إحداثيات أسطوانية: نظام وتغيير وتمارين - رياضيات - 2026

و الإحداثيات الاسطوانية وتستخدم لتحديد نقاط في شكل ثلاثي الأبعاد، وتتألف من شعاعي تنسيق ρ، φ السمتي تنسيق و z تنسيق من الارتفاع.

يتم إسقاط النقطة P الموجودة في الفضاء بشكل متعامد على المستوى XY مما يؤدي إلى النقطة P 'في ذلك المستوى. تحدد المسافة من الأصل إلى النقطة P 'الإحداثي ρ ، بينما تحدد الزاوية التي يصنعها المحور X مع الشعاع OP' الإحداثيات φ. أخيرًا ، الإحداثي z هو الإسقاط المتعامد للنقطة P على المحور Z. (انظر الشكل 1).

الشكل 1. النقطة P للإحداثيات الأسطوانية (ρ، φ، z). (تفصيل خاص)

يكون الإحداثي الشعاعي ρ موجبًا دائمًا ، ويختلف الإحداثي السمتي φ من صفر راديان إلى اثنين باي راديان ، بينما يمكن أن يأخذ الإحداثي z أي قيمة حقيقية:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <ض <+ ∞

تغيير الإحداثيات

من السهل نسبيًا الحصول على الإحداثيات الديكارتية (x ، y ، z) للنقطة P من إحداثياتها الأسطوانية (ρ، φ، z):

س = ρ كوس (φ)

ص = ρ خطيئة (φ)

ض = ض

ولكن من الممكن أيضًا الحصول على الإحداثيات القطبية (ρ، φ، z) بدءًا من معرفة الإحداثيات الديكارتية (x، y، z) للنقطة P:

ρ = √ (س ² + ص ²)

φ = أركتان (ص / س)

ض = ض

قاعدة المتجهات في إحداثيات أسطوانية

يتم تحديد قاعدة متجهات الوحدة الأسطوانية Uρ و Uφ و Uz.

المتجه Uρ مماس للخط φ = ctte و z = ctte (يشير شعاعيًا للخارج) ، والمتجه Uφ مماس للخط ρ = ctte و z = ctte وأخيراً يكون لـ Uz نفس اتجاه المحور Z.

الشكل 2. قاعدة تنسيق أسطواني. (مشاعات ويكيميديا)

في قاعدة الوحدة الأسطوانية ، يتم كتابة متجه الموضع r للنقطة P بشكل متجه على النحو التالي:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

من ناحية أخرى ، يتم التعبير عن الإزاحة المتناهية الصغر d r من النقطة P على النحو التالي:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

وبالمثل ، فإن العنصر المتناهي الصغر للحجم dV في إحداثيات أسطوانية هو:

فولت = ρ dρ dφ dz

أمثلة

هناك أمثلة لا حصر لها لاستخدام وتطبيق الإحداثيات الأسطوانية. في رسم الخرائط ، على سبيل المثال ، يتم استخدام الإسقاط الأسطواني ، بناءً على هذه الإحداثيات بدقة. هناك المزيد من الأمثلة:

مثال 1

الإحداثيات الأسطوانية لها تطبيقات في التكنولوجيا. كمثال ، لدينا نظام CHS (Cylinder-Head-Sector) لموقع البيانات على القرص الصلب ، والذي يتكون في الواقع من عدة أقراص:

- تتوافق الأسطوانة أو المسار مع الإحداثيات ρ.

- يتوافق القطاع مع الموضع φ للقرص الذي يدور بسرعة زاوية عالية.

- يتوافق الرأس مع الموضع z لرأس القراءة على القرص المقابل.

كل بايت من المعلومات له عنوان محدد في إحداثيات أسطوانية (C ، S ، H).

الشكل 2. موقع المعلومات في إحداثيات أسطوانية على نظام القرص الصلب. (مشاعات ويكيميديا)

مثال 2

تقوم رافعات البناء بإصلاح موضع الحمولة في إحداثيات أسطوانية. يتم تحديد الوضع الأفقي من خلال المسافة إلى محور أو سهم الرافعة وموقعها الزاوي φ فيما يتعلق ببعض المحاور المرجعية. يتم تحديد الوضع الرأسي للحمل من خلال إحداثيات z للارتفاع.

الشكل 3. يمكن التعبير بسهولة عن موضع الحمولة على رافعة البناء في إحداثيات أسطوانية. (صورة pixabay - شروح R. Pérez)

تمارين محلولة

التمرين 1

توجد نقاط P1 بإحداثيات أسطوانية (3 ، 120 درجة ، -4) ونقطة P2 بإحداثيات أسطوانية (2 ، 90 درجة ، 5). أوجد المسافة الإقليدية بين هاتين النقطتين.

الحل: أولاً ، ننتقل إلى إيجاد الإحداثيات الديكارتية لكل نقطة باتباع الصيغة الموضحة أعلاه.

P1 = (3 * cos 120º، 3 * sin 120º، -4) = (-1.5، 2.60، -4)

P2 = (2 * cos 90º، 2 * sin 90º، 5) = (0، 2، 5)

المسافة الإقليدية بين P1 و P2 هي:

د (P1، P2) = ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

… √ (2.25 + 0.36 + 81) = 9.14

تمرين 2

النقطة P لها إحداثيات ديكارتية (-3 ، 4 ، 2). أوجد الإحداثيات الأسطوانية المقابلة.

الحل: ننتقل إلى إيجاد الإحداثيات الأسطوانية باستخدام العلاقات الواردة أعلاه:

ρ = √ (س ² + ص ²) = √ ((- 3) ² + 4 ²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

ض = 2

يجب أن نتذكر أن دالة قوس الظل متعددة القيم مع دورية 180 درجة. أيضًا ، يجب أن تنتمي الزاوية إلى الربع الثاني ، لأن إحداثيات x و y للنقطة P تقع في هذا الربع. هذا هو سبب إضافة 180 درجة إلى النتيجة φ.

التمرين 3

التعبير بإحداثيات أسطوانية وفي الإحداثيات الديكارتية عن سطح أسطوانة بنصف قطر 2 ويتزامن محورها مع المحور Z.

الحل: من المفهوم أن الأسطوانة لها امتداد غير محدود في اتجاه z ، وبالتالي فإن معادلة السطح المذكور في الإحداثيات الأسطوانية هي:

ρ = 2

للحصول على المعادلة الديكارتية للسطح الأسطواني ، يتم أخذ مربع كلا العضوين في المعادلة السابقة:

ρ ² = 4

نضرب كلا عضوين من المساواة السابقة في 1 ونطبق الهوية المثلثية الأساسية (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

تم تطوير الأقواس للحصول على:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

نتذكر أن الأقواس الأولى (ρ sin (φ)) هي إحداثي y لنقطة في الإحداثيات القطبية ، بينما يمثل القوسان (ρ cos (φ)) إحداثي x ، بحيث يكون لدينا معادلة الأسطوانة في الإحداثيات ديكارتي:

ص ² + س ² = 2 ²

يجب عدم الخلط بين المعادلة أعلاه والمعادلة الخاصة بالمحيط في المستوى XY ، حيث ستبدو في هذه الحالة كما يلي: {y ² + x ² = 2 ² ؛ ض = 0}.

التمرين 4

أسطوانة نصف قطرها R = 1 م وارتفاعها H = 1 م توزع كتلتها شعاعيًا وفقًا للمعادلة التالية D (ρ) = C (1 - ρ / R) حيث C ثابت بقيمة C = 1 كجم / م ³. أوجد الكتلة الكلية للأسطوانة بالكيلوجرام.

الحل: أول شيء هو إدراك أن الدالة D (ρ) تمثل كثافة الكتلة الحجمية ، وأن كثافة الكتلة موزعة في قذائف أسطوانية ذات كثافة متناقصة من المركز إلى المحيط. عنصر متناهي الصغر في الحجم وفقًا لتماثل المشكلة هو:

dV = ρ dρ 2π H

ومن ثم ، فإن الكتلة اللامتناهية في الصغر للقذيفة الأسطوانية ستكون:

dM = D (ρ) فولت

لذلك ، سيتم التعبير عن الكتلة الكلية للأسطوانة بالتكامل المحدد التالي:

M = ∫ _أو ^R D (ρ) dV = ∫ _أو ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _أو ^R (1 - / R) ρ dρ

ليس من الصعب الحصول على حل التكامل المشار إليه ، والنتيجة هي:

∫ _أو ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

بدمج هذه النتيجة في التعبير عن كتلة الأسطوانة ، نحصل على:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1 م * 1 كجم / م ³ * 1 م ² = π / 3 كجم ≈ 1.05 كجم

المراجع

1. Arfken G و Weber H. (2012). الطرق الرياضية للفيزيائيين. دليل شامل. الطبعة السابعة. الصحافة الأكاديمية. ردمك 978-0-12-384654-9
2. حساب cc. حل مشاكل الإحداثيات الأسطوانية والكروية. تم الاسترجاع من: calculo.cc
3. وايسشتاين ، إريك دبليو "إحداثيات أسطوانية." من MathWorld - ولفرام ويب. تم الاسترجاع من: mathworld.wolfram.com
4. ويكيبيديا. نظام إحداثيات أسطواني. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com
5. ويكيبيديا. الحقول المتجهة في إحداثيات أسطوانية وكروية. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com