معامل التحديد: الصيغ ، الحساب ، التفسير ، الأمثلة - دوداس - 2025

و معامل التحديد هو رقم بين 0 و 1 التي تمثل جزء من نقطة (X، Y) التي تتبع خط الانحدار من نوبة من مجموعة بيانات مع اثنين من المتغيرات.

يُعرف أيضًا باسم صلاح الملاءمة ويشار إليه بواسطة R ². لحسابه ، يتم أخذ حاصل القسمة بين تباين البيانات i المقدّر بواسطة نموذج الانحدار وتباين البيانات Yi المقابلة لكل Xi من البيانات.

R ² = Sŷ / سي

الشكل 1. معامل الارتباط لأربعة أزواج من البيانات. المصدر: F. Zapata.

إذا كانت 100٪ من البيانات على خط دالة الانحدار ، فسيكون معامل التحديد 1.

على العكس من ذلك ، إذا تبين أن المعامل R ² لمجموعة من البيانات ووظيفة مناسبة معينة يساوي 0.5 ، فيمكن القول إن الملاءمة 50٪ مرضية أو جيدة.

وبالمثل ، عندما ينتج عن نموذج الانحدار قيم R ² أقل من 0.5 ، فإن هذا يشير إلى أن وظيفة الضبط المختارة لا تتكيف بشكل مرضٍ مع البيانات ، لذلك من الضروري البحث عن دالة ضبط أخرى.

وعندما يميل التغاير أو معامل الارتباط إلى الصفر ، فإن المتغيرين X و Y في البيانات غير مرتبطين ، وبالتالي فإن R ² ستميل أيضًا إلى الصفر.

كيف تحسب معامل التحديد؟

قيل في القسم السابق أن معامل التحديد يُحسب بإيجاد حاصل القسمة بين الفروق:

- مقدر بدالة الانحدار للمتغير Y

- أن المتغير Yi المقابل لكل من المتغير Xi لأزواج البيانات N.

يبدو رياضيا كما يلي:

R ² = Sŷ / سي

ويترتب على هذه الصيغة أن R ² تمثل نسبة التباين التي أوضحها نموذج الانحدار. بدلاً من ذلك ، يمكن حساب R ² باستخدام الصيغة التالية ، المكافئة تمامًا للصيغة السابقة:

ص ² = 1 - (Sε / سي)

حيث تمثل Sε تباين القيم المتبقية εi = i - Yi ، بينما يمثل Sy التباين في مجموعة قيم Yi للبيانات. لتحديد Ŷi يتم تطبيق وظيفة الانحدار ، مما يعني التأكيد على أن Ŷi = f (Xi).

يتم حساب تباين مجموعة البيانات Yi ، مع i من 1 إلى N بهذه الطريقة:

سي =

ثم تابع بطريقة مماثلة لـ Sŷ أو Sε.

حالة توضيحية

لإظهار تفاصيل كيفية حساب معامل التحديد ، سنأخذ المجموعة التالية من أربعة أزواج من البيانات:

(س ، ص): {(1 ، 1) ؛ (2. 3) ؛ (3 ، 6) و (4 ، 7)}.

تم اقتراح ملاءمة الانحدار الخطي لمجموعة البيانات هذه ، والتي يتم الحصول عليها باستخدام طريقة المربعات الصغرى:

و (س) = 2.1 س - 1

بتطبيق وظيفة الضبط هذه ، يتم الحصول على عزم الدوران:

(X، Ŷ): {(1، 1.1) ؛ (2 ، 3.2) ؛ (3 ، 5.3) و (4 ، 7.4)}.

ثم نحسب المتوسط ​​الحسابي لـ X و Y:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4.25

نظام الفرق

سي = / (4-1) =

= = 7583

تباين Sŷ

Sŷ = / (4-1) =

= = 7.35

معامل التحديد R ²

R ² = Sŷ / Sy = 7.35 / 7.58 = 0.97

ترجمة

تبين أن معامل التحديد للحالة التوضيحية التي تم النظر فيها في المقطع السابق هو 0.98. بمعنى آخر ، الضبط الخطي من خلال الوظيفة:

و (س) = 2.1 س - 1

يمكن الاعتماد عليه بنسبة 98٪ في شرح البيانات التي تم الحصول عليها باستخدام طريقة المربعات الصغرى.

بالإضافة إلى معامل التحديد ، هناك معامل الارتباط الخطي أو المعروف أيضًا باسم معامل بيرسون. يُحسب هذا المعامل ، المشار إليه بالرمز r ، بالعلاقة التالية:

ص = Sxy / (Sx Sy)

هنا يمثل البسط التباين المشترك بين المتغيرين X و Y ، بينما المقام هو حاصل ضرب الانحراف المعياري للمتغير X والانحراف المعياري للمتغير Y.

يمكن أن يأخذ معامل بيرسون قيمًا تتراوح بين -1 و +1. عندما يميل هذا المعامل إلى +1 ، يكون هناك ارتباط خطي مباشر بين X و Y. إذا كان يميل إلى -1 بدلاً من ذلك ، فهناك ارتباط خطي ، ولكن عندما ينمو X ينخفض ​​Y. أخيرًا ، إنه قريب من 0 ولا يوجد ارتباط بين المتغيرين.

وتجدر الإشارة إلى أن معامل التحديد يتزامن مع مربع معامل بيرسون ، فقط عندما يتم حساب الأول بناءً على ملاءمة خطية ، ولكن هذه المساواة غير صالحة لنوبات غير خطية أخرى.

أمثلة

- مثال 1

شرعت مجموعة من طلاب المدارس الثانوية في تحديد قانون تجريبي لفترة البندول كدالة على طوله. لتحقيق هذا الهدف ، يجرون سلسلة من القياسات التي يقيسون فيها وقت تذبذب البندول لأطوال مختلفة للحصول على القيم التالية:

الطول (م)	فترة (فترات)
0.1	0.6
0.4	1.31
0.7	1.78
واحد	1.93
1.3	2.19
1.6	2.66
1.9	2.77
3	3.62

يُطلب عمل مخطط مبعثر للبيانات وإجراء ملاءمة خطية من خلال الانحدار. أظهر أيضًا معادلة الانحدار ومعامل التحديد الخاص بها.

المحلول

الشكل 2. الرسم البياني للحل للتمرين 1. المصدر: F. Zapata.

يمكن ملاحظة معامل تحديد مرتفع إلى حد ما (95٪) ، لذلك يمكن الاعتقاد بأن التوافق الخطي هو الأمثل. ومع ذلك ، إذا تم عرض النقاط معًا ، فيبدو أنها تميل إلى الانحناء للأسفل. لم يتم التفكير في هذه التفاصيل في النموذج الخطي.

- المثال 2

لنفس البيانات في المثال 1 ، قم بعمل مخطط مبعثر للبيانات. في هذه المناسبة ، على عكس المثال 1 ، يُطلب تعديل الانحدار باستخدام دالة محتملة.

الشكل 3. الرسم البياني للحل للتمرين 2. المصدر: F. Zapata.

اعرض أيضًا دالة الملاءمة ومعامل التحديد الخاص بها R ².

المحلول

تكون الوظيفة المحتملة على شكل f (x) = Ax ^B ، حيث A و B عبارة عن ثوابت يتم تحديدها بواسطة طريقة المربعات الصغرى.

يوضح الشكل السابق الوظيفة المحتملة ومعلماتها ، وكذلك معامل التحديد بقيمة عالية جدًا تبلغ 99٪. لاحظ أن البيانات تتبع انحناء خط الاتجاه.

- مثال 3

باستخدام نفس البيانات من المثال 1 والمثال 2 ، قم بإجراء توافق متعدد الحدود من الدرجة الثانية. اعرض الرسم البياني وكثير الحدود المناسب ومعامل التحديد المقابل R ².

المحلول

الشكل 4. الرسم البياني للحل للتمرين 3. المصدر: F. Zapata.

باستخدام التوافق متعدد الحدود من الدرجة الثانية ، يمكنك رؤية خط الاتجاه الذي يناسب تمامًا انحناء البيانات. أيضًا ، يكون معامل التحديد أعلى من الملاءمة الخطية وأقل من الملاءمة المحتملة.

مقارنة تناسب

من بين النوبات الثلاثة الموضحة ، تكون النوبة ذات أعلى معامل تحديد هي الملائمة المحتملة (المثال 2).

يتطابق التوافق المحتمل مع النظرية الفيزيائية للبندول ، والتي ، كما هو معروف ، تثبت أن فترة البندول تتناسب مع الجذر التربيعي لطوله ، وثابت التناسب هو 2π / g حيث g هي تسارع الجاذبية.

هذا النوع من الملاءمة المحتملة لا يحتوي فقط على أعلى معامل تحديد ، ولكن الأس وثابت التناسب يتطابقان مع النموذج المادي.

الاستنتاجات

- يحدد ضبط الانحدار معاملات الدالة التي تهدف إلى شرح البيانات باستخدام طريقة المربعات الصغرى. تتكون هذه الطريقة من تقليل مجموع تربيع الفرق بين قيمة Y للتكيف وقيمة Yi لبيانات قيم Xi للبيانات. هذا يحدد معلمات وظيفة الضبط.

- كما رأينا ، فإن وظيفة الضبط الأكثر شيوعًا هي الخط ، ولكنها ليست الوحيدة ، حيث يمكن أن تكون التعديلات أيضًا متعددة الحدود ، والمحتملة ، والأسية ، واللوغاريتمية وغيرها.

- على أي حال ، فإن معامل التحديد يعتمد على البيانات ونوع التعديل وهو مؤشر على جودة التعديل المطبق.

- أخيرًا ، يشير معامل التحديد إلى النسبة المئوية للتغير الكلي بين قيمة Y للبيانات فيما يتعلق بقيمة للتعديل من أجل X المعطى.

المراجع

1. González C. إحصاءات عامة. تم الاسترجاع من: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IACS. معهد أراغون للعلوم الصحية. تم الاسترجاع من: ics-aragon.com
3. Salazar C. and Castillo S. المبادئ الأساسية للإحصاء. (2018). تم الاسترجاع من: dspace.uce.edu.ec
4. سوبر بروف. معامل التحديد. تم الاسترجاع من: superprof.es
5. USAC. دليل الإحصاء الوصفي. (2011). تم الاسترجاع من: Statistics.ingenieria.usac.edu.gt.
6. ويكيبيديا. معامل التحديد. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com.