مجموعة لانهائية: خصائص ، أمثلة - رياضيات - 2026

يُفهم أن المجموعة اللانهائية هي تلك المجموعة التي يكون فيها عدد عناصرها غير معدود. أي بغض النظر عن حجم عدد عناصرها ، فمن الممكن دائمًا العثور على المزيد.

أكثر الأمثلة الشائعة هي مجموعة لانهائية من الأعداد الطبيعية N. لا يهم حجم الرقم ، حيث يمكنك دائمًا الحصول على رقم أكبر في عملية ليس لها نهاية:

N = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، 19 ، 20 ،……… ، 41، 42، 43، ……………………………………….، 100، 101، …………………………، 126، 127، 128، ………………… ………………………}

الشكل 1. رمز اللانهاية. (بيكساباي)

من المؤكد أن مجموعة النجوم في الكون هائلة ، ولكن من غير المعروف على وجه اليقين ما إذا كانت محدودة أم لا نهائية. على عكس عدد الكواكب في النظام الشمسي المعروف بأنه مجموعة محدودة.

خصائص المجموعة اللانهائية

من بين خصائص المجموعات اللانهائية يمكننا الإشارة إلى ما يلي:

1- اتحاد مجموعتين لانهايتين يؤدي إلى ظهور مجموعة لانهائية جديدة.

2- اتحاد مجموعة محدودة بأخرى لانهائية يؤدي إلى ظهور مجموعة لانهائية جديدة.

3- إذا كانت المجموعة الفرعية لمجموعة معينة لانهائية ، فإن المجموعة الأصلية تكون أيضًا لانهائية. البيان المتبادل ليس صحيحًا.

لا يمكنك العثور على رقم طبيعي قادر على التعبير عن رقم أو عدد عناصر مجموعة لا نهائية. ومع ذلك ، قدم عالم الرياضيات الألماني جورج كانتور مفهوم العدد العابر للحدود للإشارة إلى عدد ترتيبي لا نهائي أكبر من أي رقم طبيعي.

أمثلة

الطبيعي N

المثال الأكثر شيوعًا للمجموعة اللانهائية هو الأعداد الطبيعية. الأعداد الطبيعية هي تلك التي تستخدم للعد ، لكن الأعداد الصحيحة التي قد تكون موجودة لا يمكن عدها.

لا تتضمن مجموعة الأعداد الطبيعية صفرًا ويُشار إليها عمومًا بالمجموعة N ، والتي يتم التعبير عنها بشكل شامل على النحو التالي:

N = {1، 2، 3، 4، 5،….} ومن الواضح أنها مجموعة لا نهائية.

يتم استخدام علامة القطع للإشارة إلى أنه بعد رقم واحد ، يتبعه رقم آخر ثم آخر في عملية لا نهاية لها أو لا نهاية لها.

تُعرف مجموعة الأعداد الطبيعية المرتبطة بالمجموعة التي تحتوي على الرقم صفر (0) بالمجموعة N +.

N + = {0، 1، 2، 3، 4، 5،….} وهو نتيجة اتحاد المجموعة اللانهائية N مع المجموعة المحدودة O = {0} ، مما أدى إلى المجموعة اللانهائية N +.

الأعداد الصحيحة Z

تتكون مجموعة الأعداد الصحيحة Z من أعداد طبيعية وأرقام طبيعية بعلامة سالبة وصفر.

تعتبر الأعداد الصحيحة Z تطورًا فيما يتعلق بالأعداد الطبيعية N المستخدمة أصلاً وبشكل أولي في عملية العد.

في المجموعة العددية Z من الأعداد الصحيحة ، يتم دمج الصفر لحساب أو حساب أي شيء والأرقام السالبة لحساب الاستخراج أو الخسارة أو عدم وجود شيء ما.

لتوضيح الفكرة ، افترض ظهور رصيد سلبي في الحساب المصرفي. هذا يعني أن الحساب أقل من الصفر ولا يعني ذلك فقط أن الحساب فارغ ولكن هناك فرق مفقود أو سلبي ، والذي يجب بطريقة ما استبداله بالبنك.

في شكل شامل ، تتم كتابة المجموعة اللانهائية Z من الأعداد الصحيحة على النحو التالي:

Z = {…….، -5، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، ……..}

المبررات س

في تطور عملية العد وتبادل الأشياء أو السلع أو الخدمات ، تظهر الأرقام الكسرية أو المنطقية.

على سبيل المثال ، في تبادل نصف رغيف مع تفاحتين ، في وقت تسجيل المعاملة ، حدث لشخص ما أنه يجب كتابة النصف على هيئة قسم واحد مقسم أو مقسم إلى قسمين: ½. ولكن سيتم تسجيل نصف نصف الخبز في دفاتر الأستاذ على النحو التالي: ½ / ½ = ¼.

من الواضح أن عملية التقسيم هذه يمكن أن تكون لا نهاية لها من الناحية النظرية ، على الرغم من أنها في الممارسة العملية حتى الوصول إلى آخر جزء من الخبز.

يشار إلى مجموعة الأرقام المنطقية (أو الكسرية) على النحو التالي:

س = {………، -3،….، -2،…..، -1، ……، 0،…..، 1، ……، 2،…..، 3، ……..}

تعني علامة القطع بين عددين صحيحين أنه يوجد بين هذين الرقمين أو القيم أقسام أو أقسام لا نهائية. هذا هو السبب في أن مجموعة الأعداد المنطقية هي كثيفة بلا حدود. هذا لأنه بغض النظر عن مدى قرب رقمين منطقيين من بعضهما البعض ، يمكن العثور على قيم غير محدودة.

لتوضيح ما سبق ، افترض أنه طُلب منا إيجاد رقم منطقي بين 2 و 3. يمكن أن يكون هذا الرقم 2⅓ ، وهو ما يُعرف بالرقم الكسري المكون من جزأين كاملين بالإضافة إلى ثلث الوحدة ، وهو يعادل كتابة 4/3.

بين 2 و 2⅓ يمكن إيجاد قيمة أخرى ، على سبيل المثال 2⅙. وبين 2 و 2⅙ يمكن إيجاد قيمة أخرى ، على سبيل المثال 2⅛. بين هذين ، وبينهما آخر ، وآخر وآخر.

الشكل 2. الانقسامات اللانهائية في أعداد منطقية. (مشاعات ويكيميديا)

أرقام غير منطقية

هناك أعداد لا يمكن كتابتها في صورة قسمة أو كسر لعددين طبيعيين. تُعرف هذه المجموعة العددية بالمجموعة الأولى من الأرقام غير المنطقية وهي أيضًا مجموعة لا نهائية.

بعض العناصر أو ممثلي هذه المجموعة العددية البارزة هي الرقم pi (π) أو رقم أويلر (e) أو النسبة الذهبية أو الرقم الذهبي (φ). لا يمكن كتابة هذه الأرقام إلا تقريبًا برقم منطقي:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (ويستمر إلى ما لا نهاية وما بعدها…)

e = 2.7182818284590452353602874713527…… (ويستمر إلى ما بعد اللانهاية…)

φ = 1.61803398874989484820 …….. (إلى ما لا نهاية….. وما بعدها…..)

تظهر أرقام غير منطقية أخرى عند محاولة إيجاد حلول لمعادلات بسيطة للغاية ، على سبيل المثال لا تحتوي المعادلة X ^ 2 = 2 على حل منطقي دقيق. يتم التعبير عن الحل الدقيق من خلال الرموز التالية: X = √2 ، والتي تقرأ x يساوي جذر اثنين. التعبير المنطقي التقريبي (أو العشري) لـ √2 هو:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

هناك أعداد غير منطقية لا حصر لها ، √3 ، √7 ، √11 ، 3 ^ (⅓) ، 5 ^ (⅖) على سبيل المثال لا الحصر.

مجموعة ريالات R

الأعداد الحقيقية هي مجموعة الأرقام المستخدمة غالبًا في حساب التفاضل والتكامل الرياضي والفيزياء والهندسة. مجموعة الأرقام هذه هي اتحاد الأعداد المنطقية Q والأرقام غير المنطقية I:

R = Q U أنا

اللانهاية أكبر من اللانهاية

من بين المجموعات اللانهائية ، بعضها أكبر من البعض الآخر. على سبيل المثال، مجموعة الأعداد الطبيعية N هو لانهائي ولكن هي مجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة Z الذي هو لانهائي، لذلك مجموعة لانهائية Z أكبر من مجموعة لانهائية N.

وبالمثل، فإن مجموعة من الأعداد الصحيحة Z هو مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية R ، وبالتالي فإن مجموعة R هو "لا نهاية" ومجموعة لانهائية Z.

المراجع

1. سيليبيريما. أمثلة على المجموعات اللانهائية. تم الاسترجاع من: celeberrima.com
2. فوينتيس ، أ. (2016). الرياضيات الأساسية. مقدمة في حساب التفاضل والتكامل. Lulu.com.
3. جارو ، م. (2014). الرياضيات: المعادلات التربيعية: كيف نحل المعادلة التربيعية. ماريلو جارو.
4. هايسلر ، إي أف ، وبول ، آر إس (2003). الرياضيات للإدارة والاقتصاد. تعليم بيرسون.
5. Jiménez، J.، Rodríguez، M.، Estrada، R. (2005). الرياضيات 1 سبتمبر. عتبة.
6. بريسيادو ، كونيتيكت (2005). دورة الرياضيات الثالثة. المقدمة الافتتاحية.
7. روك ، نيو مكسيكو (2006). أنا الجبر سهل! سهل جدا. صحافة فريق روك.
8. سوليفان ، ج. (2006). الجبر وعلم المثلثات. تعليم بيرسون.
9. ويكيبيديا. مجموعة لانهائية. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com