ناقل المخرج: معادلة الخط ، حل التمارين - جسدي - بدني - 2025

من المفهوم أن ناقل المخرج هو الذي يحدد اتجاه الخط ، سواء في المستوى أو في الفضاء. لذلك ، يمكن اعتبار المتجه الموازي للخط بمثابة ناقل توجيه له.

هذا ممكن بفضل بديهية الهندسة الإقليدية التي تنص على أن نقطتين تحددان الخط. ثم يحدد المقطع الموجه الذي تشكله هاتان النقطتان أيضًا متجه المدير للخط المذكور.

الشكل 1. متجه مدير الخط. (تفصيل خاص)

بالنظر إلى النقطة P التي تنتمي إلى الخط (L) ونظرًا لمتجه المخرج u لهذا الخط ، يتم تحديد الخط تمامًا.

معادلة الخط ومتجه المخرج

الشكل 2. معادلة الخط ومتجه المخرج. (تفصيل خاص)

بالنظر إلى النقطة P من الإحداثيات P: (Xo، I) والمتجه u مدير الخط (L) ، يجب أن تحقق كل نقطة Q من الإحداثيات Q: (X ، Y) أن المتجه PQ موازي لـ u. هذا الشرط الأخير مضمون إذا كان PQ يتناسب مع u:

PQ = t⋅ u

في التعبير أعلاه t هي معلمة تنتمي إلى الأرقام الحقيقية.

إذا تمت كتابة المكونات الديكارتية لـ PQ و u ، تتم كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي:

(X-Xo ، Y-Yo) = t⋅ (أ ، ب)

إذا تساوت مكونات مساواة المتجه ، يتم الحصول على زوج المعادلات التالي:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

المعادلة البارامترية للخط

يتم تحديد إحداثيات X و Y لنقطة تنتمي إلى الخط (L) الذي يمر عبر نقطة إحداثيات (Xo ، Yo) وتكون موازية لموجه المخرج u = (a ، b) من خلال تعيين قيم حقيقية للمعامل المتغير t:

{X = Xo + a⋅t ؛ Y = I + b⋅t}

مثال 1

لتوضيح معنى المعادلة البارامترية للخط ، نأخذها كمتجه توجيه

ش = (أ ، ب) = (2 ، -1)

وكنقطة معروفة للخط النقطة

P = (Xo، I) = (1، 5).

المعادلة البارامترية للخط هي:

{X = 1 + 2⋅t ؛ ص = 5-1 ⋅t ؛ -∞

لتوضيح معنى هذه المعادلة ، يظهر الشكل 3 ، حيث تغير المعلمة t قيمتها وتتخذ النقطة Q للإحداثيات (X ، Y) مواقع مختلفة على الخط.

الشكل 3. PQ = t u. (تفصيل خاص)

الخط في شكل متجه

بالنظر إلى النقطة P على السطر ومتجه المخرج u ، يمكن كتابة معادلة الخط في شكل متجه:

OQ = OP + λ⋅ ش

في المعادلة أعلاه ، Q هي أي نقطة ولكنها تنتمي إلى الخط و هي رقم حقيقي.

تنطبق معادلة المتجه للخط على أي عدد من الأبعاد ، حتى يمكن تعريف الخط الفائق.

في الحالة ثلاثية الأبعاد لمتجه المخرج u = (a ، b ، c) والنقطة P = (Xo ، Yo ، Zo) ، إحداثيات النقطة العامة Q = (X ، Y ، Z) التي تنتمي إلى الخط هي:

(X، Y، Z) = (Xo، Yo، Zo) + λ⋅ (أ ، ب ، ج)

مثال 2

فكر مرة أخرى في الخط الذي له كمتجه توجيه

ش = (أ ، ب) = (2 ، -1)

وكنقطة معروفة للخط النقطة

P = (Xo، I) = (1، 5).

معادلة المتجه للخط المذكور هي:

(س ، ص) = (1 ، 5) + (2 ، -1)

شكل مستمر للخط وناقل المخرج

بدءًا من الصيغة البارامترية ، ومسح ومعادلة المعلمة ، لدينا:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / ج

هذا هو الشكل المتماثل لمعادلة الخط المستقيم. لاحظ أن a و b و c هي مكونات متجه المخرج.

مثال 3

ضع في اعتبارك الخط الذي له كمتجه توجيهي

ش = (أ ، ب) = (2 ، -1)

وكنقطة معروفة للخط النقطة

P = (Xo، I) = (1، 5). أوجد شكله المتماثل.

الشكل المتماثل أو المستمر للخط هو:

(س - 1) / 2 = (ص - 5) / (- 1)

الشكل العام لمعادلة الخط المستقيم

يُعرف الشكل العام للخط في المستوى XY بالمعادلة التي لها الهيكل التالي:

A⋅X + B⋅Y = ج

يمكن إعادة كتابة التعبير الخاص بالصيغة المتماثلة ليكون بالشكل العام:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

بالمقارنة مع الشكل العام للخط هو:

أ = ب ، ب = -أ ، ج = ب إكسو - أ ص ص

مثال 3

أوجد الشكل العام للخط الذي يكون متجه مديره u = (2، -1)

وهذا يمر بالنقطة P = (1 ، 5).

للعثور على النموذج العام ، يمكننا استخدام الصيغ المعينة ، ولكن سيتم اختيار مسار بديل.

نبدأ بإيجاد المتجه المزدوج w لمتجه المخرج u ، المحدد على أنه المتجه الذي تم الحصول عليه من خلال تبادل مكونات u وضرب الثاني في -1:

ث = (-1 ، -2)

المتجه المزدوج w يتوافق مع دوران بزاوية 90 درجة في اتجاه عقارب الساعة لمتجه المخرج v.

نقوم بضرب w بشكل تدريجي مع (X ، Y) ومع (Xo ، Yo) ونقوم بالتساوي:

(-1 ، -2) • (س ، ص) = (-1 ، -2) • (1 ، 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

المتبقي أخيرًا:

س + 2 ص = 11

الشكل القياسي لمعادلة الخط المستقيم

يُعرف بالشكل القياسي للخط في المستوى XY ، وهو الشكل الذي يحتوي على الهيكل التالي:

ص = م⋅س + د

حيث m يمثل الميل و d التقاطع مع المحور Y.

بالنظر إلى متجه الاتجاه ش = (أ ، ب) ، فإن الميل م هو ب / أ.

يتم الحصول على Y d عن طريق استبدال X و Y بالنقطة المعروفة Xo ، I:

أنا = (ب / أ) Xo + د.

باختصار ، m = b / a و d = I - (b / a) Xo

لاحظ أن الميل m هو حاصل القسمة بين المكون y لمتجه المخرج والمكون x الخاص به.

مثال 4

أوجد الشكل القياسي للخط الذي يكون متجه مخرجه u = (2، -1)

وهذا يمر بالنقطة P = (1 ، 5).

م = -½ و د = 5 - (-½) 1 = 11/2

ص = (-1/2) س + 11/2

تمارين محلولة

-التمرين 1

ابحث عن متجه مخرج للخط (L) الذي يمثل تقاطع المستوى (Π): X - Y + Z = 3 والمستوى (Ω): 2X + Y = 1.

ثم اكتب الصيغة المستمرة لمعادلة الخط (L).

المحلول

من معادلة المستوى (Ω) التخليص Y: Y = 1-2X

ثم نستبدل في معادلة المستوى (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

ثم نضع معلمات X ، نختار المعلمة X = λ

هذا يعني أن الخط يحتوي على معادلة متجه معطاة بواسطة:

(س ، ص ، ع) = (، 1-2 - ، 4-3 4)

والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

(س ، ص ، ع) = (0 ، 1 ، 4) + λ (1 ، -2 ، -3)

الذي يتضح به أن المتجه u = (1، -2، -3) هو متجه مخرج للخط (L).

الشكل المستمر للخط (L) هو:

(س - 0) / 1 = (ص - 1) / (- 2) = (ع - 4) / (- 3)

-تمرين 2

إذا كان المستوى 5 س + أ ص + 4 ع = 5

والخط الذي تكون معادلته X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

أوجد قيمة مثل بحيث يكون المستوى والخط متوازيين.

الحل 2

المتجه n = (5، a، 4) متجه عادي بالنسبة للمستوى.

المتجه u = (1، 3، -2) هو متجه موجه للخط.

إذا كان الخط موازيًا للمستوى ، فإن n • v = 0.

(5 ، أ ، 4) • (1 ، 3 ، -2) = 5 +3 أ -8 = 0 ⇒ أ = 1.

المراجع

1. فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، دي (1989). الرياضيات المسبقة. برنتيس هول PTR.
2. كولمان ، ب. (2006). الجبر الخطي. تعليم بيرسون.
3. ليل ، جي إم ، وفيلوريا ، إن جي (2005). الهندسة التحليلية المستوية. ميريدا - فنزويلا: الافتتاحية فنزويلا CA
4. نافارو ، روسيو. ثلاثة أبعاد. تم الاسترجاع من: books.google.co.ve.
5. بيريز ، سي دي (2006). حساب مسبق. تعليم بيرسون.
6. Prenowitz، W. 2012. مفاهيم أساسية للهندسة. رومان وليتلفيلد.
7. سوليفان ، م. (1997). حساب مسبق. تعليم بيرسون.