رقم أويلر أو رقم البريد الإلكتروني: كم يستحق ، الخصائص ، التطبيقات - رياضيات - 2025

و يولر عدد أو رقم البريد هو ثابت الرياضية المعروفة التي تظهر بشكل متكرر في العديد من التطبيقات العلمية والاقتصادية، جنبا إلى جنب مع π عدد وأرقام أخرى مهمة في الرياضيات.

تُرجع الحاسبة العلمية القيمة التالية للرقم e:

الشكل 1. يظهر رقم أويلر بشكل متكرر في العلوم. المصدر: F. Zapata.

ه = 2.718281828…

لكن العديد من الكسور العشرية معروفة ، على سبيل المثال:

ه = 2.71828182845904523536…

وقد وجدت أجهزة الكمبيوتر الحديثة تريليونات المنازل العشرية للرقم e.

إنه رقم غير منطقي ، مما يعني أنه يحتوي على عدد لا حصر له من المنازل العشرية دون أي نمط متكرر (يظهر التسلسل 1828 مرتين في البداية ولم يعد يتكرر).

وهذا يعني أيضًا أنه لا يمكن الحصول على الرقم e باعتباره حاصل قسمة عددين صحيحين.

التاريخ

تم تحديد الرقم e من قبل العالم جاك برنولي في عام 1683 عندما كان يدرس مشكلة الفائدة المركبة ، لكنه ظهر سابقًا بشكل غير مباشر في أعمال عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير ، الذي اخترع اللوغاريتمات حوالي عام 1618.

ومع ذلك ، كان ليونارد أويلر في عام 1727 هو من أعطاها الاسم رقم e ودرس خصائصها بشكل مكثف. هذا هو السبب في أنه يُعرف أيضًا باسم رقم أويلر وأيضًا كأساس طبيعي للوغاريتمات الطبيعية (الأس) المستخدمة حاليًا.

كم قيمة الرقم e؟

الرقم e يستحق:

ه = 2.71828182845904523536…

تعني علامة الحذف أن هناك عددًا لا حصر له من المنازل العشرية وفي الواقع ، مع أجهزة الكمبيوتر الحالية ، يُعرف الملايين منها.

تمثيلات عدد ه

هناك عدة طرق لتعريف e التي نصفها أدناه:

الرقم ه كحد

إحدى الطرق المختلفة التي يُعبر بها عن الرقم e هي تلك التي وجدها العالم برنولي في أعماله حول الفائدة المركبة:

حيث يتعين عليك جعل القيمة n عددًا كبيرًا جدًا.

من السهل التحقق ، بمساعدة الآلة الحاسبة ، من أنه عندما تكون n كبيرة جدًا ، فإن التعبير السابق يميل إلى قيمة e الموضحة أعلاه.

بالطبع يمكننا أن نسأل أنفسنا كيف يمكن صنع n كبير ، لذلك دعونا نحاول تقريب الأرقام ، مثل هذه على سبيل المثال:

ن = 1000 ؛ 10000 أو 100000

في الحالة الأولى نحصل على e = 2.7169239…. في الثاني e = 2.7181459… وفي الثالث يكون أقرب كثيرًا إلى قيمة e: 2.7182682. يمكننا بالفعل أن نتخيل أنه مع n = 1،000،000 أو أكبر ، سيكون التقريب أفضل.

في اللغة الرياضية ، يُطلق على إجراء جعل n تقترب أكثر فأكثر من قيمة كبيرة جدًا الحد إلى اللانهاية ويُشار إليها على النحو التالي:

للدلالة على اللانهاية يتم استخدام الرمز "∞".

الرقم ه كمجموع

من الممكن أيضًا تحديد الرقم e من خلال هذه العملية:

الأرقام التي تظهر في المقام: 1 ، 2 ، 6 ، 24 ، 120… تتوافق مع العملية n! ، حيث:

وبحكم التعريف 0! = 1.

من السهل التحقق من أنه كلما زادت الإضافات المضافة ، كلما تم الوصول إلى الرقم e بدقة أكبر.

لنقم ببعض الاختبارات باستخدام الآلة الحاسبة ، ونضيف المزيد والمزيد من الإضافات:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

كلما زاد عدد المصطلحات المضافة إلى المجموع ، كلما كانت النتيجة مشابهة لـ e.

ابتكر علماء الرياضيات تدوينًا مضغوطًا لهذه المجاميع التي تتضمن العديد من المصطلحات ، باستخدام رمز الجمع Σ:

يُقرأ هذا التعبير على هذا النحو "المجموع من n = 0 إلى ما لا نهاية 1 بين مضروب n".

الرقم ه من وجهة نظر هندسية

يحتوي الرقم e على تمثيل رسومي متعلق بالمنطقة الواقعة أسفل الرسم البياني للمنحنى:

ص = 1 / س

عندما تكون قيم x بين 1 و e ، فإن هذه المنطقة تساوي 1 ، كما هو موضح في الشكل التالي:

الشكل 2. التمثيل البياني للرقم e: المنطقة الواقعة تحت منحنى 1 / x ، بين x = 1 و x = e تساوي 1. المصدر: F. Zapata.

خصائص الرقم ه

بعض خصائص الرقم e هي:

- إنه غير منطقي ، بمعنى آخر ، لا يمكن الحصول عليه ببساطة بقسمة عددين صحيحين.

-الرقم e هو أيضًا رقم متسامي ، مما يعني أن e ليس حلاً لأي معادلة متعددة الحدود.

- ترتبط بأربعة أرقام مشهورة أخرى في مجال الرياضيات ، وهي: π و i و 1 و 0 من خلال هوية أويلر:

يمكن التعبير عن ما يسمى بالأرقام المركبة من خلال البريد.

- يشكل قاعدة اللوغاريتمات الطبيعية أو الطبيعية في الوقت الحاضر (يختلف التعريف الأصلي لجون نابير قليلاً).

- هو الرقم الوحيد الذي يكون لوغاريتمه الطبيعي يساوي 1 ، أي:

التطبيقات

الإحصاء

يظهر الرقم e بشكل متكرر جدًا في مجال الاحتمالات والإحصاءات ، ويظهر في توزيعات مختلفة ، مثل التوزيعات العادية أو Gaussian و Poisson's وغيرها.

هندسة

إنه متكرر في الهندسة ، نظرًا لأن الوظيفة الأسية y = e ^x موجودة في الميكانيكا والكهرومغناطيسية ، على سبيل المثال. من بين العديد من التطبيقات يمكننا أن نذكر:

-كابل أو سلسلة معلقة ممسوكة من الأطراف ، تتخذ شكل المنحنى المعطى بواسطة:

y = (e ^x + e ^-x) / 2

-المكثف C الذي تم تفريغه مبدئيًا والمتصل على التوالي بمقاوم R ومصدر جهد V لشحنه ، يكتسب شحنة معينة Q كدالة للوقت t معطى بواسطة:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC})

مادة الاحياء

تُستخدم الدالة الأسية y = Ae ^Bx ، مع ثابت A و B ، لنمذجة نمو الخلايا ونمو البكتيريا.

جسدي - بدني

في الفيزياء النووية ، يتم نمذجة الاضمحلال الإشعاعي وتحديد العمر من خلال التأريخ بالكربون المشع.

الاقتصاد

في حساب الفائدة المركبة ، ينشأ الرقم e بشكل طبيعي.

افترض أن لديك مبلغًا معينًا من المال P _o لاستثماره بمعدل فائدة i٪ سنويًا.

إذا تركت المال لمدة عام واحد ، فسيكون لديك بعد ذلك الوقت:

بعد عام آخر دون أن تلمسه ، سيكون لديك:

وتستمر على هذا النحو لمدة n من السنوات:

الآن دعونا نتذكر أحد تعريفات e:

يشبه إلى حد ما تعبير P ، لذلك يجب أن تكون هناك علاقة.

سنقوم بتوزيع معدل الفائدة الاسمي i في فترات زمنية n ، وبهذه الطريقة سيكون معدل الفائدة المركب i / n:

يبدو هذا التعبير أقرب إلى حدنا ، لكنه لا يزال غير متماثل تمامًا.

ومع ذلك ، بعد بعض المعالجات الجبرية ، يمكن إثبات أنه من خلال إجراء هذا التغيير في المتغير:

تصبح أموالنا P:

وما بين القوسين ، حتى لو كتب بالحرف h ، فإنه يساوي سعة النهاية التي تحدد الرقم e ، وينقصها النهاية فقط.

لنجعل h → ∞ ، وما بين القوسين يصبح الرقم e. هذا لا يعني أنه يتعين علينا الانتظار وقتًا طويلاً غير محدود لسحب أموالنا.

إذا نظرنا عن كثب ، من خلال جعل h = n / i والميل إلى ∞ ، فإن ما فعلناه بالفعل هو توزيع سعر الفائدة على فترات زمنية قصيرة جدًا جدًا:

أنا = ن / ح

وهذا ما يسمى بالمضاعفة المستمرة. في مثل هذه الحالة ، يتم حساب مبلغ المال بسهولة كما يلي:

حيث أنا هو معدل الفائدة السنوي. على سبيل المثال ، عند إيداع 12 يورو بنسبة 9٪ سنويًا ، من خلال الرسملة المستمرة ، بعد عام واحد ، يكون لديك:

بربح 1.13 يورو.

المراجع

1. استمتع بالرياضيات. الفائدة المركبة: التركيب الدوري. تم الاسترجاع من: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera، J. 2000. الرياضيات 1. متنوع. إصدارات CO-BO.
3. García، M. العدد e في حساب التفاضل والتكامل الأولي. تم الاسترجاع من: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
5. لارسون ، ر. 2010. حساب متغير. 9. الإصدار. ماكجرو هيل.