A دالة شمولية هو أي علاقة حيث كل عنصر من عناصر تنتمي إلى مجال مقابل هو صورة من عنصر واحد على الأقل في المجال. تُعرف أيضًا باسم دالة المغلف ، وهي جزء من تصنيف الوظائف فيما يتعلق بالطريقة التي ترتبط بها عناصرها.

على سبيل المثال ، دالة F: A → B محددة بواسطة F (x) = 2x

والتي تقرأ " F الذي ينتقل من A إلى B المحدد بواسطة F (x) = 2x"

يجب عليك تحديد مجموعات البداية والنهاية A و B.

ج: {1، 2، 3، 4، 5} الآن القيم أو الصور التي سينتج عنها كل عنصر من هذه العناصر عند تقييمها في F ستكون عناصر النطاق المشترك.

و (1) = 2

و (2) = 4

و (3) = 6

و (4) = 8

و (5) = 10

وبالتالي تكوين المجموعة ب: {2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10}

يمكن استنتاج ما يلي:

F: {1، 2، 3، 4، 5} → {2، 4، 6، 8، 10} محددة بواسطة F (x) = 2x إنها دالة تخمينية

يجب أن ينتج كل عنصر من المجال المشترك من عملية واحدة على الأقل للمتغير المستقل من خلال الوظيفة المعنية. لا توجد قيود على الصور ، يمكن أن يكون عنصر المجال المشترك صورة لأكثر من عنصر واحد في المجال ولا يزال يحاول وظيفة تخمين.

في الصورة 2 يتم عرض أمثلة مع الوظائف التخمينية.

المصدر: المؤلف

في البداية ، لوحظ أنه يمكن إحالة الصور إلى نفس العنصر ، دون المساس بخصوصية الوظيفة.

في الثانية نرى توزيعًا عادلًا بين المجال والصور. يؤدي هذا إلى ظهور الوظيفة الحيوية ، حيث يجب استيفاء معايير وظيفة الحقن والوظيفة التخمينية.

هناك طريقة أخرى لتحديد الوظائف التخمينية وهي التحقق مما إذا كان المجال المشترك يساوي رتبة الوظيفة. هذا يعني أنه إذا كانت مجموعة الوصول مساوية للصور التي توفرها الوظيفة عند تقييم المتغير المستقل ، فإن الوظيفة تكون خاطفة.

الخصائص

للنظر في وظيفة جزئية ، يجب تحقيق ما يلي:

دع F: D _f → C _f

∀ ب ℮ ج _و ه أ ℮ د _و / و (أ) = ب

هذه هي الطريقة الجبرية لإثبات أنه لكل "b" ينتمي إلى C _f يوجد "a" ينتمي إلى D _f بحيث تكون الوظيفة F التي يتم تقييمها عند "a" تساوي "b".

المفاجئة هي خاصية مميزة للوظائف ، حيث يتشابه المجال المشترك والمدى. وبالتالي ، فإن العناصر التي يتم تقييمها في الوظيفة تشكل مجموعة الوصول.

تكييف الوظيفة

في بعض الأحيان ، يمكن أن تخضع الوظيفة غير التخمينية لظروف معينة. هذه الشروط الجديدة يمكن أن تجعلها وظيفة تخمينية.

جميع أنواع التعديلات على المجال والمجال الرمزي للوظيفة صالحة ، حيث يكون الهدف هو تحقيق خصائص التأثر في العلاقة المقابلة.

أمثلة: تمارين محلولة

للوفاء بشروط الجاذبية ، يجب تطبيق تقنيات تكييف مختلفة ، وذلك للتأكد من أن كل عنصر من عناصر المجال الكودي ضمن مجموعة صور الوظيفة.

التمرين 1

• دع الدالة F: R → R تُحدد بالخط F (x) = 8 - x

أ:

المصدر: المؤلف

في هذه الحالة ، تصف الوظيفة خطًا مستمرًا ، والذي يتضمن جميع الأرقام الحقيقية في كل من المجال والمدى. نظرًا لأن نطاق الدالة R _f يساوي المجال الكودي R ، فيمكن استنتاج ما يلي:

F: R → R المعرّفة بالخط F (x) = 8 - x هي دالة تخمينية.

ينطبق هذا على جميع الوظائف الخطية (الوظائف التي تكون أعلى درجة من المتغير فيها واحدة).

تمرين 2

• ادرس الوظيفة F: R → R التي حددتها F (x) = x ²: حدد ما إذا كان ذلك بمثابة افتراض. إذا لم يكن كذلك ، أظهر الشروط اللازمة لجعلها تخيلية.

المصدر: المؤلف

أول شيء يجب أخذه في الاعتبار هو المجال المقابل لـ F ، والذي يتكون من الأعداد الحقيقية R. لا توجد طريقة للدالة لإعطاء قيم سالبة ، مما يستبعد القيم الحقيقية السالبة من الصور المحتملة.

تكييف المجال المشترك للفاصل الزمني. يتم تجنب ترك عناصر المجال غير المرتبط من خلال F.

تتكرر الصور لأزواج من عناصر المتغير المستقل ، مثل x = 1 و x = - 1. لكن هذا يؤثر فقط على حقن الوظيفة ، ولا يمثل مشكلة لهذه الدراسة.

بهذه الطريقة يمكن استنتاج ما يلي:

F: R → . يجب أن يكون هذا الفاصل الزمني شرطًا للنطاق المشترك لتحقيق انسيابية الوظيفة.

F: R → محدد بواسطة F (x) = Sen (x) إنها وظيفة تخمينية

F: R → محدد بواسطة F (x) = Cos (x) إنها دالة تخمينية

التمرين 4

• ادرس الوظيفة

F:). دفع ({}) ؛

المصدر: المؤلف

الوظيفة F (x) = ± √x لها الخصوصية التي تحدد متغيرين تابعين لكل قيمة من "x". أي أن النطاق يتلقى عنصرين لكل عنصر تم إنشاؤه في المجال. يجب التحقق من القيمة الموجبة والسالبة لكل قيمة من "x".

عند مراقبة مجموعة البداية ، يُلاحظ أن المجال قد تم تقييده بالفعل ، وذلك لتجنب حالات عدم التحديد الناتجة عند تقييم رقم سالب داخل جذر زوجي.

عند التحقق من نطاق الوظيفة ، يلاحظ أن كل قيمة من المجال الشفري تنتمي إلى النطاق.

بهذه الطريقة يمكن استنتاج ما يلي:

F: [0، ∞) → R مُعرَّفة بواسطة F (x) = ± functionx إنها وظيفة تخمينية

التمرين 4

• ادرس الوظيفة F (x) = Ln x تشير إلى ما إذا كانت دالة تخمينية. قم بتكييف مجموعات الوصول والمغادرة لتلائم الوظيفة مع معايير التخمين.

المصدر: المؤلف

كما هو موضح في الرسم البياني ، يتم تعريف الدالة F (x) = Ln x لقيم "x" الأكبر من الصفر. بينما قيم "و" أو الصور يمكن أن تأخذ أي قيمة حقيقية.

بهذه الطريقة يمكننا قصر مجال F (x) = على الفترة (0، ∞)

طالما يمكن الاحتفاظ بنطاق الوظيفة كمجموعة من الأعداد الحقيقية R.

بالنظر إلى ذلك ، يمكن استنتاج ما يلي:

F: [0، ∞) → R مُعرَّفة بواسطة F (x) = Ln x إنها دالة تخمينية

التمرين 5

• ادرس دالة القيمة المطلقة F (x) = - x - وحدد مجموعتي الوصول والمغادرة التي تفي بمعايير التأهب.

المصدر: المؤلف

يتم تحقيق مجال الوظيفة لجميع الأعداد الحقيقية R. بهذه الطريقة ، يجب تنفيذ التكييف الوحيد في المجال المشترك ، مع الأخذ في الاعتبار أن دالة القيمة المطلقة لا تأخذ سوى القيم الإيجابية.

ننتقل إلى إنشاء المجال المشترك للوظيفة التي تساوي رتبة نفس

[0، ∞)

الآن يمكن استنتاج أن:

F: [0، ∞) → R مُعرَّفة بواسطة F (x) = - x - إنها دالة سطحية

تمارين مقترحة

1. تحقق مما إذا كانت الوظائف التالية تخمينية:

• F: (0 ، ∞) → R محدد بواسطة F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R محدد بواسطة F (x) = x ³
• F: R → [1، ∞) محدد بواسطة F (x) = x ² + 1
• [0، ∞) → R محدد بواسطة F (x) = السجل (2x + 3)
• F: R → R محدد بواسطة F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R محددة بواسطة F (x) = 1 / x

المراجع

1. مقدمة في المنطق والتفكير النقدي. ميريلي إتش سالمون. جامعة بيتسبرغ
2. مشاكل في التحليل الرياضي. بيوتر بيلر ، ألفريد ويتكوفسكي. جامعة فروتسواف. بولندا.
3. عناصر التحليل المجرد. ميشال أوسيركويد دكتوراه. قسم الرياضيات. كلية دبلن الجامعية ، بيلدفيلد ، دوبليند 4
4. مقدمة في المنطق ومنهجية العلوم الاستنتاجية. ألفريد تارسكي ، نيويورك أكسفورد. مطبعة جامعة أكسفورد.
5. مبادئ التحليل الرياضي. إنريكي لينيس إسكاردو. افتتاحية Reverté S. A 1991. برشلونة أسبانيا.