التطابق: الأرقام المتطابقة ، المعايير ، الأمثلة ، التمارين - رياضيات - 2026

يشير التطابق في الهندسة إلى أنه إذا كان لشكلين مستويين نفس الشكل والأبعاد ، فإنهما متطابقتان. على سبيل المثال ، قسمان متطابقان عندما يتساوى أطوالهما. كما أن الزوايا المتطابقة لها نفس القياس ، على الرغم من أنها ليست موجهة بنفس الطريقة في المستوى.

يأتي مصطلح "التطابق" من الكلمة اللاتينية congruentia ، والتي تعني المراسلات. وهكذا ، فإن رقمين متطابقين يتوافقان تمامًا مع بعضهما البعض.

الشكل 1. الأشكال الرباعية ABCD و A'B'C'D في الشكل متطابقة: جوانبها لها نفس القياس ، كما هو الحال مع زواياها الداخلية. المصدر: F. Zapata.

على سبيل المثال ، إذا قمنا بتركيب رباعي الأضلاع في الصورة ، فسنجد أنهما متطابقان ، لأن ترتيب أضلاعهما متطابق ويقيسان نفس الشيء.

بوضع الأشكال الرباعية ABCD و A'B'C'D فوق بعضها البعض ، سوف تتطابق الأرقام تمامًا. تسمى الأضلاع المتوافقة جوانب متجانسة أو متقابلة ويستخدم الرمز ≡ للتعبير عن التطابق. لذلك يمكننا القول أن ABCD ≡ A'B'C'D '.

معايير التطابق

الخصائص التالية شائعة في المضلعات المتطابقة:

-نفس الشكل والحجم.

- قياسات متطابقة لزواياهم.

- نفس المقياس على كل جانب.

في حالة كون المضلعين المعنيين منتظمين ، أي أن جميع الجوانب والزوايا الداخلية تقيس نفس الشيء ، يتم ضمان التطابق عند استيفاء أي من الشروط التالية:

-الأطراف متطابقة

- العقاقير لها نفس القياس

-نصف قطر كل مضلع يقيس نفسه

يمثل طول المضلع المنتظم المسافة بين المركز وأحد أضلاعه ، بينما يتوافق نصف القطر مع المسافة بين المركز والرأس أو الزاوية من الشكل.

يتم استخدام معايير التطابق بشكل متكرر لأن العديد من الأجزاء والقطع من جميع الأنواع يتم إنتاجها بكميات كبيرة ويجب أن يكون لها نفس الشكل والقياسات. وبهذه الطريقة يمكن استبدالها بسهولة عند الضرورة ، على سبيل المثال الصواميل أو البراغي أو الألواح أو أحجار الرصف على الأرض في الشارع.

الشكل 2. أحجار الرصف في الشارع هي أشكال متطابقة ، حيث أن شكلها وأبعادها متطابقة تمامًا ، على الرغم من أن اتجاهها على الأرض قد يتغير. المصدر: Pixabay.

التطابق والهوية والتشابه

هناك مفاهيم هندسية تتعلق بالتطابق ، على سبيل المثال الأشكال المتطابقة والأشكال المتشابهة ، والتي لا تعني بالضرورة أن الأرقام متطابقة.

لاحظ أن الأشكال المتطابقة متطابقة ، ومع ذلك يمكن توجيه الأشكال الرباعية في الشكل 1 بطرق مختلفة على المستوى وتظل متطابقة ، لأن الاتجاه المختلف لا يغير حجم جوانبها أو زواياها. في هذه الحالة لن يكونا متطابقين.

المفهوم الآخر هو تشابه الأشكال: شكلان مستويان متشابهان إذا كان لهما نفس الشكل وزواياهما الداخلية تقيس نفس الشيء ، على الرغم من أن حجم الأشكال قد يكون مختلفًا. إذا كان هذا هو الحال ، فإن الأرقام ليست متطابقة.

أمثلة على التطابق

- تطابق الزوايا

كما أشرنا في البداية ، فإن الزوايا المتطابقة لها نفس القياس. هناك عدة طرق للحصول على زوايا متطابقة:

مثال 1

خطان مشتركان في نقطة يحددان زاويتين ، تسمى الزوايا المتقابلة بسبب الرأس. هذه الزوايا لها نفس القياس ، وبالتالي فهي متطابقة.

الشكل 3. الزوايا المقابلة للرأس. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

مثال 2

يوجد خطان متوازيين بالإضافة إلى خط t يتقاطع مع كليهما. كما في المثال السابق ، عندما يتقاطع هذا الخط مع المتوازيات ، فإنه يولد زوايا متطابقة ، واحدة على كل خط على الجانب الأيمن واثنتان على الجانب الأيسر. يوضح الشكل α و α ₁ على يمين السطر t ، وهما متطابقان.

الشكل 4. الزوايا الموضحة في الشكل متطابقة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

مثال 3

يوجد في متوازي الأضلاع أربع زوايا داخلية ، وهي متطابقة من اثنين إلى اثنين. إنها تلك الموجودة بين الرؤوس المتقابلة ، كما هو موضح في الشكل التالي ، حيث تكون الزاويتان باللون الأخضر متطابقتين ، وكذلك الزاويتان باللون الأحمر.

الشكل 5. الزوايا الداخلية لمتوازي الأضلاع متطابقة اثنان في اثنين. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

- تطابق المثلثات

مثلثين من نفس الشكل والحجم متطابقان. للتحقق من ذلك ، هناك ثلاثة معايير يمكن فحصها بحثًا عن التطابق:

- معيار LLL: الأضلاع الثلاثة للمثلثات لها نفس القياسات ، لذلك L ₁ = L ' ₁ ؛ L ₂ = L ' ₂ و L ₃ = L' _3.

الشكل 6. مثال على المثلثات المتطابقة التي قياس أضلاعها متساوية. المصدر: F. Zapata.

- معايير ALA و AAL: للمثلثات زاويتان داخليتان متساويتان والجانب بين هذه الزوايا له نفس القياس.

الشكل 7. معايير ALA و AAL لتطابق المثلث. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

- معيار LAL: جانبان متطابقان (متطابقان) وهناك نفس الزاوية بينهما.

الشكل 8. معيار LAL لتطابق المثلثات. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

تمارين محلولة

- التمرين 1

يظهر مثلثين في الشكل التالي: ΔABC و ΔECF. من المعروف أن AC = EF ، وأن AB = 6 وأن CF = 10. علاوة على ذلك ، فإن الزاويتين ∡BAC و ECFEC متطابقتان والزوايا ∡ACB و FCB متطابقتان أيضًا.

الشكل 9. مثلثات للمثال المعالج 1. المصدر: F. Zapata.

ثم طول المقطع BE يساوي:

(ط) 5

(2) 3

(3) 4

(رابعا) 2

(ت) 6

المحلول

نظرًا لأن المثلثين لهما جانب متساوي الطول AC = EF بين الزاويتين المتساويتين ∡BAC = ∡CEF و ∡BCA = CFE ، يمكن القول أن المثلثين متطابقان مع معيار ALA.

هذا هو ، BAC ≡ ΔCEF ، لذلك علينا:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

لكن المقطع المطلوب حسابه هو BE = BC - EC = 10-6 = 4.

إذن الجواب الصحيح هو (3).

- تمرين 2

يتم عرض ثلاثة مثلثات في الشكل أدناه. ومن المعروف أيضًا أن الزاويتين المشار إليهما تقيسان 80 درجة لكل منهما وأن المقاطع AB = PD و AP = CD. أوجد قيمة الزاوية X الموضحة في الشكل.

الشكل 10. مثلثات للمثال الذي تم حله 2. المصدر: F. Zapata.

المحلول

يجب عليك تطبيق خصائص المثلثات ، والتي يتم تفصيلها خطوة بخطوة.

الخطوة 1

بدءًا من معيار تطابق مثلث LAL ، يمكن القول أن مثلثي BAP و PDC متطابقان:

BAP ≡ ΔPDC

الخطوة 2

يؤدي ما سبق إلى التأكيد على أن BP = PC ، وبالتالي فإن المثلث ΔBPC هو متساوي الساقين و ∡PCB = ∡PBC = X.

الخطوه 3

إذا أطلقنا على الزاوية BPC γ ، فسيتبع ذلك:

2 س + = 180 درجة

الخطوة 4

وإذا أطلقنا على الزاويتين APB و DCP β و α الزاويتين ABP و DPC ، فلدينا:

α + β + γ = 180º (لأن APB هي زاوية مستوية).

الخطوة الخامسة

علاوة على ذلك ، α + β + 80º = 180º من خلال مجموع الزوايا الداخلية للمثلث APB.

الخطوة 6

الجمع بين كل هذه التعبيرات لدينا:

α + β = 100º

الخطوة 7

وبالتالي:

γ = 80º.

الخطوة 8

أخيرًا يتبع ذلك:

2 س + 80 درجة = 180 درجة

مع X = 50º.

المراجع

1. بالدور ، أ. 1973. هندسة الطائرات والفضاء. ثقافة أمريكا الوسطى.
2. مؤسسة CK-12. المضلعات المتطابقة. تم الاسترجاع من: ck 12.org.
3. استمتع بالرياضيات. التعاريف: نصف القطر (المضلع). تم الاسترجاع من: enjoylasmatematicas.com.
4. مرجع الرياضيات المفتوح. اختبار المضلعات من أجل التطابق. تم الاسترجاع من: mathopenref.com.
5. ويكيبيديا. التطابق (الهندسة). تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.
6. زاباتا ، ف. مثلثات ، تاريخ ، عناصر ، تصنيف ، خصائص. تم الاسترجاع من: lifeder.com.