الأساس المتعامد: الخصائص والأمثلة والتمارين - جسدي - بدني - 2025

على أساس المتعامدة المعيرة تتشكل مع ناقلات متعامدة مع بعضها البعض، والذي هو أيضا 1 (متجهات الوحدة) معامل. دعونا نتذكر أن القاعدة B في فضاء متجه V تُعرَّف على أنها مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا القادرة على توليد الفضاء المذكور.

في المقابل ، فضاء المتجه هو كيان رياضي مجرد من بين عناصره نواقل ، ويرتبط عمومًا بكميات مادية مثل السرعة والقوة والإزاحة أو أيضًا بالمصفوفات ومتعددة الحدود والوظائف.

الشكل 1. القاعدة المتعامدة في الطائرة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. كوارتل.

المتجهات لها ثلاثة عناصر مميزة: الحجم أو المقياس ، والاتجاه ، والحس. يعتبر الأساس المتعامد مفيدًا بشكل خاص للتمثيل والتشغيل معهم ، حيث يمكن كتابة أي ناقل ينتمي إلى مساحة متجهية معينة V كمجموعة خطية من المتجهات التي تشكل الأساس المتعامد.

بهذه الطريقة ، يتم تنفيذ العمليات بين المتجهات ، مثل الجمع والطرح وأنواع مختلفة من المنتجات المحددة في الفضاء المذكور ، بشكل تحليلي.

من بين القواعد الأكثر استخدامًا في الفيزياء القاعدة المكونة من متجهات الوحدة i و j و k التي تمثل الاتجاهات الثلاثة المميزة للفضاء ثلاثي الأبعاد: الارتفاع والعرض والعمق. تُعرف هذه النواقل أيضًا باسم متجهات الوحدة الكنسية.

إذا ، بدلاً من ذلك ، تم عمل المتجهات في مستوى ، فسيكون اثنان من هذه المكونات الثلاثة كافيين ، بينما بالنسبة للناقلات أحادية البعد ، يلزم واحد فقط.

خصائص القواعد

1- القاعدة B هي أصغر مجموعة ممكنة من النواقل التي تولد مساحة المتجه V.

2- تكون عناصر B مستقلة خطياً.

3- أي قاعدة B من فضاء متجه V ، تسمح بالتعبير عن جميع متجهات V كمجموعة خطية منها وهذا النموذج فريد لكل متجه. لهذا السبب ، يُعرف B أيضًا باسم نظام التوليد.

4- نفس المتجه V يمكن أن يكون له قواعد مختلفة.

أمثلة على القواعد

فيما يلي أمثلة عديدة للقواعد والقواعد المتعامدة بشكل عام:

الأساس القانوني في ℜ

تسمى أيضًا القاعدة الطبيعية أو القاعدة القياسية لـ of ⁿ ، حيث ℜ ⁿ هي مساحة ذات أبعاد n ، على سبيل المثال الفضاء ثلاثي الأبعاد هو ℜ ³. تسمى قيمة n بأبعاد فضاء المتجه ويُشار إليها على أنها خافتة (V).

يتم تمثيل جميع المتجهات التي تنتمي إلى ℜ ⁿ بإعلانات ⁿ مرتبة. بالنسبة للفضاء ⁿ ، الأساس القانوني هو:

ه ₁ = <1،0 ،… ، 0> ؛ ه ₂ = <0.1 ،… ، 0> ؛ …….. e _n = <0.0،… ، 1>

في هذا المثال ، استخدمنا الترميز مع الأقواس أو "الأقواس" والخط العريض لمتجهات الوحدة e ₁ ، e ₂ ، e ₃…

الأساس القانوني في ℜ

تقبل المتجهات المألوفة i و j و k نفس التمثيل وكلها الثلاثة كافية لتمثيل المتجهات في ℜ ³:

أنا = <1،0،0> ؛ ي = <0،1،0> ؛ ك = <0،0،1>

هذا يعني أنه يمكن التعبير عن القاعدة على النحو التالي:

ب = {<1،0،0> ؛ <0،1،0> ؛ <0،0،1>}

للتحقق من أنها مستقلة خطيًا ، يكون المحدد المتكون معها غير صفري ويساوي أيضًا 1:

يجب أيضًا أن يكون من الممكن كتابة أي متجه ينتمي إلى ℜ ³ كمجموعة خطية منهم. على سبيل المثال ، القوة التي تكون مكوناتها المستطيلة هي F _x = 4 N و F _y = -7 N و F _z = 0 N ستكتب في شكل متجه مثل هذا:

F = <4، -7،0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

لذلك ، تشكل i و j و k نظام مولد بمقدار ℜ ³.

القواعد المتعامدة الأخرى في ℜ

القاعدة القياسية الموضحة في القسم السابق ليست هي القاعدة المتعامدة الوحيدة في ℜ ³. هنا لدينا على سبيل المثال القواعد:

ب ₁ = {؛ <- الخطيئة θ ، كوس θ ، 0> ؛ <0،0،1>}

ب ₂ = {<3/5، 4 / 5.0> ؛ <- 4/5 ، 3 / 5.0> ؛ <0،0،1>}

يمكن إثبات أن هذه القواعد متعامدة ، ولهذا نتذكر الشروط التي يجب أن تتحقق:

- يجب أن تكون المتجهات التي تشكل القاعدة متعامدة مع بعضها البعض.

- يجب أن يكون كل منهم وحدويًا.

يمكننا التحقق من ذلك من خلال معرفة أن المحدد الذي يتكون منها يجب أن يكون غير صفري ويساوي 1.

القاعدة B ₁ هي بالضبط تلك الخاصة بالإحداثيات الأسطوانية ρ و φ و z ، وهي طريقة أخرى للتعبير عن المتجهات في الفضاء.

الشكل 2. إحداثيات أسطوانية. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. برتقالي الرياضيات.

تمارين محلولة

- التمرين 1

بيّن أن القاعدة ب = {<3/5، 4 / 5،0> ؛ <- 4/5 ، 3 / 5.0> ؛ <0،0،1>} متعامد.

المحلول

لإظهار أن المتجهات متعامدة مع بعضها البعض ، سنستخدم المنتج القياسي ، والذي يسمى أيضًا المنتج الداخلي أو الضرب النقطي لمتجهين.

دع أي متجهين u و v ، يتم تعريف حاصل الضرب النقطي من خلال:

u • v = uv cosθ

لتمييز متجهات وحداتها ، سنستخدم الأحرف الأولى والحروف العادية بالخط العريض للحرف الثاني. θ هي الزاوية بين u و v ، لذلك إذا كانتا عموديتين ، فهذا يعني أن θ = 90º والحاصل الضرب القياسي هو صفر.

بدلاً من ذلك ، إذا تم إعطاء المتجهات من حيث مكوناتها: u =x ، u _y ، u _z > y v =x ، v _y ، v _z > ، الناتج القياسي لكليهما ، وهو تبادلي ، يتم حسابه بهذه الطريقة:

u • v = u _x.v _x + u _y.v _y + u _z.v _z

بهذه الطريقة ، تكون النواتج العددية بين كل زوج من المتجهات على التوالي:

i) <3/5، 4 / 5،0> • <- 4/5، 3 / 5،0> = (3/5). [- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0.0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5، 4 / 5.0> • <0، 0.1> = 0

iii) <- 4/5 ، 3 / 5.0> • <0 ، 0.1> = 0

بالنسبة للشرط الثاني ، يتم حساب وحدة كل متجه ، والتي يتم الحصول عليها من خلال:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ²)

وبالتالي ، فإن وحدات كل متجه هي:

│ <3/5، 4 / 5،0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5، 3 / 5،0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0 ، 0.1> │ = = 1

لذلك كل ثلاثة متجهات وحدة. أخيرًا ، المحدد الذي يشكلونه ليس صفريًا ويساوي 1:

- تمرين 2

اكتب إحداثيات المتجه w = <2، 3،1> بدلالة القاعدة أعلاه.

المحلول

للقيام بذلك ، يتم استخدام النظرية التالية:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

هذا يعني أنه يمكننا كتابة المتجه في القاعدة B ، باستخدام المعامِلات < w • v ₁ > ، < w • v ₂ > ،… < w • v _n > ، والتي يجب علينا حساب المنتجات العددية المشار إليها:

<2، 3،1> • <3/5، 4 / 5،0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2، 3،1> • <- 4/5، 3 / 5،0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2، 3،1> • <0،0،1> = 1

مع المنتجات العددية التي تم الحصول عليها ، يتم إنشاء مصفوفة تسمى مصفوفة إحداثيات w.

لذلك يتم التعبير عن إحداثيات المتجه w في القاعدة B من خلال:

_ب =

مصفوفة الإحداثيات ليست المتجه ، لأن المتجه ليس هو نفسه إحداثياته. هذه ليست سوى مجموعة من الأرقام التي تعمل على التعبير عن المتجه في قاعدة معينة ، وليس المتجه على هذا النحو. كما أنها تعتمد على القاعدة المختارة.

أخيرًا ، باتباع النظرية ، سيتم التعبير عن المتجه w على النحو التالي:

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

مع: v ₁ = <3/5، 4 / 5،0> ؛ الخامس ₂ = <- 4/5، 3 / 5.0> ؛ v ₃ = <0،0،1>} ، أي متجهات القاعدة B.

المراجع

1. لارسون ، ر. أسس الجبر الخطي. السادس. الإصدار. سينجاج ليرنينج.
2. لارسون ، ر. 2006. حساب التفاضل والتكامل. السابع. الإصدار. المجلد 2. ماكجرو هيل.
3. سالاس ، ج. الجبر الخطي. الوحدة 10. القواعد المتعامدة. تم الاسترجاع من: ocw.uc3m.es.
4. جامعة اشبيلية. إحداثيات أسطوانية. قاعدة المتجهات. تم الاسترجاع من: laplace.us.es.
5. ويكيبيديا. قاعدة متعامدة. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.