و ظيفة لوغاريتمي هي العلاقة الرياضية التي يقترن كل ايجابية العدد الحقيقي X مع ذ اللوغاريتم على قاعدة لذلك. هذه العلاقة تفي بالمتطلبات لتكون دالة: كل عنصر x ينتمي إلى المجال له صورة فريدة.
هكذا:
بما أن اللوغاريتم المستند إلى رقم x هو الرقم y الذي يجب أن ترفع القاعدة a إليه للحصول على x.
- لوغاريتم القاعدة دائمًا 1. وبالتالي ، فإن الرسم البياني لـ f (x) = log a x يتقاطع دائمًا مع المحور x عند النقطة (1،0)
-الدالة اللوغاريتمية متجاوزة ولا يمكن التعبير عنها باعتبارها كثيرة الحدود أو كحاصل قسمة منها. بالإضافة إلى اللوغاريتم ، تشمل هذه المجموعة الدوال المثلثية والأسي ، من بين أمور أخرى.
أمثلة
يمكن إنشاء الدالة اللوغاريتمية من خلال قواعد مختلفة ، ولكن الأكثر استخدامًا هي 10 و e ، حيث e هو رقم أويلر الذي يساوي 2.71828….
عند استخدام الأساس 10 ، يُطلق على اللوغاريتم اسم اللوغاريتم العشري أو اللوغاريتم العادي أو اللوغاريتم العادي أو اللوغاريتم العادي فقط.
وإذا تم استخدام الرقم e ، فإنه يُسمى اللوغاريتم الطبيعي ، بعد جون نابير ، عالم الرياضيات الاسكتلندي الذي اكتشف اللوغاريتمات.
الترميز المستخدم لكل واحد هو كما يلي:
- اللوغاريتم العشري: السجل 10 x = السجل x
- اللوغاريتم النيبري: ln x
عندما تنوي استخدام قاعدة أخرى ، فمن الضروري للغاية الإشارة إليها على أنها رمز منخفض ، لأن لوغاريتم كل رقم يختلف باختلاف القاعدة المراد استخدامها. على سبيل المثال ، إذا كانت لوغاريتمات في الأساس 2 ، فاكتب:
ص = سجل 2 س
لنلقِ نظرة على لوغاريتم الرقم 10 في ثلاث قواعد مختلفة لتوضيح هذه النقطة:
سجل 10 = 1
10 = 2.30259
سجل 2 10 = 3.32193
الآلات الحاسبة الشائعة تجلب فقط اللوغاريتمات العشرية (دالة السجل) واللوغاريتم الطبيعي (دالة ln). توجد على الإنترنت حاسبات ذات قواعد أخرى. على أي حال ، يمكن للقارئ ، بمساعدته ، التحقق من استيفاء القيم السابقة:
10 1 = 10
هـ 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
ترجع الاختلافات العشرية الصغيرة إلى عدد المنازل العشرية المأخوذة في حساب اللوغاريتم.
مزايا اللوغاريتمات
من بين مزايا استخدام اللوغاريتمات السهولة التي توفرها للعمل بأعداد كبيرة ، باستخدام اللوغاريتمات الخاصة بهم بدلاً من الرقم مباشرة.
هذا ممكن لأن دالة اللوغاريتم تنمو بشكل أبطأ مع زيادة الأرقام ، كما نرى في الرسم البياني.
لذلك حتى مع وجود أعداد كبيرة جدًا ، فإن لوغاريتماتها أصغر بكثير ، كما أن التلاعب بالأعداد الصغيرة أسهل دائمًا.
بالإضافة إلى ذلك ، فإن اللوغاريتمات لها الخصائص التالية:
- المنتج: log (ab) = log a + log b
- الحاصل: السجل (أ / ب) = السجل أ - السجل ب
- الطاقة: log a b = b.log a
وبهذه الطريقة ، تصبح المنتجات والحواجز عمليات جمع وطرح لأرقام أصغر ، بينما يصبح التمكين منتجًا بسيطًا على الرغم من أن القوة عالية.
هذا هو السبب في أن اللوغاريتمات تسمح لنا بالتعبير عن أرقام تختلف في نطاقات كبيرة جدًا من القيم ، مثل شدة الصوت ودرجة الحموضة في المحلول وسطوع النجوم والمقاومة الكهربائية وشدة الزلازل على مقياس ريختر.
الشكل 2. تستخدم اللوغاريتمات على مقياس ريختر لتقدير حجم الزلازل. تُظهر الصورة مبنى منهارًا في كونسبسيون ، تشيلي ، أثناء زلزال عام 2010. المصدر: ويكيميديا كومنز.
دعونا نرى مثالاً على التعامل مع خصائص اللوغاريتمات:
مثال
أوجد قيمة x في التعبير التالي:
الرد
لدينا هنا معادلة لوغاريتمية ، لأن المجهول موجود في حجة اللوغاريتم. يتم حلها عن طريق ترك لوغاريتم واحد على كل جانب من جوانب المساواة.
نبدأ بوضع جميع المصطلحات التي تحتوي على "x" على يسار المساواة ، وتلك التي تحتوي على أرقام فقط إلى اليمين:
تسجيل (5x + 1) - تسجيل (2x-1) = 1
على اليسار لدينا طرح اثنين من اللوغاريتمات ، والتي يمكن كتابتها على أنها لوغاريتم خارج القسمة:
سجل = 1
ومع ذلك ، يوجد على اليمين الرقم 1 ، والذي يمكننا التعبير عنه كـ log 10 ، كما رأينا سابقًا. وبالتالي:
سجل = تسجيل 10
لكي تكون المساواة صحيحة ، يجب أن تكون حجج اللوغاريتمات متساوية:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5 س + 1 = 10 (2 س - 1)
5 س + 1 = 20 س - 10
-15 س = -11
س = 11/15
تمرين التطبيق: مقياس ريختر
في عام 1957 ، وقع زلزال في المكسيك بلغت قوته 7.7 درجة بمقياس ريختر. في عام 1960 ، وقع زلزال آخر بقوة أكبر في تشيلي ، بلغت قوته 9.5 درجة.
احسب عدد المرات التي كان فيها الزلزال في تشيلي أكثر شدة من الزلزال الذي وقع في المكسيك ، مع العلم أن مقدار M R على مقياس ريختر يتم الحصول عليه من خلال الصيغة:
M R = تسجيل (10 4 I)
المحلول
إن مقدار الزلزال على مقياس ريختر دالة لوغاريتمية. سنقوم بحساب شدة كل زلزال ، حيث لدينا مقدار ريختر. لنفعل ذلك خطوة بخطوة:
- المكسيك: 7.7 = لوغاريتم (10 4 I)
نظرًا لأن معكوس دالة اللوغاريتم هو الأسي ، فإننا نطبق هذا على جانبي المساواة بقصد حل I ، الموجود في حجة اللوغاريتم.
نظرًا لأنها لوغاريتمات عشرية ، فإن الأساس هو 10. ثم:
10 7.7 = 10 4 أنا
كانت شدة زلزال المكسيك:
أنا م = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- تشيلي: 9.5 = سجل (10 4 I)
الإجراء نفسه يقودنا إلى شدة التشيلي I الفصل الزلزال:
أنا Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
الآن يمكننا مقارنة كلتا الشدة:
أنا Ch / أنا M = 10 5.5 / 10 3.7 = 10 1.8 = 63.1
أنا Ch = 63.1. أنا م
كان الزلزال الذي ضرب تشيلي أقوى بنحو 63 مرة من الزلزال الذي ضرب المكسيك. نظرًا لأن الحجم لوغاريتمي ، فإنه ينمو بشكل أبطأ من الشدة ، لذا فإن الاختلاف بمقدار 1 في الحجم يعني سعة أكبر 10 أضعاف للموجة الزلزالية.
الفرق بين شدة الزلزالين هو 1.8 ، لذلك يمكننا أن نتوقع اختلافًا في الشدة أقرب إلى 100 من 10 ، كما حدث بالفعل.
في الواقع ، إذا كان الفارق 2 بالضبط ، لكان زلزال تشيلي أقوى 100 مرة من الزلزال المكسيكي.
المراجع
- Carena، M. 2019. دليل الرياضيات لما قبل الجامعة. جامعة ليتورال الوطنية.
- Figuera، J. 2000. الرياضيات 1. عام متنوع. إصدارات CO-BO.
- Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
- لارسون ، ر. 2010. حساب متغير. 9. الإصدار. ماكجرو هيل.
- ستيوارت ، ج. 2006. ما قبل الحساب: الرياضيات لحساب التفاضل والتكامل. الخامس. الإصدار. سينجاج ليرنينج.