و التباديل الدائرية هي أنواع مختلفة من التجمعات جميع عناصر مجموعة، عندما تكون ل يتم ترتيبها في الدوائر. في هذا النوع من التقليب ، يكون الترتيب مهمًا ولا تتكرر العناصر.
على سبيل المثال ، افترض أنك تريد معرفة عدد المصفوفات المميزة المكونة من أرقام من واحد إلى أربعة ، ووضع كل رقم في أحد رؤوس المعين. ستكون هذه 6 ترتيبات في المجموع:
لا ينبغي الخلط بين أن الرقم واحد في الموضع العلوي من المعين في جميع الحالات كوضع ثابت. لا تتغير التباديل الدائري بتناوب المصفوفة. فيما يلي تبديل واحد أو نفس التقليب:
العرض والصيغ
في مثال المصفوفات الدائرية المكونة من 4 أرقام والموجودة في رؤوس المعين ، يمكن العثور على عدد المصفوفات (6) على النحو التالي:
1- يتم أخذ أي من الأرقام الأربعة كنقطة بداية عند أي من الرؤوس ويتقدم إلى الرأس التالي. (لا يهم إذا تم تشغيله في اتجاه عقارب الساعة أو عكس اتجاه عقارب الساعة)
2- هناك 3 خيارات متبقية لتحديد الرأس الثاني ، ثم هناك خياران لتحديد الرأس الثالث ، وبالطبع هناك خيار اختيار واحد فقط للرأس الرابع.
3- وبالتالي ، يتم الحصول على عدد التباديل الدائري ، المشار إليه بالرمز (4-1) P (4-1) ، من خلال ناتج خيارات الاختيار في كل موضع:
(4-1) الفوسفور (4-1) = 3 * 2 * 1 = 6 مصفوفات دائرية مختلفة من 4 أرقام.
بشكل عام ، عدد التبديلات الدائرية التي يمكن تحقيقها باستخدام جميع العناصر n للمجموعة هو:
(ن - 1) الفوسفور (ن - 1) = (ن - 1)! = (ن - 1) (ن - 2)… (2) (1)
لاحظ أن (ن - 1)! يُعرف باسم مضروب n ويختصر ناتج جميع الأرقام من الرقم (ن - 1) إلى الرقم واحد ، شاملًا.
أمثلة
مثال 1
كم عدد الطرق المختلفة التي يجب أن يجلس بها 6 أشخاص على طاولة دائرية؟
تريد العثور على عدد من الطرق المختلفة التي يمكن أن يجلس بها 6 أشخاص حول طاولة مستديرة.
عدد طرق الجلوس = (6 - 1) ف (6 - 1) = (6 - 1)!
عدد طرق الجلوس = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 طريقة مختلفة
مثال 2
كم عدد الطرق المختلفة التي يجب على 5 أشخاص تحديد موقعهم فيها عند رؤوس البنتاغون؟
يتم البحث عن عدد الطرق التي يمكن من خلالها تحديد موقع 5 أشخاص عند كل رأس من رؤوس البنتاغون.
عدد الطرق التي يمكن تحديد موقعها = (5 - 1) P (5-1) = (5-1)!
عدد طرق تحديد الموقع = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 طريقة مختلفة
تمارين محلولة
- التمرين 1
صائغ يكتسب 12 حجرًا كريمًا مختلفًا ليضعها في نقاط الساعات على مدار الساعة التي يعدها نيابة عن منزل ملكي لدولة أوروبية.
أ) كم عدد الطرق المختلفة التي يجب أن يستخدمها لترتيب الأحجار على مدار الساعة؟
ب) كم عدد الأشكال المختلفة التي يمتلكها إذا كان الحجر الذي يصل إلى الساعة 12 فريدًا؟
ج) كم عدد الأشكال المختلفة إذا كان الحجر عند الساعة 12 فريدًا والحجارة في النقاط الأساسية الثلاثة الأخرى ، 3 و 6 و 9 ؛ هل هناك ثلاث أحجار معينة يمكن استبدالها وباقي الساعات يتم تخصيصها من باقي الأحجار؟
حلول
أ) عدد الطرق لترتيب جميع الأحجار على محيط الساعة مطلوب ؛ أي عدد الترتيبات الدائرية التي تشمل جميع الأحجار المتاحة.
عدد الترتيبات على الساعة = (12 - 1) ف (12 - 1) = (12 - 1)!
عدد الإصلاحات على مدار الساعة = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
عدد الترتيبات على الساعة = 39976800 أشكال مختلفة
ب) يتساءل عن عدد طرق الطلب المختلفة الموجودة ، مع العلم أن الحجر الموجود على مقبض الساعة 12 فريد وثابت ؛ أي عدد الترتيبات الدائرية التي تشمل الأحجار الـ 11 المتبقية.
عدد الترتيبات على الساعة = (11 - 1) ف (11 - 1) = (11 - 1)!
عدد الإصلاحات على مدار الساعة = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
عدد الترتيبات على مدار الساعة = 3628800 شكل مختلف
ج) أخيرًا ، يتم البحث عن عدد طرق ترتيب جميع الأحجار باستثناء حجر الساعة 12 المثبت ، والأحجار 3 و 6 و 9 التي تحتوي على 3 أحجار يتم تخصيصها لبعضها البعض ؛ هذا هو ، 3! إمكانيات الترتيب ، وعدد الترتيبات الدائرية التي تتضمن الأحجار الثمانية المتبقية.
عدد الإصلاحات في الساعة = 3! * = 3! * (8–1)!
عدد الترتيبات في الساعة = (3 * 2 * 1) (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
عدد الترتيبات على الساعة = 241920 شكل مختلف
- تمرين 2
تتكون اللجنة التوجيهية للشركة من 8 أعضاء ويجتمعون على طاولة بيضاوية.
أ) كم عدد الأشكال المختلفة للترتيب حول الطاولة التي تمتلكها اللجنة؟
ب) لنفترض أن الرئيس يجلس على رأس الطاولة في أي ترتيب للجنة ، ما هو عدد الأشكال المختلفة للترتيبات التي يمتلكها باقي أعضاء اللجنة؟
ج) افترض أن نائب الرئيس وسكرتير اللجنة يجلسان على جانبي الرئيس في أي ترتيب للجنة ، ما هو عدد الأشكال المختلفة للترتيبات التي يمتلكها باقي أعضاء اللجنة؟
حلول
أ) نريد إيجاد عدد من الطرق المختلفة لترتيب أعضاء اللجنة الـ 12 حول طاولة بيضاوية.
عدد ترتيبات اللجان = (12 - 1) ف (12 - 1) = (12 - 1)!
عدد ترتيبات اللجان = 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
عدد ترتيبات اللجان = 39976800 أشكال مختلفة
ب) نظرًا لأن رئيس اللجنة يقع في موقع ثابت ، يتم البحث عن عدد طرق طلب أعضاء اللجنة الأحد عشر المتبقين حول الطاولة البيضاوية.
عدد ترتيبات اللجان = (11 - 1) ف (11 - 1) = (11 - 1)!
عدد ترتيبات اللجان = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
عدد ترتيبات اللجان = 3،628،800 أشكال مختلفة
ج) يقع الرئيس في موقع ثابت وإلى الجانبين نائب الرئيس والسكرتير مع احتمالين للترتيب: نائب الرئيس على اليمين والسكرتير على اليسار أو نائب الرئيس على اليسار والسكرتير على اليمين. ثم تريد العثور على عدد من الطرق المختلفة لترتيب أعضاء اللجنة التسعة المتبقين حول طاولة بيضاوية وضربها في شكلي الترتيبات التي يمتلكها نائب الرئيس والسكرتير.
عدد ترتيبات اللجان = 2 * = 2 *
عدد ترتيبات اللجان = 2 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1)
عدد ترتيبات اللجان = 80640 أشكال مختلفة
المراجع
- بوادا ، أ. (2017). استخدام التقليب مع التكرار كتدريس للتجارب. مجلة فيفات أكاديميا. تعافى من researchgate.net.
- كانافوس ، ج. (1988). الاحتمال والاحصاء. التطبيقات والأساليب. ماكجرو هيل / Interamericana de México SA de CV
- زجاج ، جي ؛ ستانلي ، ج. (1996). الأساليب الإحصائية غير المطبقة في العلوم الاجتماعية. Prentice Hall Hispanoamericana SA
- شبيجل ، م. ستيفنس ، إل (2008). الإحصاء. الطبعة الرابعة. ماكجرو هيل / Interamericana de México SA
- والبول ، ر. مايرز ، ر. مايرز ، س. انتم ، كا. (2007). الاحتمالات والإحصاء للمهندسين والعلماء. الطبعة الثامنة. بيرسون للتعليم الدولي برنتيس هول.
- ويبستر ، أ. (2000). الإحصائيات المطبقة على الأعمال والاقتصاد. الطبعة الثالثة. ماكجرو هيل / إنترأمريكانا سا
- ويكيبيديا. (2019). التقليب. تعافى من en.wikipedia.org.