المتجه: الخصائص والخصائص والعناصر والأنواع والأمثلة - علم - 2026

و ناقلات هي الكيانات الرياضية التي لديها يرافق عادة عن طريق وحدة القياس -positiva- مقدار واتجاه جيد. هذه الخصائص مناسبة جدًا لوصف الكميات الفيزيائية مثل السرعة والقوة والتسارع وغير ذلك الكثير.

باستخدام المتجهات ، من الممكن إجراء عمليات مثل الجمع والطرح والمنتجات. لم يتم تعريف القسمة للناقلات ، أما بالنسبة للمنتج ، فهناك ثلاث فئات سنصفها لاحقًا: المنتج النقطي أو النقطة ، المنتج المتجه أو المنتج المتقاطع والمنتج القياسي بواسطة المتجه.

الشكل 1. عناصر المتجه. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

لوصف المتجه بشكل كامل ، يجب الإشارة إلى جميع خصائصه. الحجم أو الوحدة هي قيمة عددية مصحوبة بوحدة ، بينما يتم إنشاء الاتجاه والشعور بمساعدة نظام إحداثيات.

لنلق نظرة على مثال: لنفترض أن طائرة تطير من مدينة إلى أخرى بمعدل 850 كم / ساعة في اتجاه شمال شرق. هنا لدينا متجه محدد بالكامل ، حيث أن الحجم متاح: 850 كم / ساعة ، بينما الاتجاه والشعور هما NE.

يتم تمثيل المتجهات عادةً بيانياً بواسطة مقاطع خطية موجهة ، يتناسب طولها مع الحجم.

أثناء تحديد الاتجاه والإحساس ، يلزم وجود خط مرجعي ، والذي يكون عادةً المحور الأفقي ، على الرغم من أنه يمكن أيضًا اعتبار الشمال كمرجع ، مثل حالة سرعة المستوى:

الشكل 2. متجه السرعة. المصدر: F. Zapata.

ويبين الشكل متجه سرعة الطائرة، كما تدل الخامس في بخط عريض ، لتمييزه عن كمية العددية، والتي تتطلب فقط قيمة رقمية وبعض وحدة تحدد.

عناصر المتجه

كما قلنا ، عناصر المتجه هي:

- الحجم أو الوحدة النمطية ، وتسمى أحيانًا القيمة المطلقة أو معيار المتجه.

-عنوان

-إحساس

في المثال الموضح في الشكل 2 ، معامل v هو 850 كم / ساعة. يُشار إلى المعامل على أنه v بدون خط غامق ، أو مثل - v - ، حيث تمثل الأعمدة القيمة المطلقة.

تم تحديد اتجاه v بالنسبة إلى الشمال. في هذه الحالة يكون 45 درجة شمال شرق (45 درجة شمال شرق). أخيرًا ، يبلغ رأس السهم عن معنى v.

في هذا المثال ، تم رسم أصل المتجه بالتزامن مع الأصل O لنظام الإحداثيات ، وهذا يُعرف باسم المتجه المرتبط. من ناحية أخرى ، إذا كان أصل المتجه لا يتطابق مع أصل النظام المرجعي ، فيُقال إنه ناقل حر.

وتجدر الإشارة إلى أنه لتحديد المتجه بالكامل ، يجب ملاحظة هذه العناصر الثلاثة ، وإلا فإن وصف المتجه سيكون غير مكتمل.

المكونات المستطيلة للناقل

الشكل 3. مكونات مستطيلة لمتجه في المستوى. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. أورانتر

في الصورة ، نعود إلى المثال المتجه v ، الموجود في المستوى xy.

من السهل ملاحظة أن إسقاطات v على محوري إحداثيات x و y تحدد مثلثًا قائمًا. هذه الإسقاطات هي v _{y و} v _x وتسمى مكونات مستطيلة لـ v.

طريقة واحدة للدلالة على v بمكوناتها المستطيلة هي كما يلي: v =x و v _و >. تُستخدم هذه الأقواس بدلاً من الأقواس للتأكيد على حقيقة أنها متجه وليست فترة ، لأنه في هذه الحالة سيتم استخدام الأقواس.

إذا كان المتجه في مساحة ثلاثية الأبعاد ، فهناك حاجة إلى مكون إضافي ، بحيث:

ت =x ، v _y ، v _z >

معرفة مكونات مستطيلة يتم حساب مقدار المتجه، أي ما يعادل العثور على وتر المثلث الصحيح الذي الساقين هي ضد _العاشر و الخامس _و . من خلال نظرية فيثاغورس ، يتبع ذلك:

شكل قطبي لناقل

عندما يُعرف حجم المتجه - v - والزاوية θ التي يصنعها مع المحور المرجعي ، عمومًا المحور الأفقي ، يتم تحديد المتجه أيضًا. ثم يقال أن المتجه يتم التعبير عنه في شكل قطبي.

يتم حساب المكونات المستطيلة في هذه الحالة بسهولة:

وفقًا لما سبق ، فإن المكونات المستطيلة لمتجه السرعة v للطائرة ستكون:

أنواع

هناك عدة أنواع من النواقل. هناك نواقل للسرعة ، والموضع ، والإزاحة ، والقوة ، والمجال الكهربائي ، والزخم ، وغيرها الكثير. كما قلنا من قبل ، يوجد في الفيزياء عدد كبير من كميات المتجهات.

فيما يتعلق بالناقلات التي لها خصائص معينة ، يمكننا أن نذكر الأنواع التالية من النواقل:

-Null: هذه متجهات حجمها 0 ويُشار إليها بالرمز 0. تذكر أن الحرف الغامق يرمز إلى الخصائص الأساسية الثلاث للمتجه ، بينما يمثل الحرف العادي الوحدة النمطية فقط.

على سبيل المثال ، في جسم في حالة توازن ثابت ، يجب أن يكون مجموع القوى متجهًا فارغًا.

- الحرة والمرتبطة: المتجهات الحرة هي تلك التي تكون نقاط منشأها ووصولها أي زوج من النقاط في المستوى أو الفضاء ، على عكس المتجهات المرتبطة ، والتي يتطابق أصلها مع أصل النظام المرجعي المستخدم لوصفها.

الزوجان أو اللحظة التي تنتجها قوتان هي مثال جيد على ناقل حر ، لأن الزوجين لا ينطبقان على أي نقطة معينة.

- المتوازيات: هما ناقلان حران لهما خصائص متطابقة. لذلك لديهم نفس القدر والاتجاه والإحساس.

- متحد المستوى أو متحد المستوى: المتجهات التي تنتمي إلى نفس المستوى.

- الأضداد: نواقل لها نفس الحجم والاتجاه ، ولكن في اتجاهين متعاكسين. المتجه المقابل للمتجه v هو المتجه - v ومجموع كليهما هو المتجه الصفري: v + (- v) = 0.

- المتزامن: المتجهات التي تمر جميع خطوط عملها عبر نفس النقطة.

- المتزلجون: المتجهات التي يمكن أن تنزلق نقطة تطبيقها على طول خط معين.

- الخطية الخطية: المتجهات الموجودة على نفس الخط.

- الوحدوية: تلك النواقل التي تكون وحدتها 1.

نواقل الوحدة المتعامدة

يوجد نوع مفيد جدًا من المتجهات في الفيزياء يسمى متجه الوحدة المتعامدة. يحتوي متجه الوحدة المتعامد على وحدة تساوي 1 ويمكن أن تكون الوحدات أي منها ، على سبيل المثال وحدات السرعة أو الموضع أو القوة أو غيرها.

توجد مجموعة من النواقل الخاصة التي تساعد على تمثيل المتجهات الأخرى بسهولة وتنفيذ العمليات معها: فهي متجهات الوحدة المتعامدة i و j و k والوحدة والعمودية على بعضها البعض.

في بعدين ، يتم توجيه هذه المتجهات على طول الاتجاه الإيجابي لكل من المحور x والمحور y. وفي ثلاثة أبعاد ، يضاف متجه الوحدة في اتجاه المحور z الموجب. وهي ممثلة على النحو التالي:

أنا = <1 ، 0.0>

ي = <0،1،0>

ك = <0،0،1>

يمكن تمثيل المتجه بواسطة متجهات الوحدة i و j و k على النحو التالي:

v = v _x i + v _y j + v _z k

على سبيل المثال ، يمكن كتابة متجه السرعة v في الأمثلة السابقة على النحو التالي:

ع = 601.04 ط + 601.04 ي كم / س

المكون في k ليس ضروريًا ، لأن هذا المتجه موجود في المستوى.

إضافة المتجه

يظهر مجموع المتجهات بشكل متكرر في مواقف مختلفة ، على سبيل المثال عندما تريد إيجاد القوة المحصلة على جسم يتأثر بقوى مختلفة. للبدء ، افترض أن لدينا متجهين مجانيين u و v على المستوى ، كما هو موضح في الشكل التالي على اليسار:

الشكل 4. مجموع رسومي لمتجهين. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. لوك كاباناش.

يتم نقله على الفور بعناية إلى المتجه v ، دون تعديل حجمه أو اتجاهه أو إحساسه ، بحيث يتطابق أصله مع نهاية u.

يسمى مجموع المتجه w ويتم رسمه بدءًا من u وتنتهي بـ v ، وفقًا للشكل الصحيح. من المهم ملاحظة أن حجم المتجه w ليس بالضرورة مجموع مقادير v و u.

إذا فكرت في الأمر بعناية ، فإن الوقت الوحيد الذي يكون فيه حجم المتجه الناتج هو مجموع مقادير الإضافات عندما يكون كلاهما في نفس الاتجاه ولهما نفس المعنى.

وماذا يحدث إذا لم تكن النواقل مجانية؟ كما أنه من السهل جدًا إضافتها. طريقة القيام بذلك هي عن طريق إضافة مكون إلى مكون ، أو طريقة تحليلية.

كمثال ، دعنا ننظر إلى المتجهات في الشكل التالي ، أول شيء هو التعبير عنها بإحدى الطرق الديكارتية الموضحة مسبقًا:

الشكل 5. مجموع متجهين مرتبطين. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

الخامس = <5.1>

ش = <2،3>

للحصول على مكون x لمتجه المجموع w ، أضف مكونات x الخاصة بكل من v و u: w _x = 5 + 2 = 7. وللحصول على w _y ، يتم اتباع إجراء مشابه: w _y = 1 + 3. هكذا:

ش = <7.4>

خصائص الجمع المتجه

- ينتج عن مجموع متجهين أو أكثر متجه آخر.

- إنه تبادلي ، ولا يغير ترتيب الإضافات المجموع ، بحيث:

u + v = v + u

- العنصر المحايد لمجموع المتجهات هو المتجه الصفري: v + 0 = v

- يتم تعريف طرح متجهين على أنه مجموع المقابل: v - u = v + (-u)

أمثلة المتجهات

كما قلنا ، هناك العديد من الكميات المتجهة في الفيزياء. من بين أشهرها:

-موضع

-الإزاحة

-متوسط ​​السرعة والسرعة اللحظية

-التسريع

-فرض

- مقدار الحركة

-عزم أو عزم القوة

-دفعة

-الحقل الكهربائي

-حقل مغناطيسي

-لحظة جاذبة

من ناحية أخرى ، فهي ليست نواقل بل عدديات:

-طقس

-كتلة

-درجة الحرارة

-الصوت

-كثافة

-عمل ميكانيكي

- الطاقة

-الحار

-قوة

-الجهد االكهربى

- التيار الكهربائي

عمليات أخرى بين النواقل

بالإضافة إلى جمع وطرح المتجهات ، هناك ثلاث عمليات أخرى مهمة جدًا بين المتجهات ، لأنها تؤدي إلى كميات فيزيائية جديدة مهمة جدًا:

-منتج عددي بواسطة متجه.

-حاصل الضرب النقطي أو الضرب النقطي بين المتجهات

- والمنتج المتقاطع أو المتجه بين متجهين.

حاصل ضرب عددي ومتجه

انظر إلى قانون نيوتن الثاني ، الذي ينص على أن القوة F والعجلة a متناسبان. ثابت التناسب هو كتلة م من الجسم ، لذلك:

F = م. إلى

الكتلة عددية. من جانبهم ، القوة والتسارع نواقل. نظرًا لأن القوة يتم الحصول عليها بضرب الكتلة في التسارع ، فهي نتيجة حاصل ضرب عددي ومتجه.

ينتج عن هذا النوع من المنتجات دائمًا متجه. إليك مثال آخر: مقدار الحركة. لنفترض أن P هو متجه الزخم ، v متجه السرعة ، وكما هو الحال دائمًا ، m هي الكتلة:

P = م. الخامس

المنتج النقطي أو المنتج النقطي بين المتجهات

لقد وضعنا العمل الميكانيكي في قائمة الكميات التي ليست نواقل. ومع ذلك ، فإن العمل في الفيزياء هو نتيجة عملية بين نواقل تسمى المنتج القياسي أو المنتج الداخلي أو المنتج النقطي.

دع المتجهين v و u يحددان المنتج النقطي أو القياسي بينهما على النحو التالي:

v ∙ u = - v - ∙ - u -.cos θ

حيث θ هي الزاوية بين الاثنين. من المعادلة الموضحة ، يتبع ذلك على الفور أن نتيجة حاصل الضرب النقطي هي عددية وأيضًا أنه إذا كان كلا المتجهين متعامدين ، فإن حاصل الضرب النقطي لهما هو 0.

بالعودة إلى العمل الميكانيكي W ، هذا هو الناتج القياسي بين متجه القوة F ومتجه الإزاحة ℓ.

عندما تكون المتجهات متاحة من حيث مكوناتها ، فإن حاصل الضرب النقطي سهل للغاية في الحساب. إذا كان v =x ، v _y ، v _z > y u =x ، u _y ، u _z > ، حاصل الضرب القياسي بين الاثنين هو:

v ∙ u = v _x u _x + v _y u _y + v _z u _z

يكون المنتج النقطي بين المتجهات تبادليًا ، لذلك:

v ∙ u = u ∙ v

عبر المنتج أو المنتج المتجه بين المتجهات

إذا كان v و u هما متجهان المثالان لدينا ، فإننا نحدد المنتج المتجه على النحو التالي

الخامس س ش = ث

ويترتب على ذلك على الفور أن الناتج المتقاطع ينتج متجهًا ، يتم تعريف معامله على النحو التالي:

حيث θ هي الزاوية بين المتجهات.

حاصل الضرب التبادلي ليس تبادليًا ، لذلك v x u ≠ u x v. في الواقع v x u = - (u x v).

إذا تم التعبير عن المثالين المتجهين من حيث متجهات الوحدة ، فسيتم تسهيل حساب منتج المتجه:

v = v _x i + v _y j + v _z k

u = u _x i + u _y j + u _z k

نواتج متقاطعة بين نواقل الوحدة

حاصل الضرب التبادلي بين متجهات الوحدة المتطابقة هو صفر ، لأن الزاوية بينهما تساوي 0º. لكن بين متجهات الوحدة المختلفة ، الزاوية بينهما 90º و sin 90º = 1.

يساعد الرسم التخطيطي التالي في العثور على هذه المنتجات. في اتجاه السهم له اتجاه إيجابي وفي الاتجاه المعاكس سلبي:

أنا س ي = ك ، ي س ك = أنا ؛ ك س ط = ي ؛ ي س ط = -ك ؛ ك س ي = -i ؛ أنا س ك = -ج

بتطبيق خاصية التوزيع ، التي لا تزال صالحة للمنتجات بين المتجهات بالإضافة إلى خصائص متجهات الوحدة ، لدينا:

v x u = (v _x i + v _y j + v _z k) x (u _x i + u _y j + u _z k) =

تمارين محلولة

- التمرين 1

بالنظر إلى النواقل:

الخامس = -5 أنا + 4 ي + 1 ك

ش = 2 ط -3 ي + 7 ك

ماذا يجب أن يكون المتجه w لمجموع v + u + w ليكون 6 i +8 j -10 k ؟

المحلول

لذلك يجب تحقيق ما يلي:

الجواب هو: w = 9 i +7 j - 18 k

- تمرين 2

ما هي الزاوية بين المتجهين v و u في التمرين 1؟

المحلول

سوف نستخدم المنتج النقطي. من التعريف لدينا:

الخامس ∙ ش = -10 -12 + 7 = -15

استبدال هذه القيم:

المراجع

1. فيغيروا ، د. (2005). السلسلة: فيزياء العلوم والهندسة. المجلد 1. الكينماتيكا. حرره دوغلاس فيغيروا (USB).
2. جيانكولي ، د. 2006. الفيزياء: مبادئ مع تطبيقات. السادس. إد برنتيس هول.
3. ريكس ، 2011. أساسيات الفيزياء. بيرسون.
4. سيرز ، زيمانسكي. 2016. الفيزياء الجامعية مع الفيزياء الحديثة. الرابع عشر. المجلد 1.
5. Serway، R.، Jewett، J. 2008. Physics for Science and Engineering. المجلد 1. السابع. Ed. Cengage Learning.