المشتقات المتتالية (مع حل التمارين) - رياضيات - 2025

و المشتقات المتعاقبة هي تلك المستمدة من وظيفة واحدة بعد المشتق الثاني. عملية حساب المشتقات المتتالية هي كما يلي: لدينا وظيفة f ، والتي يمكننا اشتقاقها وبالتالي الحصول على دالة المشتق f '. يمكننا اشتقاق هذه المشتقة لـ f مرة أخرى ، والحصول على (f ')'.

هذه الوظيفة الجديدة تسمى المشتق الثاني ؛ جميع المشتقات المحسوبة من الثانية متتالية ؛ هذه ، وتسمى أيضًا الترتيب الأعلى ، لها تطبيقات رائعة ، مثل إعطاء معلومات حول مخطط الرسم البياني للدالة ، واختبار المشتق الثاني للأطراف النسبية ، وتحديد السلاسل اللانهائية.

تعريف

باستخدام تدوين Leibniz ، لدينا أن مشتق الدالة "y" بالنسبة إلى "x" هو dy / dx. للتعبير عن المشتق الثاني لـ "y" باستخدام تدوين Leibniz ، نكتب على النحو التالي:

بشكل عام ، يمكننا التعبير عن المشتقات المتتالية على النحو التالي مع تدوين Leibniz ، حيث يمثل n ترتيب المشتق.

الرموز الأخرى المستخدمة هي كما يلي:

بعض الأمثلة حيث يمكننا رؤية الرموز المختلفة هي:

مثال 1

احصل على جميع مشتقات الدالة f المحددة بواسطة:

باستخدام تقنيات الاشتقاق المعتادة ، لدينا أن مشتق f هو:

بتكرار العملية ، يمكننا الحصول على المشتق الثاني ، والمشتق الثالث ، وما إلى ذلك.

لاحظ أن المشتق الرابع هو صفر ومشتق الصفر هو صفر ، لذلك لدينا:

مثال 2

احسب المشتق الرابع للدالة التالية:

اشتقاق الوظيفة المعينة التي لدينا نتيجة لذلك:

السرعة والتسارع

كان أحد الدوافع التي أدت إلى اكتشاف المشتق هو البحث عن تعريف السرعة اللحظية. التعريف الرسمي هو كما يلي:

لنفترض أن y = f (t) دالة يصف رسمها البياني مسار الجسيم في الوقت t ، ثم تُعطى سرعته في الوقت t من خلال:

بمجرد الحصول على سرعة الجسيم ، يمكننا حساب التسارع اللحظي ، والذي يتم تعريفه على النحو التالي:

التسارع اللحظي لجسيم مساره y = f (t) هو:

مثال 1

يتحرك الجسيم على طول خط وفقًا لوظيفة الموضع:

حيث يتم قياس "y" بالأمتار و "t" بالثواني.

- في أي لحظة سرعته 0؟

- في أي لحظة تسارعه 0؟

عند اشتقاق دالة الموضع «و» نجد أن سرعتها وتسارعها يتم إعطاؤهما على التوالي من خلال:

للإجابة على السؤال الأول ، يكفي تحديد متى تصبح الدالة v صفرًا ؛ هذا هو:

ننتقل إلى السؤال التالي بطريقة مماثلة:

مثال 2

يتحرك الجسيم على طول خط وفقًا لمعادلة الحركة التالية:

حدد "t و y" و "v" عندما تكون a = 0.

مع العلم أن السرعة والتسارع من خلال

ننتقل إلى الاشتقاق والحصول على:

جعل = 0 ، لدينا:

من حيث يمكننا استنتاج أن قيمة t لـ a تساوي صفرًا هي t = 1.

بعد ذلك ، عند تقييم دالة المركز ودالة السرعة عند t = 1 ، لدينا:

التطبيقات

اشتقاق صريح

يمكن أيضًا الحصول على المشتقات المتتالية عن طريق الاشتقاق الضمني.

مثال

بالنظر إلى القطع الناقص التالي ، ابحث عن "y":

بالاشتقاق الضمني فيما يتعلق بـ x ، لدينا:

ثم إعادة الاشتقاق ضمنيًا بالنسبة إلى x يعطينا:

أخيرًا ، لدينا:

التطرف النسبي

من الاستخدامات الأخرى التي يمكن أن نعطيها للمشتقات من الدرجة الثانية هي حساب النهايات النسبية للدالة.

يخبرنا معيار المشتق الأول للأحجام المحلية المتطرفة أنه إذا كان لدينا دالة مستمرة f على فترة (أ ، ب) وكان هناك c ينتمي إلى الفترة المذكورة بحيث تختفي f في c (أي أن c نقطة حرجة) ، قد تحدث واحدة من ثلاث حالات:

- إذا كانت f´ (x)> 0 لأي x ينتمي إلى (a، c) و f´ (x) <0 بالنسبة إلى x المنتمي إلى (c، b) ، فإن f (c) هي قيمة قصوى محلية.

- إذا كانت f´ (x) <0 لأي x تنتمي إلى (a، c) و f´ (x)> 0 بالنسبة إلى x التي تنتمي إلى (c، b) ، فإن f (c) هي قيمة صغرى محلية.

- إذا كانت f´ (x) لها نفس علامة الدخول (a ، c) وفي (c ، b) ، فهذا يعني أن f (c) ليست حدًا محليًا.

باستخدام معيار المشتق الثاني ، يمكننا معرفة ما إذا كان العدد الحرج للدالة هو الحد الأقصى المحلي أو الحد الأدنى ، دون الحاجة إلى رؤية علامة الدالة في الفترات المذكورة أعلاه.

يخبرنا معيار الانجراف الثاني أنه إذا كانت f´ (c) = 0 وأن f´´ (x) مستمر في (أ ، ب) ، يحدث ذلك إذا كانت f´´ (c)> 0 ثم f (c) هو الحد الأدنى المحلي وإذا كانت f´´ (c) <0 فإن f (c) هي قيمة قصوى محلية.

إذا كانت f´´ (c) = 0 ، فلا يمكننا استنتاج أي شيء.

مثال

إذا كانت الدالة f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² ، فأوجد القيمة العظمى والصغرى النسبية لـ f باستخدام معيار المشتق الثاني.

أولاً نحسب f´ (x) و f´´ (x) ولدينا:

f'(س) = 4X ³ + 4x و ² - 8X

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

الآن ، f´ (x) = 0 إذا ، وفقط إذا كان 4x (x + 2) (x - 1) = 0 ، وهذا يحدث عندما x = 0 ، x = 1 أو x = - 2.

لتحديد ما إذا كانت الأعداد الحرجة التي تم الحصول عليها متطرفة نسبية ، يكفي تقييمها عند f وبالتالي مراقبة علامتها.

f´´ (0) = - 8 ، لذا f (0) هي قيمة عظمى محلية.

f´´ (1) = 12 ، لذا فإن f (1) هي قيمة صغرى محلية.

f´´ (- 2) = 24 ، لذا فإن f (- 2) هي قيمة صغرى محلية.

سلسلة تايلور

دع f تكون دالة محددة على النحو التالي:

هذه الوظيفة لها نصف قطر تقارب R> 0 ولها مشتقات لجميع الطلبات في (-R ، R). تعطينا المشتقات المتتالية لـ f:

بأخذ x = 0 ، يمكننا الحصول على قيم c _n كدالة لمشتقاتها على النحو التالي:

إذا أخذنا = 0 كوظيفة f (أي f ^ 0 = f) ، فيمكننا إعادة كتابة الدالة كما يلي:

لنفكر الآن في الدالة كسلسلة من القوى عند x = a:

إذا أجرينا تحليلًا مشابهًا للتحليل السابق ، فسيتعين علينا كتابة الوظيفة f على النحو التالي:

تُعرف هذه السلسلة باسم سلسلة Taylor من f إلى a. عندما تكون a = 0 لدينا حالة معينة تسمى سلسلة Maclaurin. هذا النوع من السلاسل ذو أهمية رياضية كبيرة خاصة في التحليل العددي ، حيث أنه بفضل هذه يمكننا تحديد الوظائف في أجهزة الكمبيوتر مثل e ^x و sin (x) و cos (x).

مثال

احصل على سلسلة Maclaurin لـ e ^x.

لاحظ أنه إذا كانت f (x) = e ^x ، فإن f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x و f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1 ، فإن سلسلة Maclaurin الخاصة بها هي:

المراجع

1. فرانك ايريس ، ج. ، اند مندلسون ، إي (بدون تاريخ). الحساب 5ed. ماك جراو هيل.
2. ليثولد ، إل (1992). الحساب مع الهندسة التحليلية. HARLA، SA
3. بورسيل ، EJ ، Varberg ، D. ، & Rigdon ، SE (2007). عملية حسابية. المكسيك: تعليم بيرسون.
4. ساينز ، ج. (2005). التفاضل والتكامل. الوتر.
5. ساينز ، ج. (بدون تاريخ). حساب التكامل. الوتر.