قوانين الدعاة (مع أمثلة وتمارين محلولة) - رياضيات - 2026

و قوانين الأسس هي تلك التي تنطبق على هذا الرقم الذي يشير إلى عدد المرات التي يجب أن تتضاعف عددا قاعدة في حد ذاته. تُعرف الأسس أيضًا بالقوى. التمكين هو عملية حسابية تتكون من القاعدة (أ) ، الأس (م) والقوة (ب) ، والتي هي نتيجة العملية.

تُستخدم الأسس بشكل عام عند استخدام كميات كبيرة جدًا ، لأن هذه ليست أكثر من اختصارات تمثل مضاعفة نفس العدد لعدد معين من المرات. يمكن أن تكون الأسس موجبة وسالبة.

شرح قوانين الأسس

كما ذكرنا سابقًا ، الأسس عبارة عن نموذج مختزل يمثل ضرب الأرقام في حد ذاتها عدة مرات ، حيث يرتبط الأس فقط بالرقم الموجود على اليسار. فمثلا:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

في هذه الحالة ، يكون الرقم 2 هو أساس القوة ، والذي سيتم ضربه 3 مرات كما هو موضح بواسطة الأس الموجود في الزاوية اليمنى العليا من القاعدة. توجد طرق مختلفة لقراءة التعبير: 2 مرفوعة إلى 3 أو 2 مرفوعة إلى المكعب.

تشير الأسس أيضًا إلى عدد المرات التي يمكن تقسيمها ، ولتمييز هذه العملية عن الضرب ، يكون للأس علامة الطرح (-) أمامها (وهي سالبة) ، مما يعني أن الأس في مقام جزء. فمثلا:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

لا ينبغي الخلط بين هذا وبين الحالة التي تكون فيها القاعدة سالبة ، حيث سيعتمد ذلك على ما إذا كان الأس فرديًا أو زوجيًا لتحديد ما إذا كانت القوة ستكون موجبة أم سالبة. لذلك عليك أن:

- إذا كان الأس زوجيًا ، ستكون الأس موجبة. فمثلا:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- إذا كان الأس فرديًا ، فإن الأس سيكون سالبًا. فمثلا:

(- 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

هناك حالة خاصة حيث إذا كان الأس يساوي 0 ، فإن القوة تساوي 1. وهناك أيضًا احتمال أن يكون الأساس هو 0 ؛ في هذه الحالة ، اعتمادًا على الأس ، ستكون القوة غير محددة أم لا.

لإجراء عمليات حسابية مع الأسس ، من الضروري اتباع العديد من القواعد أو القواعد التي تسهل العثور على حل لتلك العمليات.

القانون الأول: قوة الأس تساوي 1

عندما يكون الأس 1 ، ستكون النتيجة هي نفس قيمة الأساس: a ¹ = a.

أمثلة

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

القانون الثاني: قوة الأس تساوي 0

عندما يكون الأس 0 ، إذا كان الأساس غير صفري ، ستكون النتيجة: ⁰ = 1.

أمثلة

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

القانون الثالث: الأس السلبي

نظرًا لأن الأس سالب ، ستكون النتيجة كسرًا ، حيث ستكون الأس هو المقام. على سبيل المثال ، إذا كانت m موجبة ، فإن a ^-m = 1 / a ^m.

أمثلة

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

القانون الرابع: تكاثر القوى بقاعدة متساوية

لمضاعفة الأسس حيث تكون الأسس مساوية للصفر ومختلفة عنها ، يتم الاحتفاظ بالأساس وإضافة الأسس: أ ^م _* أ ^ن = أ ^{م + ن}.

أمثلة

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

القانون الخامس: تقسيم السلطات بقاعدة متساوية

لتقسيم القوى التي تكون فيها القواعد مساوية للصفر ومختلفة عنها ، يتم الاحتفاظ بالأساس وطرح الأس على النحو التالي: أ ^م / أ ^ن = أ ^{م ن}.

أمثلة

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^(2-1) = 9 ¹.

- 6 ¹⁵ /6 ^{اكتوبر تشرين الاول} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵.

- 49 ^ديسمبر / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶.

القانون السادس: تكاثر السلطات بأساس مختلف

هذا القانون له عكس ما تم التعبير عنه في الرابع ؛ أي ، إذا كان لديك قواعد مختلفة ولكن بنفس الأسس ، يتم ضرب الأسس ويتم الاحتفاظ بالأس: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m.

أمثلة

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ².

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹.

هناك طريقة أخرى لتمثيل هذا القانون وهي عندما يتم رفع الضرب إلى أس. وبالتالي ، سوف ينتمي الأس إلى كل من المصطلحات: (أ _* ب) ^م = أ ^م _* ب ^م.

أمثلة

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴.

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶.

القانون السابع: تقسيم السلطات باختلاف القاعدة

إذا كانت لديك قواعد مختلفة ولكن بنفس الأسس ، فاقسم الأسس واحتفظ بالأس: أ ^م / ب ^م = (أ / ب) ^م.

أمثلة

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³.

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴.

وبالمثل ، عندما يتم رفع القسمة إلى قوة ، فإن الأس سوف ينتمي إلى كل من المصطلحات: (أ / ب) ^م = أ ^م / ب ^م.

أمثلة

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸.

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ².

هناك الحالة التي يكون فيها الأس سالبًا. ثم ، لكي تكون موجبة ، يتم عكس قيمة البسط مع قيمة المقام ، على النحو التالي:

- (أ / ب) ^{- ن} = (ب / أ) ^ن = ب ^ن / أ ^ن.

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴.

القانون الثامن: قوة السلطة

عندما يكون لديك قوة مرفوعة إلى قوة أخرى - أي ، أسان في نفس الوقت - ، يتم الحفاظ على الأساس ويتم ضرب الأسس: (أ ^م) ^ن = أ ^{م * ن}.

أمثلة

- (8 ³) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶.

- (⁹ 13) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷.

- (238 ¹⁰) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰.

القانون التاسع: الأس الكسري

إذا كان للقوة كسر على هيئة أس ، يتم حل ذلك عن طريق تحويله إلى جذر من الدرجة n ، حيث يظل البسط أسًا ويمثل المقام فهرس الجذر:

مثال

تمارين محلولة

التمرين 1

احسب العمليات بين القوى التي لها قواعد مختلفة:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ².

المحلول

بتطبيق قواعد الأس ، يتم ضرب الأسس في البسط ويتم الحفاظ على الأس ، كما يلي:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

الآن ، نظرًا لأن لدينا نفس الأسس ولكن مع الأسس المختلفة ، يتم الاحتفاظ بالأساس ويتم طرح الأسس:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(02/04) = 8 ²

تمرين 2

احسب العمليات بين القوى المرفوعة إلى قوة أخرى:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

المحلول

لتطبيق القوانين ، عليك:

(3 ²) ³ _* (2 _* 6 ⁵) ^-2 _* (2 ²) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46656

المراجع

1. أبونت ، ج. (1998). أساسيات الرياضيات الأساسية. تعليم بيرسون.
2. كوربالان ، ف. (1997). تطبيق الرياضيات في الحياة اليومية.
3. Jiménez ، JR (2009). الرياضيات 1 سبتمبر.
4. ماكس بيترز ، دبليو إل (1972). الجبر وعلم المثلثات.
5. ريس ، بي كيه (1986). العودة.