يُفهم أن المجموعة المحدودة هي أي مجموعة تحتوي على عدد محدود أو قابل للعد من العناصر. أمثلة على المجموعات المحدودة هي الرخام الموجود في كيس ، أو مجموعة المنازل في الحي ، أو المجموعة P المكونة من أول عشرين (20) عددًا طبيعيًا:
ف = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، 19 ، 20}
من المؤكد أن مجموعة النجوم في الكون هائلة ، ولكن من غير المعروف على وجه اليقين ما إذا كانت محدودة أم لا نهائية. ومع ذلك ، فإن مجموعة الكواكب في النظام الشمسي محدودة.
الشكل 1. مجموعة المضلعات محدودة والمجموعة الفرعية من المضلعات العادية أيضًا. (ويكيميديا كومنز)
يُطلق على عدد العناصر في مجموعة منتهية اسمها الأساسي ، وبالنسبة للمجموعة P يُشار إليها على النحو التالي: البطاقة (P) أو # P. المجموعة الفارغة تحتوي على صفر من العناصر الأساسية وتعتبر مجموعة محدودة.
الخصائص
من بين خصائص المجموعات المحدودة ما يلي:
1- اتحاد المجموعات المنتهية يؤدي إلى ظهور مجموعة محدودة جديدة.
2- إذا تقاطعت مجموعتان متناهيتان ، فإن مجموعة منتهية جديدة تنتج.
3- مجموعة فرعية من مجموعة منتهية محدودة وأصلها أقل من أو يساوي مجموعة المجموعة الأصلية.
4- المجموعة الفارغة هي مجموعة محدودة.
أمثلة
هناك العديد من الأمثلة على المجموعات المحدودة. تتضمن بعض الأمثلة ما يلي:
المجموعة M لأشهر السنة ، والتي يمكن كتابتها بشكل موسع على النحو التالي:
M = {يناير ، فبراير ، مارس ، أبريل ، مايو ، يونيو ، يوليو ، أغسطس ، سبتمبر ، أكتوبر ، نوفمبر ، ديسمبر} ، أصل M هو 12.
المجموعة S من أيام الأسبوع: S = {الاثنين ، الثلاثاء ، الأربعاء ، الخميس ، الجمعة ، السبت ، الأحد}. أصل S هو 7.
مجموعة Ñ من الحروف الأبجدية الإسبانية عبارة عن مجموعة محدودة، وهذه المجموعة من قبل التمديد هو مكتوب على هذا النحو:
Ñ = {a، b، c، d، e، f، g، h، i، j، k، l، m، n، ñ، o، p، q، r، s، t، u، v، w ، x، y، z} وأصلها هو 27.
المجموعة V من حروف العلة باللغة الإسبانية هي مجموعة فرعية من المجموعة Ñ:
لذلك فإن V ⊂ Ñ مجموعة محدودة.
تتم كتابة المجموعة المحدودة V بشكل شامل على النحو التالي: V = {a، e، i، o، u} وأصلها هو 5.
يمكن التعبير عن المجموعات بالفهم. المجموعة F المكونة من أحرف كلمة "منتهي" مثال:
F = {x / x حرف من كلمة "منتهي"}
المجموعة المذكورة المعبر عنها بشكل موسع ستكون:
F = {f، i، n، t، o} التي لها أصل 5 وبالتالي فهي مجموعة منتهية.
مزيد من الأمثلة
ألوان قوس قزح هي مثال آخر على مجموعة محدودة ، المجموعة C من هذه الألوان هي:
C = {أحمر ، برتقالي ، أصفر ، أخضر ، سماوي ، أزرق ، بنفسجي} وأصلها هو 7.
مجموعة المراحل F للقمر هي مثال آخر على مجموعة محدودة:
F = {القمر الجديد ، الربع الأول ، اكتمال القمر ، الربع الأخير} هذه المجموعة لها علاقة أساسية 4.
الشكل 2. تشكل كواكب النظام الشمسي مجموعة محدودة. (بيكساباي)
مجموعة محدودة أخرى هي المجموعة التي تكونت بواسطة كواكب النظام الشمسي:
P = {عطارد ، الزهرة ، الأرض ، المريخ ، المشتري ، زحل ، أورانوس ، نبتون ، بلوتو} من أصل 9.
تمارين محلولة
التمرين 1
المجموعة التالية A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} معطاة. عبر عنها بالكلمات واكتبها بالملحق ، وأشر إلى أصلها وقل ما إذا كانت محدودة أم لا.
الحل: المجموعة A هي مجموعة الأعداد الحقيقية x بحيث تكون x تكعيب نتيجة 27.
للمعادلة x ^ 3 = 27 ثلاثة حلول: هي x1 = 3 ، x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) و x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). من بين الحلول الثلاثة ، يكون x1 فقط حقيقيًا ، في حين أن الحلين الآخرين عبارة عن أعداد مركبة.
نظرًا لأن تعريف المجموعة A يشير إلى أن x ينتمي إلى الأعداد الحقيقية ، فإن حلول الأعداد المركبة ليست جزءًا من المجموعة A.
المجموعة أ المعبر عنها على نطاق واسع هي:
أ = {3} ، وهي مجموعة محدودة من أصل 1.
تمرين 2
اكتب بصيغة رمزية (عن طريق الفهم) وبشكل موسع المجموعة B من الأعداد الحقيقية الأكبر من 0 (صفر) وأقل من أو تساوي 0 (صفر). حدد أصلها وما إذا كانت محدودة أم لا.
الحل: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
المجموعة B فارغة لأن العدد الحقيقي x لا يمكن أن يكون أكبر وأقل من الصفر في نفس الوقت ، تمامًا كما لا يمكن أن يكون 0 وأقل أيضًا من 0.
B = {} وأصلها هو 0. المجموعة الفارغة هي مجموعة محدودة.
التمرين 3
يتم إعطاء مجموعة S من حلول معادلة معينة. المجموعة S من خلال الفهم مكتوبة على النحو التالي:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
اكتب المجموعة المذكورة في شكل شامل ، وأشر إلى أصلها وحدد ما إذا كانت مجموعة محدودة أم لا.
الحل: أولاً ، عند تحليل التعبير الذي يصف المجموعة S ، يتم الحصول على أنها مجموعة من قيم x الحقيقية التي تمثل حلولًا للمعادلة:
(س -3) (س ^ 2-9 س + 20) = 0 (*)
حل هذه المعادلة هو x = 3 ، وهو رقم حقيقي وبالتالي ينتمي إلى S. ولكن هناك المزيد من الحلول التي يمكن الحصول عليها من خلال البحث عن حلول المعادلة التربيعية:
(س ^ 2 - 9 س + 20) = 0
يمكن تحليل التعبير أعلاه على النحو التالي:
(س - 4) (س - 5) = 0
وهو ما يقودنا إلى حلين آخرين للمعادلة الأصلية (*) وهما x = 4 و x = 5. باختصار ، تحتوي المعادلة (*) على الحلول 3 و 4 و 5.
تبدو المجموعة S المعبر عنها بشكل شامل كما يلي:
S = {3، 4، 5} ، والتي لها عدد أصلي 3 وبالتالي فهي مجموعة محدودة.
التمرين 4
هناك مجموعتان A = {1، 5، 7، 9، 11} و B = {x ∊ N / x تساوي ^ x <10}.
اكتب المجموعة ب صراحة وابحث عن الاتحاد مع المجموعة أ. أوجد أيضًا تقاطع هاتين المجموعتين واستنتج.
الحل: المجموعة B تتكون من أعداد طبيعية بحيث تكون زوجية وهي أيضًا أقل من القيمة 10 ، لذلك في المجموعة الواسعة B تتم كتابتها على النحو التالي:
ب = {2، 4، 6، 8}
اتحاد المجموعة أ مع المجموعة ب هو:
الدولار الأمريكي = {1، 2، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 11}
وتقاطع المجموعة أ مع المجموعة ب مكتوب على النحو التالي:
A ⋂ B = {} = Ø هي المجموعة الفارغة.
تجدر الإشارة إلى أن اتحاد هاتين المجموعتين المحدودتين واعتراضهما يؤديان إلى مجموعات جديدة ، والتي بدورها تكون أيضًا محدودة.
المراجع
- فوينتيس ، أ. (2016). الرياضيات الأساسية. مقدمة في حساب التفاضل والتكامل. Lulu.com.
- جارو ، م. (2014). الرياضيات: المعادلات التربيعية: كيف نحل المعادلة التربيعية. ماريلو جارو.
- هايسلر ، إي أف ، وبول ، آر إس (2003). الرياضيات للإدارة والاقتصاد. تعليم بيرسون.
- Jiménez، J.، Rodríguez، M.، Estrada، R. (2005). الرياضيات 1 سبتمبر. عتبة.
- بريسيادو ، كونيتيكت (2005). دورة الرياضيات الثالثة. المقدمة الافتتاحية.
- رياضيات 10 (2018). "أمثلة على المجموعات المحدودة". تم الاسترجاع من: matematicas10.net
- روك ، نيو مكسيكو (2006). أنا الجبر سهل! سهل جدا. صحافة فريق روك.
- سوليفان ، ج. (2006). الجبر وعلم المثلثات. تعليم بيرسون.
- ويكيبيديا. مجموعة محدودة. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com