المثلثات: التاريخ ، العناصر ، التصنيف ، الخصائص - علم - 2026

و مثلثات مسطحة وأغلقت الأشكال الهندسية، ويتألف من ثلاث جهات. يتم تحديد المثلث بثلاثة خطوط تتقاطع مع اثنين في اثنين ، وتشكل ثلاث زوايا مع بعضها البعض. الشكل الثلاثي ، المليء بالرمزية ، موجود في أشياء لا حصر لها وكعنصر من عناصر البناء.

ضاع أصل المثلث في التاريخ. من الأدلة الأثرية من المعروف أن البشرية البدائية كانت تعرفها جيدًا ، حيث تؤكد البقايا الأثرية أنها كانت تستخدم في الأدوات والأسلحة.

الشكل 1. مثلثات. المصدر: Publicdomainpictures.

من الواضح أيضًا أن قدماء المصريين امتلكوا معرفة قوية بالهندسة وخاصة الشكل المثلثي. وقد انعكست في العناصر المعمارية لمبانيها الضخمة.

ستجد في بردية Rhind صيغًا لحساب مناطق المثلثات وشبه المنحرف ، بالإضافة إلى بعض المجلدات والمفاهيم الأخرى لعلم المثلثات البدائية.

من جانبهم ، من المعروف أن البابليين تمكنوا من حساب مساحة المثلث والأشكال الهندسية الأخرى التي استخدموها لأغراض عملية ، مثل تقسيمات الأرض. كما كانوا على دراية بالعديد من خصائص المثلثات.

ومع ذلك ، كان الإغريق القدماء هم من نظموا العديد من المفاهيم الهندسية السائدة اليوم ، على الرغم من أن الكثير من هذه المعرفة لم يكن حصريًا ، حيث تم تقاسمها بالتأكيد مع هذه الحضارات القديمة الأخرى.

عناصر المثلث

يشار إلى عناصر أي مثلث في الشكل التالي. هناك ثلاثة: الرؤوس والجوانب والزوايا.

الشكل 2. تدوين المثلثات وعناصرها. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز ، تم تعديله بواسطة F. Zapata

-الرؤوس: هي نقاط تقاطع الخطوط التي تحدد أجزائها المثلث. في الشكل أعلاه ، على سبيل المثال ، يتقاطع السطر L _AC الذي يحتوي على المقطع AC ، مع الخط L _AB الذي يحتوي على المقطع AB بدقة عند النقطة A.

- الجوانب: بين كل زوج من الرؤوس ، يتم رسم قطعة مستقيمة تشكل أحد جوانب المثلث. يمكن الإشارة إلى هذا المقطع بأحرف النهاية أو باستخدام حرف معين لتسميته. في مثال الشكل 2 ، يسمى الجانب AB أيضًا "c".

- الزوايا: بين كل ضلع برأس مشترك تنشأ زاوية يتطابق رأسها مع رأس المثلث. بشكل عام ، يُرمز إلى الزاوية بحرف يوناني ، كما هو مذكور في البداية.

لإنشاء مثلث معين ، له شكل وحجم محددين ، ما عليك سوى الحصول على واحدة من مجموعات البيانات التالية:

- الأضلاع الثلاثة واضحة تمامًا في حالة المثلث.

- وجهان والزاوية بينهما وعلى الفور يتم رسم الجانب المتبقي.

- زاويتان (داخليتان) والجانب بينهما. بالتمديد ، يتم رسم الجانبين المفقودين والمثلث جاهز.

الرموز

بشكل عام في تدوين المثلث ، يتم استخدام الاصطلاحات التالية: يشار إلى الرؤوس بأحرف لاتينية كبيرة ، والجوانب بحروف لاتينية صغيرة ، والزوايا بأحرف يونانية (انظر الشكل 2).

بهذه الطريقة يتم تسمية المثلث وفقًا لرؤوسه. على سبيل المثال ، المثلث الموجود على اليسار في الشكل 2 هو المثلث ABC ، ​​والمثلث الموجود على اليمين هو المثلث A'B'C '.

من الممكن أيضًا استخدام رموز أخرى ؛ على سبيل المثال ، يُشار إلى الزاوية α في الشكل 2 على أنها BAC. لاحظ أن حرف الرأس يذهب إلى المنتصف وأن الحروف مكتوبة في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة.

في أوقات أخرى ، يتم استخدام علامة الإقحام للإشارة إلى الزاوية:

α = ∠A

أنواع المثلثات

هناك عدة معايير لتصنيف المثلثات. الشيء الأكثر شيوعًا هو تصنيفها وفقًا لقياس جوانبها أو وفقًا لقياس زواياها. اعتمادًا على قياس جوانبها ، يمكن أن تكون المثلثات: سلالم ، متساوي الساقين أو متساوية الأضلاع:

-Scaleno: جوانبها الثلاثة مختلفة.

-الساقين: ضلعان متساويان وضلع واحد مختلف.

-إيكويلاتيرو: الأطراف الثلاثة متساوية.

الشكل 3. تصنيف المثلثات من جوانبها. المصدر: F. Zapata

وفقًا لقياس زواياها ، يتم تسمية المثلثات على النحو التالي:

- انسداد إذا كانت إحدى الزوايا الداخلية أكبر من 90 درجة.

- الزاوية الحادة ، عندما تكون الزوايا الداخلية الثلاثة للمثلث حادة ، أي أقل من 90 درجة

- المستطيل إذا كانت إحدى زواياه الداخلية تساوي 90 درجة. الأضلاع التي تشكل 90 درجة تسمى الأرجل والضلع المقابل للزاوية القائمة هو الوتر.

الشكل 4. تصنيف المثلثات بزواياها الداخلية. المصدر: F. Zapata.

تطابق المثلثات

عندما يكون لمثلثين نفس الشكل والحجم نفسه ، يقال إنهما متطابقان. بالطبع التطابق مرتبط بالمساواة ، فلماذا تتحدث الهندسة عن "مثلثين متطابقين" بدلاً من "مثلثين متساويين"؟

حسنًا ، يُفضل استخدام مصطلح "التطابق" للتمسك بالحقيقة ، حيث يمكن أن يكون لمثلثين نفس الشكل والحجم ، ولكن يمكن توجيههما بشكل مختلف في المستوى (انظر الشكل 3). من وجهة نظر الهندسة ، لن يكونوا متشابهين تمامًا.

الشكل 5. مثلثات متطابقة ، ولكن ليست بالضرورة متساوية ، لأن اتجاهها في المستوى مختلف. المصدر: F. Zapata.

معايير التطابق

يتطابق المثلثان في حالة حدوث أي مما يلي:

- الجوانب الثلاثة تقيس نفس الشيء (مرة أخرى هذا هو الأكثر وضوحًا).

- لهما وجهان متطابقان وبنفس الزاوية بينهما.

- كلاهما له زاويتان داخليتان متطابقتان والجانب بين هذه الزوايا يقيس نفسه

كما يمكن أن نرى ، يتعلق الأمر باستيفاء المثلثين للشروط اللازمة بحيث يكون شكلهما وحجمهما متماثلين تمامًا عند بنائهما.

تعتبر معايير التطابق مفيدة للغاية ، لأنه في الممارسة العملية ، يجب تصنيع عدد لا يحصى من القطع والأجزاء الميكانيكية في سلسلة ، بحيث تكون قياساتها وشكلها متماثلًا تمامًا.

تشابه المثلثات

يشبه المثلث الآخر إذا كان لهما نفس الشكل ، حتى لو كانا بأحجام مختلفة. للتأكد من أن الشكل هو نفسه ، يجب أن يكون للزوايا الداخلية نفس القيمة وأن تكون الأضلاع متناسبة.

الشكل (6): مثلثين متشابهين: أحجامهما مختلفة ولكن نسبهما واحدة. المصدر: F. Zapata.

تتشابه المثلثات في الشكل 2 أيضًا ، كما هو الحال في الشكل 6. بهذه الطريقة:

بالنسبة للجوانب ، فإن نسب التشابه التالية تثبت:

الخصائص

الخصائص الأساسية للمثلثات هي كما يلي:

- مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث دائمًا 180 درجة.

- بالنسبة لأي مثلث مجموع زواياه الخارجية يساوي 360 درجة.

- الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المتجاورتين للزاوية المذكورة.

نظريات

نظرية طاليس الأولى

تُنسب إلى الفيلسوف اليوناني وعالم الرياضيات طاليس من ميليتس ، الذي طور العديد من النظريات المتعلقة بالهندسة. أولهم ما يلي:

الشكل 7. نظرية طاليس. المصدر: F. Zapata.

بعبارات أخرى:

أ / أ´ = ب / ب´ = ج / ج´

تنطبق نظرية تاليس الأولى على مثلث ، على سبيل المثال لدينا المثلث الأزرق ABC على اليسار ، والمقطع بواسطة المتوازيات الحمراء على اليمين:

الشكل 8. نظرية طاليس والمثلثات المماثلة.

يشبه المثلث البنفسجي AB'C 'المثلث الأزرق ABC ، ​​لذلك ، وفقًا لنظرية طاليس ، يمكن كتابة ما يلي:

AB´ / AC´ = AB / AC

وذلك وفقاً لما تم شرحه سابقاً في مقطع تشابه المثلثات. بالمناسبة ، يمكن أيضًا أن تكون الخطوط المتوازية عمودية أو موازية للوتر ويتم الحصول على مثلثات مماثلة بنفس الطريقة.

نظرية طاليس الثانية

تشير هذه النظرية أيضًا إلى مثلث ودائرة مركزها O ، مثل تلك الموضحة أدناه. في هذا الشكل ، AC هو قطر محيط و B نقطة عليه ، B يختلف عن A و B.

تنص نظرية طاليس الثانية على أن:

الشكل 9. نظرية طاليس الثانية. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. الحمل الاستقرائي.

نظرية فيثاغورس

هذه واحدة من أشهر النظريات في التاريخ. يرجع ذلك إلى عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس من ساموس (569 - 475 قبل الميلاد) وينطبق على مثلث قائم الزاوية. يقول ذلك:

إذا أخذنا كمثال المثلث الأزرق في الشكل 8 ، أو المثلث الأرجواني ، حيث أن كلاهما مستطيل ، فيمكن ذكر ما يلي:

AC ² = AB ² + BC ² (مثلث أزرق)

AC´ ² = AB´ ² + BC´ ² (مثلث أرجواني)

مساحة المثلث

تُعطى مساحة المثلث بحاصل ضرب قاعدته a وارتفاعه h ، مقسومًا على 2. وبحساب المثلثات ، يمكن كتابة هذا الارتفاع بالصيغة h = b sinθ.

الشكل 10. مساحة المثلث. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

أمثلة على المثلثات

مثال 1

يقال أنه من خلال نظريته الأولى ، تمكن طاليس من قياس ارتفاع الهرم الأكبر في مصر ، أحد عجائب الدنيا السبع في العالم القديم ، عن طريق قياس الظل الذي أظهره على الأرض والذي نتج عن حصة مدفوعة في الأرض.

هذه هي الخطوط العريضة للإجراء المتبع بالحكايات:

شكل 11. مخطط قياس ارتفاع الهرم الأكبر عن طريق تشابه المثلثات. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. ديك

افترض طاليس أن أشعة الشمس تصطدم بالتوازي. مع وضع ذلك في الاعتبار ، تخيل مثلث قائم الزاوية على اليمين.

هناك D هو ارتفاع الهرم و C هي المسافة فوق الأرض مقاسة من المركز إلى الظل الذي يلقيه الهرم على أرضية الصحراء. قد يكون قياس C شاقًا ، لكنه بالتأكيد أسهل من قياس ارتفاع الهرم.

يوجد على اليسار مثلث صغير ، بسيقان أ ​​و ب ، حيث أ ارتفاع الحصة مدفوعة رأسياً إلى الأرض و ب هو الظل الذي يلقيه. كلا الطولين قابلين للقياس ، كما هو الحال مع C (C يساوي طول الظل + نصف طول الهرم).

لذلك ، من خلال تشابه المثلثات:

أ / ب = د / ج

واتضح أن ارتفاع الهرم الأكبر هو: D = C. (A / B)

مثال 2

الدعامات في البناء المدني عبارة عن هياكل مصنوعة من قضبان رقيقة مستقيمة من الخشب أو المعدن المتقاطع ، والتي تستخدم كدعم في العديد من المباني. تُعرف أيضًا باسم الجمالونات أو الجمالونات أو الجمالونات.

في نفوسهم ، توجد المثلثات دائمًا ، نظرًا لأن الأشرطة مترابطة عند نقاط تسمى العقد ، والتي يمكن تثبيتها أو توضيحها.

الشكل 12. المثلث موجود في إطار هذا الجسر. المصدر: PxHere.

مثال 3

تسمح الطريقة المعروفة باسم التثليث بالحصول على موقع النقاط التي يتعذر الوصول إليها مع معرفة المسافات الأخرى التي يسهل قياسها ، بشرط أن يتم تشكيل مثلث يتضمن الموقع المطلوب بين رؤوسه.

على سبيل المثال ، في الشكل التالي نريد معرفة مكان السفينة في البحر ، والمشار إليها بالرمز B.

الشكل 13. مخطط تثليث لتحديد موقع السفينة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. كوليت

أولاً ، يتم قياس المسافة بين نقطتين على الساحل ، والتي في الشكل A و C. بعد ذلك ، يجب تحديد الزاويتين α و ، باستخدام جهاز قياس الزوايا ، وهو جهاز يستخدم لقياس الزوايا الرأسية والأفقية.

مع كل هذه المعلومات ، يتم بناء مثلث يكون رأسه العلوي هو السفينة. يبقى حساب الزاوية γ ، باستخدام خصائص المثلثات والمسافات AB و CB باستخدام حساب المثلثات ، لتحديد موقع السفينة في البحر.

تمارين

التمرين 1

في الشكل الموضح ، أشعة الشمس متوازية. بهذه الطريقة ، تلقي الشجرة التي يبلغ ارتفاعها 5 أمتار بظلالها على الأرض بطول 6 أمتار. في نفس الوقت ظل المبنى 40 مترا. باتباع نظرية طاليس الأولى ، أوجد ارتفاع المبنى.

الشكل 14. مخطط تمرين تم حله 1. المصدر: F. Zapata.

المحلول

المثلث الأحمر له جوانب 5 و 6 أمتار على التوالي ، في حين أن المثلث الأزرق له ارتفاع H - ارتفاع المبنى - والقاعدة 40 مترًا. كلا المثلثين متشابهان ، لذلك:

تمرين 2

تحتاج إلى معرفة المسافة الأفقية بين النقطتين A و B ، لكنهما يقعان على أرض غير مستوية للغاية.

تقريبًا عند نقطة المنتصف (P · _m) للتضاريس المذكورة ، تبرز بروز بارتفاع 1.75 مترًا. إذا كان قياس الشريط يشير إلى 26 مترًا من الطول يقاس من أ إلى البروز ، و 27 مترًا من ب إلى نفس النقطة ، فأوجد المسافة AB.

الشكل 15. مخطط للتمرين المحسوم 2. المصدر: Jiménez، R. Mathematics II. الهندسة وعلم المثلثات.

المحلول

يتم تطبيق نظرية فيثاغورس على أحد المثلثين القائمين في الشكل. البدء بالواحد على اليسار:

الوتر = ج = 26 مترًا

الارتفاع = أ = 1.75 متر

AP _م = (26 ² - 1.75 ²) ^1/2 = 25.94 م

طبق الآن فيثاغورس في المثلث الأيمن ، هذه المرة c = 27 مترًا ، أ = 1.75 مترًا. بهذه القيم:

BP _م = (27 ² - 1.75 ²) ^1/2 = 26.94 م

تم العثور على المسافة AB بإضافة هذه النتائج:

AB = 25.94 م + 26.94 م = 52.88 م.

المراجع

1. Baldor، JA 1973. الطائرة وهندسة الفضاء. ثقافة أمريكا الوسطى.
2. باريدو ، د. هندسة المثلث. تم الاسترجاع من: ficus.pntic.mec.es.
3. Jiménez، R. 2010. الرياضيات II. الهندسة وعلم المثلثات. الطبعة الثانية. بيرسون.
4. وينتورث ، جي هندسة الطائرة. تم الاسترجاع من: gutenberg.org.
5. ويكيبيديا. مثلث. تعافى من: es. wikipedia.org.