r _i هو موضع Δm _i (انظر الشكل 2).

الشكل 1. لحظات من الجمود من شخصيات مختلفة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

هذه اللحظة عمودية على مستوى الدوران (الاتجاه + k = مغادرة الورقة). نظرًا لأن القوة ومتجه الموضع الشعاعي دائمًا متعامدين ، يظل حاصل الضرب الاتجاهي:

τ _net = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i) k

الشكل 2. جسيم ينتمي إلى مادة صلبة صلبة في الدوران. المصدر: Serway، R. 2018. Physics for Science and Engineering. المجلد 1. Cengage Learning.

يمثل العجلة a _i المكون المماسي للتسارع ، نظرًا لأن التسارع الشعاعي لا يساهم في عزم الدوران. كدالة للعجلة الزاوية α ، يمكننا الإشارة إلى ما يلي:

لذلك يبدو عزم الدوران الصافي كما يلي:

τ _net = ∑ Δm _i (α r _i ²) k = (∑ r _i ² Δm _i) α k

التسارع الزاوي α هو نفسه بالنسبة للكائن بأكمله ، وبالتالي لا يتأثر بالرمز "i" ويمكن أن يترك الجمع ، وهو بالضبط لحظة القصور الذاتي للكائن الذي يرمز إليه بالحرف I:

هذه لحظة القصور الذاتي لتوزيع الكتلة المنفصل. عندما يكون التوزيع مستمراً ، يتم استبدال المجموع بتكامل ويصبح Δm تفاضل كتلة dm. يتم تنفيذ التكامل على الكائن بأكمله:

وحدات لحظة القصور الذاتي في النظام الدولي SI هي كجم × م ². إنها كمية قياسية وموجبة ، لأنها حاصل ضرب كتلة ومربع المسافة.

أمثلة حسابية

كائن ممتد ، مثل شريط أو قرص أو كرة أو غير ذلك ، تكون كثافته ρ ثابتة ومعرفة أن الكثافة هي نسبة الكتلة إلى الحجم ، فإن تفاضل الكتلة dm مكتوب على النحو التالي:

استبدال التكامل في لحظة القصور الذاتي ، لدينا:

هذا تعبير عام ، صالح لكائن ثلاثي الأبعاد ، حجمه V وموضعه r هما وظائف للإحداثيات المكانية x و y و z. لاحظ أن الكثافة خارج التكامل.

تُعرف الكثافة ρ أيضًا باسم الكثافة الظاهرية ، ولكن إذا كان الجسم مسطحًا جدًا ، مثل لوح أو رفيع جدًا وضييق مثل قضيب ، فيمكن استخدام أشكال أخرى من الكثافة ، فلنرى:

- بالنسبة للصفائح الرقيقة جدًا ، تكون الكثافة المستخدمة σ ، وكثافة السطح (الكتلة لكل وحدة مساحة) و dA هي فارق المساحة.

- وإذا كان شريطًا رفيعًا ، حيث يكون الطول هو المناسب فقط ، يتم استخدام كثافة الكتلة الخطية λ وفارق الطول ، وفقًا للمحور المستخدم كمرجع.

في الأمثلة التالية ، تعتبر جميع الكائنات صلبة (غير قابلة للتشوه) ولها كثافة موحدة.

لحظة القصور الذاتي لقضيب رفيع بالنسبة لمحور يمر عبر مركزه

سنقوم هنا بحساب لحظة القصور الذاتي لقضيب رقيق وصلب ومتجانس بطول L وكتلة M فيما يتعلق بالمحور الذي يمر عبر الوسط.

أولاً ، من الضروري إنشاء نظام إحداثيات وبناء شكل بهندسة مناسبة ، مثل هذا:

الشكل 3. الهندسة لحساب لحظة القصور الذاتي لقضيب رفيع فيما يتعلق بالمحور الرأسي الذي يمر عبر مركزه. المصدر: F. Zapata.

تم اختيار المحور السيني على طول الشريط والمحور الصادي كمحور الدوران. يتطلب إجراء إنشاء التكامل أيضًا اختيار تفاضل جماعي على الشريط ، يسمى dm ، والذي له طول تفاضلي dx ويقع في الموضع التعسفي x ، فيما يتعلق بالمركز x = 0.

وفقًا لتعريف كثافة الكتلة الخطية λ:

نظرًا لأن الكثافة موحدة ، وهي صالحة لـ M و L ، فهي صالحة أيضًا لـ dm و dx:

من ناحية أخرى ، يكون عنصر الكتلة في الموضع x ، لذلك من خلال استبدال هذه الهندسة في التعريف ، لدينا تكامل محدد ، حدوده هي نهايات الشريط وفقًا لنظام الإحداثيات:

استبدال الكثافة الخطية λ = M / L:

للعثور على لحظة القصور الذاتي للشريط فيما يتعلق بمحور دوران آخر ، على سبيل المثال واحد يمر عبر أحد طرفيه ، يمكنك استخدام نظرية شتاينر (انظر التمرين الذي تم حله في النهاية) أو إجراء حساب مباشر مشابه لما هو موضح هنا ، ولكن تعديل الهندسة بشكل مناسب.

لحظة من القصور الذاتي للقرص بالنسبة لمحور يمر عبر مركزه

القرص الرقيق للغاية ذو السماكة الضئيلة هو شكل مسطح. إذا كانت الكتلة موزعة بشكل موحد على كامل سطح المنطقة A ، فإن كثافة الكتلة σ تكون:

يتوافق كل من dm و dA مع كتلة ومساحة الحلقة التفاضلية الموضحة في الشكل. سنفترض أن المجموعة بأكملها تدور حول المحور ص.

يمكنك أن تتخيل أن القرص يتكون من عدة حلقات متحدة المركز من نصف القطر r ، ولكل منها لحظة القصور الذاتي الخاصة بها. بإضافة مساهمات جميع الحلقات حتى الوصول إلى نصف القطر R ، سيكون لدينا إجمالي عزم القصور الذاتي للقرص.

الشكل 4. الهندسة لحساب لحظة القصور الذاتي للقرص ، فيما يتعلق بالمحور المحوري. المصدر: F. Zapata.

حيث تمثل M الكتلة الكاملة للقرص. تعتمد مساحة القرص على نصف قطره r على النحو التالي:

الاشتقاق فيما يتعلق ص:

استبدال ما سبق في تعريف أنا:

استبدال σ = M / (π.R ²) نحصل على:

لحظة القصور الذاتي للكرة الصلبة يبلغ قطرها تقريبًا

يمكن اعتبار كرة نصف قطرها R كسلسلة من الأقراص مكدسة واحدة فوق الأخرى ، حيث يكون لكل قرص ذي كتلة متناهية الصغر dm ونصف القطر r وسمك dz لحظة من القصور الذاتي تُعطى بواسطة:

لإيجاد هذا التفاضل ، أخذنا ببساطة الصيغة من القسم السابق واستبدلنا M و R بـ dm و r على التوالي. يمكن رؤية قرص مثل هذا في هندسة الشكل 5.

الشكل 5. الهندسة لحساب عزم القصور الذاتي في كرة صلبة نصف قطرها R فيما يتعلق بمحور يمر عبر قطر. المصدر: F. Zapata.

من خلال إضافة جميع اللحظات المتناهية الصغر من القصور الذاتي للأقراص المكدسة ، يتم الحصول على اللحظة الكلية لقصور الكرة:

وهو ما يعادل:

لحل التكامل ، تحتاج إلى التعبير عن dm بشكل مناسب. كما هو الحال دائمًا ، يتم تحقيقه من الكثافة:

حجم القرص التفاضلي هو:

ارتفاع القرص هو سمك dz ، بينما مساحة القاعدة هي isr ² ، لذلك:

والاستبدال بالتكامل المقترح سيبدو كما يلي:

لكن قبل الدمج ، يجب ملاحظة أن r - نصف قطر القرص - يعتمد على z و R - نصف قطر الكرة - كما يتضح من الشكل 5. باستخدام نظرية فيثاغورس:

مما يقودنا إلى:

للتكامل على الكرة بأكملها ، نلاحظ أن z يختلف بين –R و R ، لذلك:

مع العلم أن ρ = M / V = ​​M / تم الحصول عليه أخيرًا ، بعد التبسيط:

لحظة من القصور الذاتي لأسطوانة صلبة فيما يتعلق بالمحور المحوري

بالنسبة لهذا الكائن ، يتم استخدام طريقة مماثلة لتلك المستخدمة في الكرة ، ولكن هذه المرة فقط يكون من الأسهل أن تتكون الأسطوانة من قذائف أسطوانية بنصف قطر r ، وسمك dr ، وارتفاع H ، كما لو كانت طبقات من البصل..

الشكل 6. الهندسة لحساب لحظة القصور الذاتي لأسطوانة صلبة نصف قطرها R فيما يتعلق بالمحور المحوري. المصدر: Serway، R. 2018. Physics for Science and Engineering. المجلد 1. Cengage.

الحجم dV للطبقة الأسطوانية هو:

لذلك فإن كتلة القشرة هي:

يتم استبدال هذا التعبير في تعريف لحظة القصور الذاتي:

تشير المعادلة أعلاه إلى أن عزم القصور الذاتي للأسطوانة لا يعتمد على طولها ، بل على كتلتها ونصف قطرها فقط. إذا تغيرت L ، فإن لحظة القصور الذاتي حول المحور المحوري ستبقى كما هي. لهذا السبب ، أنا من الأسطوانة يتطابق مع القرص الرفيع المحسوب مسبقًا.

لحظة من القصور الذاتي للورقة المستطيلة بالنسبة إلى محور يمر عبر مركزها

تم اختيار المحور الصادي الأفقي كمحور الدوران. يوضح الشكل أدناه الهندسة المطلوبة لتنفيذ التكامل:

الشكل 7. الهندسة لحساب لحظة القصور الذاتي للوحة مستطيلة فيما يتعلق بمحور موازٍ للوح ويمر عبر مركزها. المصدر: F. Zapata.

عنصر المنطقة المميز باللون الأحمر مستطيل. مساحتها هي القاعدة × الارتفاع ، لذلك:

لذلك يكون فارق الكتلة هو:

أما بالنسبة للمسافة من عنصر المنطقة إلى محور الدوران ، فهي دائمًا z. نستبدل كل هذا في جزء لا يتجزأ من لحظة القصور الذاتي:

الآن يتم استبدال كثافة الكتلة السطحية بما يلي:

وهي بالتأكيد تبدو هكذا:

لاحظ أنه يشبه الشريط الرفيع.

لحظة القصور الذاتي للورقة المربعة بالنسبة لمحور يمر عبر مركزها

بالنسبة للمربع ذي الضلع L ، في التعبير السابق الصالح لمستطيل ، ببساطة استبدل قيمة b بقيمة L:

نظرية لحظة القصور الذاتي

هناك نوعان من النظريات المفيدة بشكل خاص لتبسيط حساب لحظات القصور الذاتي فيما يتعلق بالمحاور الأخرى ، والتي قد يكون من الصعب العثور عليها بسبب نقص التناظر. هذه النظريات هي:

نظرية شتاينر

تسمى أيضًا نظرية المحاور المتوازية ، وهي تربط لحظة القصور الذاتي بالنسبة إلى محور بآخر يمر عبر مركز كتلة الكائن ، طالما أن المحاور متوازية. لتطبيقه ، من الضروري معرفة المسافة D بين كلا المحورين وبالطبع الكتلة M للجسم.

دعني _أكون لحظة القصور الذاتي لشيء ممتد فيما يتعلق بالمحور z ، أنا أقوم _بتكوين لحظة القصور الذاتي فيما يتعلق بالمحور الذي يمر عبر مركز الكتلة (CM) للكائن المذكور ، فمن الصحيح أن:

أو في تدوين الشكل التالي: I _{z '} = I _z + Md ²

الشكل 8. نظرية شتاينر أو المحاور المتوازية. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. جاك سي

نظرية المحاور العمودية

يتم تطبيق هذه النظرية على الأسطح المستوية وتسير على النحو التالي: لحظة القصور الذاتي لجسم مستوٍ حول محور متعامد عليه هي مجموع لحظات القصور الذاتي حول محورين متعامدين على المحور الأول:

الشكل 9. نظرية المحاور العمودية. المصدر: F. Zapata.

إذا كان للكائن تناظر مثل I _x و I _y متساويان ، فمن الصحيح أن:

تمرين حل

ابحث عن لحظة القصور الذاتي للشريط فيما يتعلق بالمحور الذي يمر عبر أحد نهاياته ، كما هو موضح في الشكل 1 (أسفل وإلى اليمين) والشكل 10.

الشكل 10. لحظة القصور الذاتي لشريط متجانس حول محور يمر عبر أحد طرفيه. المصدر: F. Zapata.

المحلول:

لدينا بالفعل لحظة القصور الذاتي للشريط حول محور يمر عبر مركزه الهندسي. نظرًا لأن الشريط متجانس ، يكون مركز كتلته عند هذه النقطة ، لذلك سيكون هذا هو I _CM لتطبيق نظرية شتاينر.

إذا كان طول الشريط L ، فإن المحور z يقع على مسافة D = L / 2 ، لذلك:

المراجع

1. باور ، دبليو 2011. فيزياء الهندسة والعلوم. المجلد 1. ماك جراو هيل. 313-340
2. ريكس ، 2011. أساسيات الفيزياء. بيرسون. 190-200.
3. نظرية المحور المتوازي. تم الاسترجاع من: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway، R. 2018. الفيزياء للعلوم والهندسة. المجلد 1. Cengage.
5. جامعة اشبيلية. الجوامد الكروية لحظة القصور الذاتي. تم الاسترجاع من: laplace.us.es.
6. جامعة اشبيلية. لحظة القصور الذاتي لنظام الجسيمات. تم الاسترجاع من: laplace.us.es.
7. ويكيبيديا. نظرية المحور المتوازي. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org