الاحتمال النظري: كيفية الحصول عليه ، أمثلة ، تمارين - دوداس - 2026

و النظري (أو لابلاس) احتمال أن E الحدث يحدث أن ينتمي إلى S فضاء العينة، فيها جميع الأحداث لها نفس احتمال وقوع، ويعرف في التدوين الرياضي على النحو التالي: P (E) = ن (E) / N (S)

حيث P (E) هو الاحتمال ، المعطى كحاصل بين العدد الإجمالي للنتائج المحتملة للحدث E ، والذي نسميه n (E) ، مقسومًا على العدد الإجمالي N (S) من النتائج المحتملة في مساحة العينة S.

الشكل 1. في رمي نرد سداسي الأضلاع ، يكون الاحتمال النظري لوجود الرأس ثلاثي النقاط في الأعلى ⅙. المصدر: Pixabay.

الاحتمال النظري هو رقم حقيقي بين 0 و 1 ، ولكن غالبًا ما يتم التعبير عنه كنسبة مئوية ، وفي هذه الحالة يكون الاحتمال قيمة بين 0٪ و 100٪.

يعد حساب احتمال وقوع حدث مهمًا جدًا في العديد من المجالات ، مثل التجارة وشركات التأمين والمقامرة وغيرها الكثير.

كيف نحصل على الاحتمال النظري؟

حالة توضيحية هي حالة السحوبات أو اليانصيب. لنفترض أنه تم إصدار 1000 تذكرة لسحب هاتف ذكي. نظرًا لأن السحب يتم بشكل عشوائي ، فإن أي من التذاكر لديها فرصة متساوية للفوز.

للعثور على احتمال أن يكون الشخص الذي يشتري تذكرة برقم 81 فائزًا ، يتم إجراء حساب الاحتمال النظري التالي:

الفوسفور (1) = 1 / 1،000 = 0.001 = 0.1٪

يتم تفسير النتيجة أعلاه على النحو التالي: إذا تكرر السحب بلا حدود عدة مرات ، فسيتم اختيار كل 1000 مرة تذكرة 81 مرة واحدة في المتوسط.

إذا حصل شخص ما لسبب ما على جميع التذاكر ، فمن المؤكد أنه سيفوز بالجائزة. يتم احتساب احتمالية الفوز بالجائزة إذا كان لديك جميع التذاكر على النحو التالي:

P (1،000) = 1،000 / 1،000 = 1 = 100٪.

أي أن الاحتمال 1 أو 100٪ يعني أنه من المؤكد تمامًا أن هذه النتيجة ستحدث.

إذا كان شخص ما يمتلك 500 تذكرة ، فإن فرص الفوز أو الخسارة هي نفسها. يتم احتساب الاحتمال النظري للفوز بالجائزة في هذه الحالة على النحو التالي:

P (500) = 500 / 1،000 = = 0.5 = 50٪.

من لا يشتري أي تذكرة ليس لديه فرصة للفوز ويتم تحديد احتماله النظري على النحو التالي:

ف (0) = 0 / 1،000 = 0 = 0٪

أمثلة

مثال 1

لديك عملة معدنية بوجه من جانب ودرع أو ختم على الجانب الآخر. عندما يتم رمي العملة المعدنية ، ما هو الاحتمال النظري لظهورها بشكل واضح؟

P (الوجه) = n (الوجه) / N (الوجه + الدرع) = ½ = 0.5 = 50٪

يتم تفسير النتيجة على النحو التالي: إذا تم إجراء عدد كبير من الرميات ، في المتوسط ​​، في كل رميتين ، سيظهر أحدهم رأساً على عقب.

من حيث النسبة المئوية ، تفسير النتيجة هو أنه من خلال إجراء عدد لا نهائي من الرميات ، في المتوسط ​​من أصل 100 منهم ، فإن 50 سيؤدي إلى ظهور الوجه.

مثال 2

يوجد في الصندوق 3 كرات زجاجية زرقاء ، 2 كرات حمراء و 1 خضراء. ما هو الاحتمال النظري أنه عندما تأخذ قطعة من الرخام من الصندوق فإنها ستكون حمراء؟

الشكل 2. احتمال استخراج الرخام الملون. المصدر: F. Zapata.

احتمالية ظهوره باللون الأحمر هو:

P (أحمر) = عدد الحالات المواتية / عدد الحالات المحتملة

ذلك بالقول:

P (أحمر) = عدد الكرات الحمراء / إجمالي عدد الكرات

أخيرًا ، احتمال رسم الرخام الأحمر هو:

P (أحمر) = 2/6 = ⅓ = 0.3333 = 33.33٪

في حين أن احتمال أن يكون عند رسم الرخام الأخضر:

P (أخضر) = = 0.1666 = 16.66٪

أخيرًا ، الاحتمال النظري للحصول على رخام أزرق في استخراج أعمى هو:

P (أزرق) = 3/6 = ½ = 0.5 = 50٪

أي أنه مقابل كل محاولتين ، ستكون النتيجة باللون الأزرق في إحداها ولون آخر في محاولة أخرى ، على أساس أن الرخام المستخرج يتم استبداله وأن عدد المحاولات كبير جدًا جدًا.

تمارين

التمرين 1

حدد احتمال حصول دحرجة حجر على قيمة أقل من أو تساوي 4.

المحلول

لحساب احتمال حدوث هذا الحدث ، سيتم تطبيق تعريف الاحتمال النظري:

P (≤4) = عدد الحالات المواتية / عدد الحالات المحتملة

الفوسفور (≤5) = 5/6 = = 83.33٪

تمرين 2

أوجد احتمال قيام 5 رميتين متتاليتين لنرد سداسي الجوانب بالتدحرج مرتين.

المحلول

للإجابة على هذا التمرين ، ضع جدولاً يوضح كل الاحتمالات. يشير الرقم الأول إلى نتيجة النرد الأول والثاني يشير إلى نتيجة الآخر.

لحساب الاحتمال النظري نحتاج إلى معرفة العدد الإجمالي للحالات المحتملة ، في هذه الحالة ، كما يتضح من الجدول السابق ، هناك 36 احتمالًا.

من خلال ملاحظة الجدول أيضًا ، يُستنتج أن عدد الحالات المواتية للحدث الذي يخرج 5 حالات في عمليتي إطلاق متتاليتين هو 1 فقط ، مظلل بالألوان ، وبالتالي فإن احتمال حدوث هذا الحدث هو:

الفوسفور (5 × 5) = 1/36.

كان من الممكن أيضًا الوصول إلى هذه النتيجة باستخدام إحدى خصائص الاحتمال النظري ، والتي تنص على أن الاحتمال المشترك لحدثين مستقلين هو نتاج احتمالاتهما الفردية.

في هذه الحالة ، يكون احتمال أن تتدحرج الرمية الأولى 5 هو ⅙. القرعة الثانية مستقلة تمامًا عن الأولى ، وبالتالي فإن احتمال أن تتدحرج 5 في الثانية هو أيضًا ⅙. لذا فإن الاحتمال المجمع هو:

الفوسفور (5 × 5) = الفوسفور (5) الفوسفور (5) = (1/6) (1/6) = 1/36.

التمرين 3

أوجد احتمال ظهور رقم أقل من 2 في الرمية الأولى ورقم أكبر من 2 في الثانية.

المحلول

مرة أخرى ، يجب بناء جدول للأحداث المحتملة ، حيث يتم تسطير الأحداث التي كانت فيها الرمية الأولى أقل من 2 وفي الثانية أكبر من 2.

في المجموع ، هناك 4 احتمالات من إجمالي 36. أي أن احتمال هذا الحدث هو:

P (<2 ؛> 2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11.11٪

باستخدام نظرية الاحتمالية التي تنص على:

يتم الحصول على نفس النتيجة:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 = 11.11٪

تتطابق القيمة التي تم الحصول عليها من هذا الإجراء مع النتيجة السابقة ، عن طريق التعريف النظري أو الكلاسيكي للاحتمال.

التمرين 4

ما هو احتمال أن يكون مجموع القيم عند رمي نردتين 7.

المحلول

للعثور على الحل في هذه الحالة ، تم وضع جدول احتمالات تم فيه الإشارة إلى الحالات التي تفي بشرط أن يكون مجموع القيم 7 باللون.

بالنظر إلى الجدول ، يمكن حساب 6 حالات محتملة ، وبالتالي فإن الاحتمال هو:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0.1666 = 16.66٪

المراجع

1. Canavos، G. 1988. الاحتمالية والإحصاء: التطبيقات والأساليب. ماكجرو هيل.
2. Devore، J. 2012. الاحتمالية والإحصاء للهندسة والعلوم. الثامن. الإصدار. سينجاج.
3. Lipschutz، S. 1991. سلسلة Schaum: الاحتمالية. ماكجرو هيل.
4. Obregón، I. 1989. نظرية الاحتمال. التحرير ليموزا.
5. والبول ، ر. 2007. الاحتمالات والإحصاء للهندسة والعلوم. بيرسون.