الأعداد الأولية: الخصائص والأمثلة والتمارين - رياضيات - 2025

و الأعداد الأولية ، كما دعا رئيس الوزراء المطلقة، هي تلك الأعداد الطبيعية التي تقبل القسمة إلا بأنفسهم و1. هذه الفئة أرقام مثل 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23 والعديد من زائد.

بدلاً من ذلك ، يمكن القسمة على الرقم المركب على 1 وعلى رقم آخر على الأقل. لدينا على سبيل المثال 12 ، وهو قابل للقسمة على 1 و 2 و 4 و 6 و 12. حسب الاصطلاح ، 1 غير مدرج في قائمة الأعداد الأولية أو في قائمة المركبات.

الشكل 1. بعض الأعداد الأولية. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

تعود معرفة الأعداد الأولية إلى العصور القديمة ؛ لقد استخدمها المصريون القدماء بالفعل وكانوا معروفين بالتأكيد منذ فترة طويلة.

هذه الأرقام مهمة جدًا ، حيث يمكن تمثيل أي عدد طبيعي بمنتج الأعداد الأولية ، وهذا التمثيل فريد ، باستثناء ترتيب العوامل.

هذه الحقيقة مثبتة تمامًا في نظرية تسمى النظرية الأساسية للحساب ، والتي تنص على أن الأعداد غير الأولية تتكون بالضرورة من حاصل ضرب أعداد أولية.

خصائص الأعداد الأولية

فيما يلي الخصائص الرئيسية للأعداد الأولية:

- إنها لا نهائية ، لأنه بغض النظر عن حجم العدد الأولي ، يمكنك دائمًا العثور على رقم أكبر.

- إذا كان الرقم الأولي p لا يقسم بالضبط رقمًا آخر a ، فيقال إن p و a أوليان لبعضهما البعض. عندما يحدث هذا ، فإن القاسم المشترك الوحيد بينهما هو 1.

ليس من الضروري أن يكون a عددًا أوليًا مطلقًا. على سبيل المثال ، 5 عدد أولي ، وعلى الرغم من أن الرقم 12 ليس كذلك ، فإن كلا الرقمين أوليان لبعضهما البعض ، لأن كلاهما لهما 1 كمقسوم مشترك.

-عندما يقسم عدد أولي p قوة العدد n ، فإنه يقسم أيضًا n. لنفكر في 100 ، وهي قوة 10 ، وبالتحديد 10 ². يحدث أن 2 يقسم كلا من 100 و 10.

- جميع الأعداد الأولية فردية باستثناء الرقم 2 ، وبالتالي فإن الرقم الأخير هو 1 أو 3 أو 7 أو 9. ولا يتم تضمين 5 ، لأنه على الرغم من أنه فردي وأولي ، إلا أنه لا يمثل الرقم النهائي لرقم أولي آخر. في الواقع ، كل الأعداد التي تنتهي بالرقم 5 هي مضاعفات لهذا وبالتالي فهي ليست أولية.

-إذا كان p أوليًا ومقسومًا على حاصل ضرب عددين ab ، فإن p يقسم أحدهما. على سبيل المثال ، العدد الأولي 3 يقسم حاصل الضرب 9 × 11 = 99 ، حيث أن 3 مقسومًا على 9.

كيف تعرف ما إذا كان الرقم أوليًا

البدائية هي الاسم الذي يطلق على صفة كونك رئيسًا. حسنًا ، وجد عالم الرياضيات الفرنسي بيير دي فيرمات (1601-1665) طريقة للتحقق من بدائية عدد ، في ما يسمى نظرية فيرما الصغيرة ، والتي تقول:

"بالنظر إلى العدد الطبيعي الأولي p وأي عدد طبيعي أكبر من 0 ، فمن الصحيح أن a ^p - a مضاعف لـ p ، طالما أن p عدد أولي".

يمكننا تأكيد ذلك باستخدام أعداد صغيرة ، على سبيل المثال افترض أن p = 4 ، والتي نعلم بالفعل أنها ليست أولية وأنها بالفعل = 6:

6 ⁴ - = 6 1296-6 = 1290

الرقم 1290 لا يقبل القسمة بالضبط على 4 ، وبالتالي فإن 4 ليس عددًا أوليًا.

لنقم بالاختبار الآن مع p = 5 ، وهو عدد أولي و ya = 6:

6 ⁵ - = 6 7766-6 = 7760

7760 يقبل القسمة على 5 ، لأن أي رقم ينتهي بـ 0 أو 5 هو. في الحقيقة 7760/5 = 1554. بما أن نظرية فيرما الصغيرة صحيحة ، يمكننا التأكد من أن 5 عدد أولي.

الإثبات من خلال النظرية فعال ومباشر بأعداد صغيرة ، حيث تكون العملية سهلة التنفيذ ، ولكن ماذا نفعل إذا طُلب منا معرفة بدائية عدد كبير؟

في هذه الحالة ، يتم تقسيم الرقم تباعاً بين جميع الأعداد الأولية الأصغر ، حتى يتم إيجاد قسمة دقيقة أو يكون حاصل القسمة أقل من المقسوم عليه.

إذا كانت أي قسمة دقيقة ، فهذا يعني أن الرقم مركب ، وإذا كان حاصل القسمة أقل من المقسوم عليه ، فهذا يعني أن الرقم أولي. سنضعها موضع التنفيذ في التمرين 2 الذي تم حله.

طرق إيجاد عدد أولي

يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ولا توجد صيغة واحدة لتحديدها. ومع ذلك ، بالنظر إلى بعض الأعداد الأولية مثل هذه:

3 ، 7 ، 31 ، 127…

ويلاحظ أنها من الشكل 2 ^ن - 1 ، مع ن = 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9… نتأكد من هذا:

2 ^2-1 = 4-1 = 3 ؛ 2 ³ - 1 = 8-1 = 7 ؛ 2 ^5-1 = 32-1 = 31 ؛ 2 ⁷ - = 1 128-1 = 127

لكن لا يمكننا التأكد بشكل عام من أن 2 ⁿ - 1 عدد أولي ، لأن هناك بعض قيم n لا تعمل من أجلها ، على سبيل المثال 4:

2 ^4-1 = 16-1 = 15

والرقم 15 ليس عددًا أوليًا ، لأنه ينتهي بالرقم 5. ومع ذلك ، فإن أحد أكبر الأعداد الأولية المعروفة ، التي تم العثور عليها بواسطة حسابات الكمبيوتر ، هو 2 ⁿ - 1 مع:

ن = 57885161

تؤكد صيغة ميرسين أن 2 ^ص - 1 دائمًا عدد أولي طالما أن p عدد أولي أيضًا. على سبيل المثال ، 31 عدد أولي ، لذا فمن المؤكد أن 2 ^{31-1 عدد} أولي أيضًا:

2 ³¹ - 1 = 2.147.483.647

ومع ذلك ، تسمح لك الصيغة بتحديد بعض الأعداد الأولية فقط ، وليس كلها.

صيغة أويلر

يسمح كثير الحدود التالي بإيجاد الأعداد الأولية بشرط أن يكون n بين 0 و 39:

الفوسفور (ن) = ن ² + ن + 41

لاحقًا في قسم التمارين التي تم حلها ، يوجد مثال على استخدامها.

غربال إراتوستينس

كان إراتوستينس فيزيائيًا وعالمًا في الرياضيات من اليونان القديمة عاش في القرن الثالث قبل الميلاد. ابتكر طريقة بيانية لإيجاد الأعداد الأولية التي يمكننا وضعها موضع التنفيذ بأعداد صغيرة ، يُطلق عليها اسم غربال إراتوستينس (غربال يشبه الغربال).

- يتم وضع الأرقام في جدول مثل الذي يظهر في الرسوم المتحركة.

- يتم بعد ذلك شطب الأعداد الزوجية ، باستثناء الرقم 2 الذي نعرف أنه عدد أولي. كل الآخر هو مضاعفات لهذا ، وبالتالي فهي ليست أولية.

-مضاعفات 3 و 5 و 7 و 11 موضحة أيضًا ، باستثناء كل منهم لأننا نعلم أنها عدد أولي.

-مضاعفات 4 و 6 و 8 و 9 و 10 معلمة بالفعل ، لأنها مركبة وبالتالي مضاعفات بعض الأعداد الأولية المشار إليها.

-أخيرًا ، الأرقام التي تظل بدون علامات أولية.

الشكل 2. رسم متحرك لمنخل إراتوستينس. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

تمارين

- التمرين 1

باستخدام كثير حدود أويلر للأعداد الأولية ، أوجد 3 أعداد أكبر من 100.

المحلول

هذه هي كثيرة الحدود التي اقترحها أويلر لإيجاد الأعداد الأولية ، والتي تعمل مع قيم n بين 0 و 39.

الفوسفور (ن) = ن ² + ن + 41

عن طريق التجربة والخطأ نختار قيمة n ، على سبيل المثال n = 8:

ف (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

نظرًا لأن n = 8 ينتج عددًا أوليًا أكبر من 100 ، فإننا نقوم بتقييم كثير الحدود لـ n = 9 و n = 10:

ف (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

ف (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- تمرين 2

اكتشف ما إذا كانت الأرقام التالية أولية:

أ) 13

ب) 191

الاجابه على

الرقم 13 صغير بما يكفي لاستخدام نظرية فيرما الصغيرة ومساعدة الآلة الحاسبة.

نستخدم a = 2 حتى لا تكون الأرقام كبيرة جدًا ، على الرغم من أنه يمكن أيضًا استخدام a = 3 أو 4 أو 5:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 يقبل القسمة على 2 ، لأنه زوجي ، وبالتالي فإن 13 عدد أولي. يمكن للقارئ تأكيد ذلك من خلال إجراء نفس الاختبار مع = 3.

الحل ب

191 أكبر من أن نثبت بالنظرية والآلة الحاسبة الشائعة ، لكن يمكننا إيجاد القسمة بين كل عدد أولي. نحذف القسمة على 2 لأن 191 ليس زوجيًا ولن تكون القسمة دقيقة أو ناتج القسمة أقل من 2.

نحاول القسمة على 3:

191/3 = 63666…

وهي لا تعطي الدقة ، ولا حاصل القسمة أقل من القاسم (63666… أكبر من 3)

وهكذا نواصل محاولة قسمة 191 بين الأعداد الأولية 5 و 7 و 11 و 13 ولا يتم الوصول إلى القسمة الدقيقة ولا الحاصل الأقل من المقسوم عليه. حتى يتم تقسيمها على 17:

191/17 = 11 ، 2352…

نظرًا لأنه ليس دقيقًا و 11.2352… أقل من 17 ، فإن الرقم 191 هو عدد أولي.

المراجع

1. بالدور ، أ. 1986. الحساب. طبعات وتوزيع الدستور.
2. برييتو ، سي الأعداد الأولية. تم الاسترجاع من: paginas.matem.unam.mx.
3. خصائص الأعداد الأولية. تم الاسترجاع من: mae.ufl.edu.
4. سمارتيك. الأعداد الأولية: كيفية العثور عليها باستخدام منخل إراتوستينس. تم الاسترجاع من: smartick.es.
5. ويكيبيديا. رقم اولي. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.