الوظيفة الحيوية: ما هي ، كيف يتم ذلك ، أمثلة ، تمارين - رياضيات - 2025

و ظيفة bijective واحد هو أن يلبي حالة مزدوجة من كونها injective وsurjective. أي أن جميع عناصر المجال لها صورة واحدة في المجال المشترك ، وبالتالي فإن المجال المقابل يساوي رتبة الوظيفة (R _f).

يتم تحقيقه من خلال النظر في علاقة رأس برأس بين عناصر المجال والمجال. مثال بسيط هو الوظيفة F: R → R التي يحددها الخط F (x) = x

المصدر: المؤلف

ويلاحظ أنه لكل قيمة للمجال أو مجموعة البداية (ينطبق كلا المصطلحين بالتساوي) توجد صورة واحدة في النطاق الشفري أو مجموعة الوصول. بالإضافة إلى ذلك ، لا يوجد عنصر في المجال المشترك بخلاف الصورة.

بهذه الطريقة F: R → R المعرَّف بواسطة السطر F (x) = x هو حيوي

كيف تقوم بعمل حيوي؟

للإجابة على هذا، فمن الضروري أن تكون واضحة حول المفاهيم المتعلقة الضخ و Overjectivity وظيفة ، فضلا عن معايير لوظائف تكييف من أجل تكييفها مع المتطلبات.

قابلية وظيفة

تكون الوظيفة حقنة عندما يرتبط كل عنصر من عناصر مجالها بعنصر واحد من المجال الرمز. يمكن أن يكون عنصر المجال المشترك صورة لعنصر واحد فقط من المجال ، وبهذه الطريقة لا يمكن تكرار قيم المتغير التابع.

للنظر في وظيفة الحقن ، يجب استيفاء ما يلي:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

جرثومية وظيفة

تُصنف الوظيفة على أنها خاطفة إذا كان كل عنصر في المجال السري الخاص بها هو صورة لعنصر واحد على الأقل من المجال.

للنظر في وظيفة جزئية ، يجب تحقيق ما يلي:

دع F: D _f → C _f

∀ ب ℮ ج _و ه أ ℮ د _و / و (أ) = ب

هذه هي الطريقة الجبرية لإثبات أنه لكل "b" ينتمي إلى C _f يوجد "a" ينتمي إلى D _f بحيث تكون الوظيفة المقيمة في "a" تساوي "b".

تكييف الوظيفة

في بعض الأحيان يمكن أن تخضع الوظيفة غير المنحازة لظروف معينة. هذه الشروط الجديدة يمكن أن تجعلها دالة حيوية. جميع أنواع التعديلات على المجال ومجال الوظيفة صالحة ، حيث يكون الهدف هو تحقيق خصائص الحقن والجاذبية في العلاقة المقابلة.

أمثلة: تمارين محلولة

التمرين 1

دع الوظيفة F: R → R تحدد بالخط F (x) = 5x +1

أ:

ويلاحظ أنه لكل قيمة للمجال توجد صورة في المجال المشترك. هذه الصورة هي فريدة من نوعها مما يجعل F على دالة تباينية. بنفس الطريقة ، نلاحظ أن المجال المقابل للدالة يساوي مرتبتها. وبالتالي استيفاء شرط التخوف.

يجري الحقن والتطفل في نفس الوقت يمكننا أن نستنتج ذلك

F: R → R المعرَّف بواسطة السطر F (x) = 5x +1 هي وظيفة حيويّة.

ينطبق هذا على جميع الوظائف الخطية (الوظائف التي تكون أعلى درجة من المتغير فيها واحدة).

تمرين 2

دع ظيفة F: R → R أن يحددها F (س) = 3X ² - 2

عند رسم خط أفقي ، يلاحظ أن الرسم البياني وجد في أكثر من مناسبة. نتيجة لهذا ، فإن الوظيفة F ليست حقنة وبالتالي لن تكون حيوية طالما تم تعريفها في R → R

وبالمثل ، هناك قيم المجال المشترك التي ليست صورًا لأي عنصر من عناصر المجال. نتيجة لهذا ، فإن الوظيفة ليست مفاجئة ، والتي تستحق أيضًا تكييف مجموعة الوصول.

ننتقل إلى تكييف المجال والمجال المشترك للوظيفة

F: →

حيث لوحظ أن المجال الجديد يغطي القيم من الصفر إلى اللانهاية الموجبة. تجنب تكرار القيم التي تؤثر على الحقن.

وبالمثل ، تم تعديل النطاق المشترك ، بدءًا من "-2" إلى اللانهاية الموجبة ، مع استبعاد القيم التي لا تتوافق مع أي عنصر في المجال من النطاق المشترك

وبهذه الطريقة يمكن ضمان أن F : → يحددها F (س) = 3X ² - 2

إنه حيوي

التمرين 3

دع الوظيفة F: R → R تُحدد بواسطة F (x) = Sen (x)

في الفترة الزمنية ، تغير دالة الجيب نتائجها بين صفر وواحد.

المصدر: المؤلف.

لا تتوافق الدالة F مع معايير الحَقْن والسُّطحية ، لأن قيم المتغير التابع تتكرر كل فترة. علاوة على ذلك ، فإن شروط المجال المشترك خارج الفاصل الزمني ليست صورة لأي عنصر من عناصر المجال.

عند دراسة الرسم البياني للوظيفة F (x) = Sen (x) ، يتم ملاحظة الفواصل الزمنية التي يلبي فيها سلوك المنحنى معايير الانحراف. على سبيل المثال الفاصل الزمني D _f = للمجال. و C _f = للنطاق المشترك.

حيث تختلف نتائج الدالة من 1 إلى -1 ، دون تكرار أي قيمة في المتغير التابع. وفي نفس الوقت ، فإن المجال المقابل يساوي القيم التي اعتمدها التعبير Sen (x)

وبالتالي فإن الوظيفة F: → التي حددتها F (x) = Sen (x). إنه حيوي

التمرين 4

اذكر الشروط اللازمة لـ D _f و C _f. إذن التعبير

F (x) = -x ² يكون حيويًا.

المصدر: المؤلف

يتم ملاحظة تكرار النتائج عندما يأخذ المتغير قيمًا معاكسة:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

المجال مشروط ، يقصره على الجانب الأيمن من الخط الحقيقي.

د _و =

بنفس الطريقة ، يُلاحظ أن نطاق هذه الوظيفة هو الفاصل الزمني ، والذي عند العمل كمجال رمزي يفي بشروط الجدية.

بهذه الطريقة يمكننا أن نستنتج ذلك

التعبير F: → المحدد بواسطة F (x) = -x ² إنه حيوي

تمارين مقترحة

تحقق مما إذا كانت الوظائف التالية حيوية:

F: → R محدد بواسطة F (x) = 5ctg (x)

F: → R محدد بواسطة F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R محدد بالخط F (x) = -5x + 4

المراجع

1. مقدمة في المنطق والتفكير النقدي. ميريلي إتش سالمون. جامعة بيتسبرغ
2. مشاكل في التحليل الرياضي. بيوتر بيلر ، ألفريد ويتكوفسكي. جامعة فروتسواف. بولندا.
3. عناصر التحليل المجرد. ميشال أوسيركويد دكتوراه. قسم الرياضيات. كلية دبلن الجامعية ، بيلدفيلد ، دوبليند 4
4. مقدمة في المنطق ومنهجية العلوم الاستنتاجية. ألفريد تارسكي ، نيويورك أكسفورد. مطبعة جامعة أكسفورد.
5. مبادئ التحليل الرياضي. إنريكي لينيس إسكاردو. افتتاحية Reverté S. A 1991. برشلونة أسبانيا.