المتغير المستمر: الخصائص والأمثلة والتمارين - جسدي - بدني - 2026

و المتغير المستمر هو الذي يمكن أن عدد لانهائي من القيم العددية بين قيمتين معينة، حتى لو كانت تلك القيمتين تعسفا قريبة. يتم استخدامها لوصف السمات القابلة للقياس ؛ على سبيل المثال الطول والوزن. يمكن أن تكون القيم التي يأخذها المتغير المستمر أرقامًا منطقية أو أرقامًا حقيقية أو أرقامًا معقدة ، على الرغم من أن الحالة الأخيرة أقل شيوعًا في الإحصائيات.

السمة الرئيسية للمتغيرات المستمرة هي أنه بين قيمتين منطقيتين أو حقيقيتين يمكن دائمًا العثور على أخرى ، وبين تلك القيمة الأخرى والأولى يمكن العثور على قيمة أخرى ، وهكذا إلى أجل غير مسمى.

الشكل 1. يمثل المنحنى توزيعًا مستمرًا ويمثل القضبان توزيعًا منفصلاً. المصدر: pixabay

على سبيل المثال ، افترض أن الوزن المتغير في مجموعة يزن أثقلها 95 كجم وأقلها تزن 48 كجم ؛ سيكون هذا هو نطاق المتغير وعدد القيم الممكنة لانهائي.

على سبيل المثال ، يمكن أن يكون ما بين 50.00 كجم و 50.10 كجم 50.01. ولكن بين 50.00 و 50.01 يمكن أن يكون المقياس 50.005. هذا متغير مستمر. من ناحية أخرى ، إذا تم تحديد دقة رقم عشري واحد في القياسات المحتملة للوزن ، فسيكون المتغير المستخدم منفصلاً.

تنتمي المتغيرات المستمرة إلى فئة المتغيرات الكمية ، لأن لها قيمة عددية مرتبطة بها. باستخدام هذه القيمة العددية ، من الممكن إجراء عمليات حسابية تتراوح من العمليات الحسابية إلى طرق الحساب متناهية الصغر.

أمثلة

معظم المتغيرات في الفيزياء هي متغيرات مستمرة ، من بينها يمكننا تسمية: الطول والوقت والسرعة والتسارع والطاقة ودرجة الحرارة وغيرها.

المتغيرات المستمرة والمتغيرات المنفصلة

في الإحصاء ، يمكن تحديد أنواع مختلفة من المتغيرات ، النوعية والكمية. المتغيرات المستمرة تنتمي إلى الفئة الأخيرة. معهم من الممكن إجراء العمليات الحسابية والحسابية.

على سبيل المثال ، المتغير h ، المقابل للأشخاص الذين يتراوح ارتفاعهم بين 1.50 م و 1.95 م ، هو متغير مستمر.

لنقارن هذا المتغير بهذا المتغير: عدد المرات التي تظهر فيها العملة المعدنية ، والتي سنسميها n.

يمكن أن يأخذ المتغير n قيمًا بين 0 وما لا نهاية ، ولكن n ليس متغيرًا مستمرًا لأنه لا يمكن أن يأخذ القيمة 1.3 أو 1.5 ، لأنه بين القيمتين 1 و 2 لا يوجد متغير آخر. هذا مثال على متغير منفصل.

تمرين المتغيرات المستمرة

تأمل المثال التالي: تنتج الآلة أعواد الثقاب وتعبئتها في علبتها. يتم تحديد متغيرين إحصائيين:

الطول الاسمي للمطابقة هو 5.0 سم مع تفاوت 0.1 سم. عدد التطابقات لكل صندوق هو 50 مع تفاوت 3.

أ) حدد نطاق القيم التي يمكن أن تأخذها L و N.

ب) كم عدد القيم التي يمكن أن تأخذها L؟

ج) كم عدد القيم التي يمكن أن تأخذها n؟

حدد في كل حالة ما إذا كان متغيرًا منفصلاً أم متغيرًا مستمرًا.

المحلول

قيم L في النطاق ؛ أي أن قيمة L تقع في الفاصل الزمني ويمكن للمتغير L أن يأخذ قيمًا لا نهائية بين هذين القياسين. ومن ثم فهو متغير مستمر.

قيمة المتغير n تقع في الفترة. يمكن للمتغير n أن يأخذ 6 قيم ممكنة فقط في فترة التفاوت ، ومن ثم يصبح متغيرًا منفصلاً.

تمرين

إذا كانت القيم التي يأخذها المتغير ، بالإضافة إلى كونها مستمرة ، لها احتمالية معينة لحدوثها مرتبطة بها ، فهي متغير عشوائي مستمر. من المهم جدًا التمييز إذا كان المتغير منفصلاً أو مستمرًا ، لأن النماذج الاحتمالية المطبقة على أحدهما والآخر مختلفة.

يتم تعريف المتغير العشوائي المستمر تمامًا عندما تُعرف القيم التي يمكن أن يفترضها ، واحتمال حدوث كل منها.

- التمرين 1 للاحتمالات

يقوم صانع الثقاب بصنعها بحيث يكون طول العصي دائمًا بين القيم 4.9 سم و 5.1 سم ، وصفر خارج هذه القيم. هناك احتمال للحصول على عصا يتراوح قياسها بين 5.00 و 5.05 سم ، على الرغم من أنه يمكننا أيضًا استخراج واحدة من 50003 سم. هل هذه القيم متساوية في الاحتمال؟

المحلول

افترض أن كثافة الاحتمال موحدة. يتم سرد احتمالات العثور على تطابق بطول معين أدناه:

-أن يكون هناك تطابق في النطاق لديه احتمال = 1 (أو 100٪) ، لأن الجهاز لا يرسم مطابقات خارج هذه القيم.

-إيجاد تطابق بين 4.9 و 5.0 له احتمال = ½ = 0.5 (50٪) ، لأنه نصف مدى الأطوال.

- واحتمال أن يكون طول المباراة بين 5.0 و 5.1 هو أيضًا 0.5 (50٪)

-من المعروف أنه لا توجد أعواد مطابقة يتراوح طولها بين 5.0 و 5.2. الاحتمال: صفر (0٪).

احتمالية إيجاد عود أسنان في نطاق معين

الآن دعونا نلاحظ الاحتمالات التالية P للحصول على العصي التي يتراوح طولها بين l ₁ و l ₂:

-P أن طول المطابقة بين 5.00 و 5.05 يُشار إليه على أنه P ():

-P أن طول التل بين 5.00 و 5.01 هو:

-P أن طول التل يتراوح بين 5000 و 5001 هو أقل من ذلك:

إذا واصلنا تقليل الفاصل الزمني للاقتراب أكثر فأكثر من 5.00 ، فإن احتمال أن يكون المسواك 5.00 سم بالضبط هو صفر (0٪). ما لدينا هو احتمال العثور على تطابق ضمن نطاق معين.

احتمالية إيجاد عدة أعواد أسنان في نطاق معين

إذا كانت الأحداث مستقلة ، فإن احتمال وجود عود أسنان في نطاق معين هو نتاج احتمالاتهما.

- احتمالية أن تكون عيدان تناول الطعام بين 5.0 و 5.1 هي 0.5 * 0.5 = 0.25 (0.25٪)

-احتمال أن يكون 50 عود أسنان بين 5.0 و 5.1 هو (0.5) ^ 50 = 9 × 10 ^ -16 ، أي ما يقرب من الصفر.

- احتمال أن تكون 50 عود أسنان بين 4.9 و 5.1 هي (1) ^ 50 = 1 (100٪)

- التمرين الثاني للاحتمالات

في المثال السابق ، تم افتراض أن الاحتمالية موحدة في الفترة الزمنية المحددة ، ولكن هذا ليس هو الحال دائمًا.

في حالة الآلة الفعلية التي تنتج عيدان الأسنان ، فإن احتمال أن يكون المسواك عند القيمة المركزية أكبر مما هو عليه عند إحدى القيم القصوى. من وجهة نظر رياضية ، تم تصميم هذا بالدالة f (x) المعروفة باسم كثافة الاحتمال.

يتم حساب احتمال أن يكون المقياس L بين a و b باستخدام التكامل المحدد للدالة f (x) بين a و b.

كمثال ، افترض أننا نريد إيجاد الوظيفة f (x) ، والتي تمثل توزيعًا منتظمًا بين القيم 4.9 و 5.1 من التمرين 1.

إذا كان التوزيع الاحتمالي منتظمًا ، فإن f (x) تساوي الثابت c ، والذي يتم تحديده بأخذ التكامل بين 4.9 و 5.1 من c. نظرًا لأن هذا التكامل هو الاحتمال ، فيجب أن تكون النتيجة 1.

الشكل 2. كثافة احتمالية موحدة. (تفصيل خاص)

مما يعني أن c تساوي 1 / 0.2 = 5. أي أن دالة كثافة الاحتمال المنتظمة هي f (x) = {5 إذا كانت 4.9≤x≤5.1 و 0 خارج هذا النطاق. تظهر دالة كثافة الاحتمال الموحدة في الشكل 2.

لاحظ كيف يكون الاحتمال في فترات من نفس العرض (على سبيل المثال 0.02) هو نفسه في المركز كما هو الحال في نهاية نطاق المتغير المستمر L (طول عود الأسنان).

سيكون النموذج الأكثر واقعية هو دالة كثافة الاحتمال مثل ما يلي:

الشكل 3. دالة كثافة الاحتمال غير المنتظمة. (تفصيل خاص)

في الشكل 3 ، يمكن ملاحظة كيف أن احتمال العثور على عيدان أسنان بين 4.99 و 5.01 (عرض 0.02) أكبر من احتمال العثور على أعواد أسنان بين 4.90 و 4.92 (عرض 0.02)

المراجع

1. دينوف ، إيفو. المتغيرات العشوائية المنفصلة والتوزيعات الاحتمالية. تم الاسترجاع من: stat.ucla.edu
2. المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة. تم الاسترجاع من: ocw.mit.edu
3. المتغيرات العشوائية المنفصلة والتوزيعات الاحتمالية. تم الاسترجاع من: homepage.divms.uiowa.edu
4. H. Pishro. مقدمة في الاحتمالية. تم الاسترجاع من: probability course.com
5. Mendenhall، W. 1978. إحصائيات للإدارة والاقتصاد. Grupo الافتتاحية Iberoamericana. 103-106.
6. مشاكل المتغيرات العشوائية ونماذج الاحتمالات. تم الاسترجاع من: ugr.es.
7. ويكيبيديا. المتغير المستمر. تعافى من wikipedia.com
8. ويكيبيديا. متغير الإحصاء. تعافى من wikipedia.com.