درجات الحرية: كيف نحسبها ، أنواعها ، أمثلة - دوداس - 2025

و درجات الحرية في الإحصاءات من عدد من العناصر المستقلة للمتجه عشوائي. إذا كان المتجه يحتوي على مكونات n وهناك معادلات خطية p تتعلق بمكوناته ، فإن درجة الحرية هي np.

يظهر مفهوم درجات الحرية أيضًا في الميكانيكا النظرية ، حيث تكافئ تقريبًا أبعاد الفضاء حيث يتحرك الجسيم مطروحًا منه عدد الروابط.

الشكل 1. يتحرك البندول في بعدين ، لكن له درجة واحدة فقط من الحرية لأنه يتحرك في قوس نصف قطره L. المصدر: F. Zapata.

ستناقش هذه المقالة مفهوم درجات الحرية المطبقة على الإحصاء ، ولكن من السهل تصور مثال ميكانيكي في شكل هندسي.

أنواع درجات الحرية

اعتمادًا على السياق الذي يتم تطبيقه فيه ، قد تختلف طريقة حساب عدد درجات الحرية ، لكن الفكرة الأساسية هي نفسها دائمًا: الأبعاد الإجمالية أقل عدد القيود.

في علبة ميكانيكية

دعونا نفكر في جسيم متذبذب مرتبط بخيط (بندول) يتحرك في المستوى الرأسي xy (بعدين). ومع ذلك ، يُجبر الجسيم على التحرك على محيط نصف قطر يساوي طول الوتر.

نظرًا لأن الجسيم يمكن أن يتحرك فقط في هذا المنحنى ، فإن عدد درجات الحرية هو 1. ويمكن ملاحظة ذلك في الشكل 1.

تتمثل طريقة حساب عدد درجات الحرية في أخذ الاختلاف في عدد الأبعاد مطروحًا منه عدد القيود:

درجات الحرية: = 2 (أبعاد) - 1 (ضمد) = 1

التفسير الآخر الذي يتيح لنا الوصول إلى النتيجة هو ما يلي:

-نعلم أن الموضع في بعدين يتم تمثيله بنقطة إحداثيات (س ، ص).

- ولكن بما أن النقطة يجب أن تتوافق مع معادلة المحيط (x ² + y ² = L ²) لقيمة معينة للمتغير x ، فإن المتغير y يتحدد بالمعادلة أو القيد المذكور.

بهذه الطريقة ، يكون واحد فقط من المتغيرات مستقلًا والنظام لديه درجة واحدة (1) من الحرية.

في مجموعة من القيم العشوائية

لتوضيح معنى المفهوم ، افترض المتجه

س = (× ₁ ، × ₂ ،… ، × _ن)

تمثل عينة من القيم العشوائية الموزعة بشكل طبيعي n. في هذه الحالة ، يحتوي المتجه العشوائي x على n من المكونات المستقلة ، وبالتالي يُقال أن x لديها n درجة من الحرية.

دعونا الآن نبني المتجه r للمخلفات

ص = (× ₁ -، × ₂ -،… ، X _n -)

أين يمثل متوسط ​​العينة ، والذي يتم حسابه على النحو التالي:

= (x ₁ + x ₂ +…. + x _n) / n

لذا فإن المجموع

(× _١ -) + (× ₂ -) +…. + (X _n -) = (x ₁ + x ₂ +…. + x _n) - n= 0

إنها معادلة تمثل قيدًا (أو ربطًا) في عناصر المتجه r للمخلفات ، لأنه إذا كانت مكونات n-1 للمتجه r معروفة ، فإن معادلة التقييد تحدد المكون غير المعروف.

لذلك فإن المتجه r للبعد n مع التقييد:

∑ (س _ط -) = 0

لديها (ن - 1) درجات الحرية.

مرة أخرى يتم تطبيق أن حساب عدد درجات الحرية هو:

درجات الحرية: = n (أبعاد) - 1 (قيود) = n-1

أمثلة

التباين ودرجات الحرية

يتم تعريف التباين s ² على أنه متوسط ​​مربع الانحرافات (أو القيم المتبقية) لعينة n من البيانات:

ق ² = (ص • ص) / (ن -1)

حيث r هو متجه البقايا r = (x1 -، × 2 - ،… ، Xn - ) والنقطة السميكة (•) هي مشغل المنتج النقطي. بدلاً من ذلك ، يمكن كتابة معادلة التباين على النحو التالي:

ق ² = (س _أنا -) ² / (ن -1)

على أي حال ، تجدر الإشارة إلى أنه عند حساب متوسط ​​مربع القيم المتبقية ، يتم تقسيمه على (n-1) وليس على n ، نظرًا لأنه كما تمت مناقشته في القسم السابق ، فإن عدد درجات الحرية للمتجه r هو (ن -1).

إذا تم تقسيم حساب التباين على n بدلاً من (n-1) ، فسيكون للنتيجة انحياز مهم جدًا لقيم n أقل من 50.

في الأدبيات ، تظهر معادلة التباين أيضًا مع القاسم n بدلاً من (n-1) ، عندما يتعلق الأمر بتباين المحتوى.

لكن مجموعة المتغير العشوائي للبقايا ، ممثلة بالمتجه r ، على الرغم من أنها تحتوي على البعد n ، إلا أنها (n-1) درجات الحرية. ومع ذلك ، إذا كان عدد البيانات كبيرًا بدرجة كافية (ن> 500) ، فإن كلا الصيغتين تتقاربان مع نفس النتيجة.

توفر الآلات الحاسبة وجداول البيانات كلا الإصدارين من التباين والانحراف المعياري (وهو الجذر التربيعي للتباين).

توصيتنا ، في ضوء التحليل المقدم هنا ، هي اختيار الإصدار دائمًا بـ (n-1) في كل مرة يكون مطلوبًا فيها حساب التباين أو الانحراف المعياري ، لتجنب النتائج المتحيزة.

في توزيع مربع تشي

تعتمد بعض التوزيعات الاحتمالية في المتغير العشوائي المستمر على معلمة تسمى درجة الحرية ، وهذه هي حالة توزيع مربع كاي (χ ²).

يأتي اسم هذه المعلمة تحديدًا من درجات الحرية للمتجه العشوائي الأساسي الذي ينطبق عليه هذا التوزيع.

لنفترض أن لدينا مجموعات سكانية تؤخذ منها عينات بالحجم n:

X ₁ = (x1 ₁ ، x1 ₂ ،…..x1 _n)

X2 = (x2 ₁ ، x2 ₂ ،…..x2 _n)

….

X _j = (xj ₁ ، xj ₂ ،…..xj _n)

….

Xg = (xg ₁ ، xg ₂ ،…..xg _n)

عدد السكان j هذا يعني والانحراف المعياري Sj ، يتبع التوزيع الطبيعي N (، سج).

يتم تعريف المتغير المعياري أو المعياري zj _i على النحو التالي:

zj _i = (xj _i -) / Sj.

ويتم تعريف المتجه Zj على النحو التالي:

Zj = (zj ₁ ، zj ₂ ،…، zj _i ،…، zj _n) ويتبع التوزيع الطبيعي القياسي N (0،1).

إذن المتغير:

Q = ((z1 ₁ ^ 2 + z2 ₁ ^ 2 +…. + Zg ₁ ^ 2) ،…. ، (Z1 _n ^ 2 + z2 _n ^ 2 +…. + Zg _n ^ 2))

يتبع توزيع χ ² (ز) المسمى توزيع مربع كاي بدرجة الحرية ز.

في اختبار الفرضية (بمثال محلول)

عندما تريد اختبار الفرضيات بناءً على مجموعة معينة من البيانات العشوائية ، فأنت بحاجة إلى معرفة عدد درجات الحرية g من أجل تطبيق اختبار Chi-square.

الشكل 2. هل هناك علاقة بين تفضيل نكهة الآيس كريم ونوع الزبون؟ المصدر: F. Zapata.

على سبيل المثال ، سيتم تحليل البيانات التي تم جمعها حول تفضيلات الشوكولاتة أو آيس كريم الفراولة بين الرجال والنساء في صالة آيس كريم معينة. يتلخص تكرار اختيار الرجال والنساء للفراولة أو الشوكولاتة في الشكل 2.

أولاً ، يتم حساب جدول الترددات المتوقعة ، والذي يتم إعداده بضرب إجمالي الصفوف في إجمالي الأعمدة ، مقسومًا على إجمالي البيانات. تظهر النتيجة في الشكل التالي:

الشكل 3. حساب الترددات المتوقعة على أساس الترددات المرصودة (القيم باللون الأزرق في الشكل 2). المصدر: F. Zapata.

ثم يتم حساب مربع Chi (من البيانات) باستخدام الصيغة التالية:

χ ² = ∑ (F _o - F _e) ² / F _ه

حيث F _o هي الترددات المرصودة (الشكل 2) و F _e هي الترددات المتوقعة (الشكل 3). ينتقل الجمع إلى جميع الصفوف والأعمدة ، والذي يعطي في مثالنا أربعة حدود.

بعد إجراء العمليات تحصل على:

χ ² = 0.2043.

الآن من الضروري المقارنة مع مربع Chi النظري ، والذي يعتمد على عدد درجات الحرية g.

في حالتنا ، يتم تحديد هذا الرقم على النحو التالي:

ز = (# صفوف - 1) (# أعمدة - 1) = (2-1) (2-1) = 1 * 1 = 1.

اتضح أن عدد درجات الحرية g في هذا المثال هو 1.

إذا كنت ترغب في التحقق من الفرضية الصفرية أو رفضها (H0: لا يوجد ارتباط بين الذوق والجنس) بمستوى أهمية 1٪ ، يتم حساب قيمة مربع كاي النظرية بدرجة الحرية g = 1.

يتم البحث عن القيمة التي تجعل التردد المتراكم (1 - 0.01) = 0.99 ، أي 99٪. هذه القيمة (التي يمكن الحصول عليها من الجداول) هي 6،636.

نظرًا لأن Chi النظرية تتجاوز المحسوبة ، يتم التحقق من الفرضية الصفرية.

بمعنى آخر ، مع البيانات التي تم جمعها ، لم يتم ملاحظة أي علاقة بين المتغيرين TASTE و GENDER.

المراجع

1. برنامج Minitab. ما هي درجات الحرية؟ تم الاسترجاع من: support.minitab.com.
2. مور ، ديفيد. (2009) الإحصاء التطبيقي الأساسي. محرر أنتوني بوش.
3. لي ، جينيفر. كيفية حساب درجات الحرية في النماذج الإحصائية. تم الاسترجاع من: geniolandia.com
4. ويكيبيديا. درجة الحرية (الإحصاء). تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
5. ويكيبيديا. درجة الحرية (الجسدية). تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com