و خلاصة القول ريمان هو الاسم الذي يطلق على حساب تقريبي من التكامل المحدود، عن طريق الجمع المنفصل مع عدد محدود من الشروط. التطبيق الشائع هو تقريب منطقة الوظائف على الرسم البياني.
كان عالم الرياضيات الألماني جورج فريدريش برنارد ريمان (1826-1866) هو أول من قدم تعريفًا صارمًا لتكامل الوظيفة في فترة زمنية معينة. أعلن ذلك في مقال نُشر عام 1854.
الشكل 1. مجموع ريمان مُعرَّف على دالة f وعلى قسم في الفترة. المصدر: فاني زاباتا.
يتم تحديد مجموع Riemann في دالة y = f (x) ، حيث تنتمي x إلى الفترة المغلقة. في هذا الفاصل الزمني ، يتم عمل قسم P لعناصر n:
P = {x 0 = a، x 1 ، x 2 ،…، x n = b}
هذا يعني أن الفاصل الزمني مقسم على النحو التالي:
س ك -1 ≤ t ك ≤ س ك
يوضح الشكل 1 بيانياً مجموع ريمان للدالة f في الفاصل الزمني على قسم من أربعة فترات فرعية ، المستطيلات الرمادية.
يمثل المجموع المساحة الكلية للمستطيلات ونتيجة هذا المجموع تقترب عدديًا من المنطقة الواقعة تحت المنحنى f ، بين الحد الفاصل x = x 0 و x = x 4.
بالطبع ، يتحسن التقريب إلى المنطقة الواقعة أسفل المنحنى بشكل كبير حيث أن عدد الأقسام n أكبر. بهذه الطريقة يتقارب المجموع مع المنطقة الواقعة أسفل المنحنى ، عندما يميل عدد الأقسام n إلى اللانهاية.
الصيغ والخصائص
مجموع ريمان للوظيفة f (x) على القسم:
P = {x 0 = a، x 1 ، x 2 ،…، x n = b}
يتم تعريفه على مدار الفترة الزمنية ، ويتم تقديمه بواسطة:
S (P، f) = ∑ k = 1 n f (t k) (x k - x k-1)
حيث t k قيمة في الفترة. في مجموع Riemann ، يتم استخدام فترات منتظمة للعرض Δx = (b - a) / n ، حيث a و b هما الحد الأدنى والأقصى لقيم الإحداثي ، بينما n هو عدد التقسيمات الفرعية.
في هذه الحالة يكون المبلغ الصحيح لريمان هو:
SD (و ، ن) = * Δx
الشكل 2. ريمان المبلغ الصحيح. المصدر: ويكيميديا كومنز. 09 غلاسكو 09.
بينما يتم التعبير عن مجموع ريمان المتبقي على النحو التالي:
إذا (و ، ن) = * Δx
الشكل 3. مجموع ريمان الأيسر. المصدر: ويكيميديا كومنز. 09 غلاسكو 09
أخيرًا مجموع ريمان المركزي هو:
Original text
Sc (f ، n) = * Δx
الشكل 4. متوسط ريمان المبلغ. المصدر: ويكيميديا كومنز. 09 غلاسكو 09
اعتمادًا على مكان النقطة t k في الفاصل الزمني ، يمكن لمجموع Riemann أن يبالغ أو يقلل من القيمة الدقيقة للمنطقة الواقعة أسفل منحنى الوظيفة y = f (x). بمعنى آخر ، يمكن أن تبرز المستطيلات من المنحنى أو أن تكون أسفله قليلاً.
المنطقة الواقعة تحت المنحنى
الخاصية الرئيسية لمجموع ريمان والتي تُستمد منها أهميته ، هي أنه إذا كان عدد التقسيمات الفرعية يميل إلى اللانهاية ، فإن نتيجة المجموع تتقارب مع التكامل المحدد للوظيفة:
تمارين محلولة
- التمرين 1
احسب قيمة التكامل المحدد بين أ = -2 إلى ب = +2 للدالة:
و (س) = س 2
استفد من مبلغ ريمان. للقيام بذلك ، ابحث أولاً عن مجموع n من الأقسام المنتظمة للفاصل الزمني ، ثم خذ الحد الرياضي للحالة التي يميل فيها عدد الأقسام إلى اللانهاية.
المحلول
هذه هي الخطوات التي يجب اتباعها:
-أولاً ، يتم تعريف الفاصل الزمني للقسم على أنه:
Δx = (ب - أ) / ن.
- ثم يبدو مجموع ريمان الصحيح المقابل للوظيفة f (x) كما يلي:
- وبعد ذلك يتم استبداله بعناية في الجمع:
-الخطوة التالية هي فصل المبالغ وأخذ الكميات الثابتة كعامل مشترك لكل مجموع. من الضروري مراعاة أن المؤشر هو i ، وبالتالي فإن الأرقام والمصطلحات التي تحتوي على n تعتبر ثابتة:
- يتم تقييم كل مجموع ، حيث يوجد لكل منها تعبيرات مناسبة. على سبيل المثال ، يعطي أول المجموع n:
- أخيرًا ، التكامل المطلوب حسابه هو:
يمكن للقارئ التحقق من أن هذه هي النتيجة الدقيقة ، والتي يمكن الحصول عليها من خلال حل التكامل غير المحدد وتقييم حدود التكامل بواسطة قاعدة بارو.
- تمرين 2
تحديد المنطقة الواقعة تحت الوظيفة تقريبًا:
و (س) = (1 / √ (2π)) ه (-x 2 /2)
أدخل x = -1 و x = + 1 ، باستخدام مجموع Riemann المركزي مع 10 أقسام. قارن مع النتيجة الدقيقة وقدر الفرق بالنسبة المئوية.
المحلول
الخطوة أو الزيادة بين قيمتين منفصلتين متتاليتين هي:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0.2
لذا فإن القسم P الذي تم تعريف المستطيلات عليه يبدو كما يلي:
P = {-1.0 ؛ -0.8 ؛ -0.6 ؛ -0.4 ؛ -0.2 ؛ 0.0 ؛ 0.2 ؛ 0.4 ؛ 0.6 ؛ 0.8 ؛ 1.0}
ولكن بما أن ما هو مطلوب هو المجموع المركزي ، فسيتم تقييم الوظيفة f (x) عند نقاط منتصف الفترات الفرعية ، أي في المجموعة:
T = {-0.9 ، -0.7 ؛ -0.5 ؛ -0.3 ؛ -0.1 ؛ 0.1 ؛ 0.3 ؛ 0.5 ؛ 0.7 ؛ 0.9}.
يبدو مجموع ريمان (المركزي) كالتالي:
S = f (-0.9) * 0.2 + f (-0.7) * 0.2 + f (-0.5) * 0.2 +… + f (0.7) * 0.2 + f (0.9) * 0.2
نظرًا لأن الوظيفة f متماثلة ، فمن الممكن تقليل المجموع إلى 5 حدود فقط ويتم ضرب النتيجة في اثنين:
S = 2 * 0.2 * {f (0.1) + f (0.3) + f (0.5) + f (0.7) + f (0.9)}
S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683
الوظيفة الواردة في هذا المثال ليست سوى الجرس الغاوسي المعروف (المقيس ، بمتوسط يساوي الصفر والانحراف المعياري واحد). من المعروف أن المنطقة الواقعة أسفل المنحنى في الفترة الزمنية لهذه الدالة تساوي 0.6827.
الشكل 5. المساحة الواقعة تحت جرس غاوسي تقترب من مجموع ريمان. المصدر: F. Zapata.
هذا يعني أن الحل التقريبي المكون من 10 حدود فقط يطابق الحل الدقيق بثلاث منازل عشرية. النسبة المئوية للخطأ بين التكامل التقريبي والدقيق 0.07٪.
المراجع
- Casteleiro ، JM ، & Gómez-lvarez ، RP (2002). حساب التفاضل والتكامل (إيضاح مصور). مدريد: افتتاحية ESIC.
- يونيكان. تاريخ مفهوم التكامل. تم الاسترجاع من: repositorio.unican.es
- معهد اليونسكو للإحصاء. مبالغ ريمان. تم الاسترجاع من: matematicas.uis.edu.co
- ويكيبيديا. مجموع ريمان. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
- ويكيبيديا. تكامل ريمان. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com