التباديل بدون تكرار: الصيغ ، الإثبات ، التمارين ، الأمثلة - دوداس - 2026

A التقليب دون تكرار عناصر n هو مجموعة مختلفة من العناصر المختلفة التي يمكن الحصول عليها من عدم تكرار أي عنصر، فقط بتغيير ترتيب وضع العناصر.

لمعرفة عدد التباديل دون تكرار ، يتم استخدام الصيغة التالية:

Pn = ن!

التي يتم توسيعها سيكون Pn = n! = ن (ن - 1) (ن - 2)… (2) (1).

لذلك في المثال العملي السابق سيتم تطبيقه على النحو التالي:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 رقمًا مختلفًا مكونًا من 4 أرقام.

هذه هي 24 مصفوفة في المجموع: 2468 ، 2486 ، 2648 ، 2684 ، 2846 ، 2864 ، 4268 ، 4286 ، 4628 ، 4682 ، 4826 ، 4862 ، 6248 ، 6284 ، 6428 ، 6482 ، 6824 ، 6842 ، 8246 ، 8264 ، 8426 ، 8462 ، 8624 ، 8642.

كما يتضح ، لا يوجد تكرار على أي حال ، حيث يوجد 24 رقمًا مختلفًا.

العرض والصيغ

24 ترتيب من 4 شخصيات مختلفة

سنقوم بتحليل بشكل أكثر تحديدًا مثال 24 ترتيبًا مكونًا من 4 أرقام مختلفة يمكن تشكيلها بأرقام الرقم 2468. يمكن معرفة عدد الترتيبات (24) على النحو التالي:

لديك 4 خيارات لتحديد الرقم الأول ، والذي يترك 3 خيارات لتحديد الثاني. تم بالفعل تعيين رقمين ويبقى خياران لاختيار الرقم الثالث. الرقم الأخير لديه خيار اختيار واحد فقط.

لذلك ، يتم الحصول على عدد التباديل ، المشار إليه بواسطة P4 ، بواسطة منتج خيارات التحديد في كل موضع:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 رقمًا مختلفًا مكونًا من 4 أرقام

بشكل عام ، عدد التباديل أو الترتيبات المختلفة التي يمكن إجراؤها مع جميع العناصر n لمجموعة معينة هو:

Pn = ن! = ن (ن - 1) (ن - 2)… (2) (1)

التعبير ن! يُعرف باسم مضروب n ويعني ناتج جميع الأعداد الطبيعية التي تقع بين الرقم n والرقم واحد ، بما في ذلك كليهما.

12 ترتيب لشخصين مختلفين

لنفترض الآن أنك تريد معرفة عدد التباديل أو الأرقام المكونة من رقمين التي يمكن تكوينها بأرقام الرقم 2468.

ستكون هذه 12 ترتيبًا في المجموع: 24 ، 26 ، 28 ، 42 ، 46 ، 48 ، 62 ، 64 ، 68 ، 82 ، 84 ، 86

لديك 4 خيارات لتحديد الرقم الأول ، والذي يترك 3 أرقام لتحديد الثاني. لذلك ، يتم الحصول على عدد التباديل للأرقام الأربعة المأخوذة من اثنين إلى اثنين ، والمشار إليها بالرمز 4P2 ، من خلال منتج خيارات التحديد في كل موضع:

4P2 = 4 * 3 = 12 رقمًا مختلفًا مكونًا من رقمين

بشكل عام ، فإن عدد التبديلات أو الترتيبات المختلفة التي يمكن إجراؤها باستخدام عناصر r لـ n في مجموعة معينة هو:

nPr = n (n - 1) (n - 2)…

يتم اقتطاع التعبير أعلاه قبل تشغيل n! لإكمال ن! نكتب منها:

ن! = ن (ن - 1) (ن - 2)… (س - ص)… (2) (1)

العوامل التي نضيفها بدورها تمثل عاملاً:

(ن - ص)… (2) (1) = (ن - ص)!

وهكذا ،

ن! = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)… (2) (1) = n (n - 1) (n - 2)… (n - r)!

من هنا

ن! / (س - ص)! = n (n - 1) (n - 2)… = nPr

أمثلة

مثال 1

كم عدد مجموعات الأحرف المختلفة المكونة من 5 أحرف التي يمكن إنشاؤها باستخدام أحرف الكلمة KEY؟

نريد العثور على عدد مجموعات الحروف المختلفة المكونة من 5 أحرف والتي يمكن إنشاؤها باستخدام الأحرف الخمسة للكلمة KEY ؛ أي عدد المصفوفات المكونة من 5 أحرف والتي تتضمن جميع الأحرف المتوفرة في الكلمة KEY.

عدد كلمات الحروف الخمسة = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 مجموعة أحرف مختلفة مكونة من 5 أحرف.

ستكون هذه: CLAVE و VELAC و LCAEV و VLEAC و ECVLAC… ما يصل إلى 120 مجموعة حروف مختلفة في المجموع.

مثال 2

لديك 15 كرة مرقمة وتريد أن تعرف كم عدد المجموعات المختلفة المكونة من 3 كرات التي يمكن بناؤها باستخدام 15 كرة مرقمة؟

تريد العثور على عدد المجموعات المكونة من 3 كرات التي يمكن صنعها باستخدام 15 كرة مرقمة.

عدد المجموعات المكونة من 3 كرات = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

عدد مجموعات 3 كرات = 15 * 14 * 13 = 2730 مجموعة من 3 كرات

تمارين محلولة

التمرين 1

يحتوي متجر الفاكهة على منصة عرض تتكون من صف من المقصورات الموجودة في صالة مدخل المبنى. في يوم واحد ، يكتسب بائع الخضار للبيع: البرتقال والموز والأناناس والكمثرى والتفاح.

أ) كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك طلب جناح العرض بها؟

ب) كم عدد الطرق المختلفة التي يمكنك طلب الجناح بها إذا تلقيت في ذلك اليوم بالإضافة إلى الفواكه المذكورة (5): المانجو والخوخ والفراولة والعنب (4)؟

أ) نريد إيجاد عدد من الطرق المختلفة لترتيب جميع الفواكه في صف العرض ؛ أي عدد ترتيبات 5 أصناف فواكه تشمل جميع الفواكه المتاحة للبيع في ذلك اليوم.

عدد ترتيبات الحامل = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

عدد ترتيبات الأجنحة = 120 طريقة لتقديم المنصة

ب) نريد إيجاد عدد من الطرق المختلفة لطلب جميع الفاكهة في صف العرض إذا تمت إضافة 4 عناصر إضافية ؛ أي عدد ترتيبات 9 أصناف فواكه تشمل جميع الفواكه المتاحة للبيع في ذلك اليوم.

عدد ترتيبات الحامل = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

عدد ترتيبات الأجنحة = 362،880 طريقة لعرض الجناح

تمرين 2

منفذ طعام صغير يحتوي على قطعة أرض بها مساحة كافية لإيقاف 6 سيارات.

أ) كم عدد الطرق المختلفة لطلب المركبات في قطعة الأرض التي يمكن اختيارها؟

ب) لنفترض أنه تم الحصول على قطعة أرض متجاورة تسمح أبعادها بإيقاف 10 سيارات. كم عدد الأشكال المختلفة لترتيب المركبات التي يمكن اختيارها الآن؟

أ) نريد معرفة عدد الطرق المختلفة لطلب المركبات الست التي يمكن وضعها في قطعة الأرض.

عدد ترتيبات 6 مركبات = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

عدد ترتيبات 6 مركبات = 720 طريقة مختلفة لطلب 6 مركبات في قطعة الأرض.

ب) نريد معرفة عدد الطرق المختلفة لطلب المركبات العشر التي يمكن وضعها في قطعة الأرض بعد توسيع قطعة الأرض.

عدد ترتيبات 10 مركبات = P10 = 10!

عدد ترتيبات المركبة = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

عدد الترتيبات الخاصة بـ 10 مركبات = 3،628،800 طريقة مختلفة لطلب 10 مركبات في قطعة الأرض.

التمرين 3

بائع الزهور لديه زهور من 6 ألوان مختلفة لصنع أعلام الأزهار للدول التي تحتوي على 3 ألوان فقط. إذا كان معروفًا أن ترتيب الألوان مهم في الأعلام ،

أ) كم عدد الأعلام المختلفة المكونة من 3 ألوان التي يمكن صنعها باستخدام الألوان الستة المتاحة؟

ب) اشترى البائع زهورًا من لونين إضافيين إلى الألوان الستة التي كان يمتلكها بالفعل ، فما عدد الأعلام المختلفة المكونة من 3 ألوان التي يمكن صنعها؟

ج) نظرًا لأن لديك 8 ألوان ، فقد قررت توسيع نطاق الأعلام الخاصة بك. كم عدد الأعلام ذات الأربعة ألوان المختلفة التي يمكنك صنعها؟

د) كم عدد 2 لون؟

أ) نريد العثور على عدد الأعلام المختلفة المكونة من 3 ألوان التي يمكن إجراؤها عن طريق الاختيار من بين الألوان الستة المتاحة.

عدد الأعلام ذات الألوان الثلاثة = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

عدد أعلام 3 ألوان = 6 * 5 * 4 = 120 علم

ب) تريد العثور على عدد الأعلام المختلفة المكونة من 3 ألوان والتي يمكن إجراؤها بالاختيار من بين الألوان الثمانية المتاحة.

عدد الأعلام ذات الألوان الثلاثة = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

عدد الأعلام ذات الألوان الثلاثة = 8 * 7 * 6 = 336 علمًا

ج) يجب حساب عدد الأعلام ذات الأربعة ألوان المختلفة التي يمكن إجراؤها عن طريق الاختيار من بين الألوان الثمانية المتاحة.

عدد الأعلام ذات 4 ألوان = 8P4 = 8! / (8-4)!

عدد الأعلام ذات 4 ألوان = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 علم

د) تريد تحديد عدد الأعلام ذات اللونين المختلفين التي يمكن إجراؤها بالاختيار من بين الألوان الثمانية المتاحة.

عدد الأعلام ذات اللونين = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

عدد الأعلام ذات اللونين = 8 * 7 = 56 علم

المراجع

1. بوادا ، أ. (2017). استخدام التقليب مع التكرار كتدريس للتجارب. مجلة فيفات أكاديميا. تعافى من researchgate.net.
2. كانافوس ، ج. (1988). الاحتمال والاحصاء. التطبيقات والأساليب. ماكجرو هيل / Interamericana de México SA de CV
3. زجاج ، جي ؛ ستانلي ، ج. (1996). الأساليب الإحصائية غير المطبقة في العلوم الاجتماعية. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. شبيجل ، م. ستيفنس ، إل (2008). الإحصاء. الطبعة الرابعة. ماكجرو هيل / Interamericana de México SA
5. والبول ، ر. مايرز ، ر. مايرز ، س. انتم ، كا. (2007). الاحتمالات والإحصاء للمهندسين والعلماء. الطبعة الثامنة. بيرسون للتعليم الدولي برنتيس هول.
6. ويبستر ، أ. (2000). الإحصائيات المطبقة على الأعمال والاقتصاد. الطبعة الثالثة. ماكجرو هيل / إنترأمريكانا سا
7. (2019). التقليب. تعافى من en.wikipedia.org.