التناسب المركب: شرح ، حكم مركب من ثلاثة ، تمارين - رياضيات - 2025

و التناسب مركب أو متعددة هي نسبة أكثر من المقادير، والتي يمكن ملاحظتها مباشرة والتناسب العكسي بين البيانات والمجهول. هذه نسخة أكثر تقدمًا من التناسب البسيط ، على الرغم من أن التقنيات المستخدمة في كلا الإجراءين متشابهة.

على سبيل المثال ، إذا كانت هناك حاجة إلى 7 أشخاص لتفريغ 10 أطنان من البضائع في 3 ساعات ، فيمكن استخدام التناسب المركب لحساب عدد الأشخاص الذين سيستغرقهم تفريغ 15 طنًا في 4 ساعات.

المصدر: pixabay.com

للإجابة على هذا السؤال ، من الملائم عمل جدول قيم لدراسة المقادير والمجهول والربط بينها.

ننتقل إلى تحليل أنواع العلاقات بين كل حجم والمجهول الحالي ، والذي يتوافق في هذه الحالة مع عدد الأشخاص الذين سيعملون.

مع زيادة وزن البضائع ، يزداد عدد الأشخاص المطلوبين لتفريغها. وبسبب هذا ، فإن العلاقة بين الوزن والعاملين مباشرة.

من ناحية أخرى ، مع زيادة عدد العمال ، تنخفض ساعات العمل. ونتيجة لذلك ، تكون العلاقة بين الأشخاص وساعات العمل من النوع العكسي.

كيفية حساب التناسب المركبة

لحل أمثلة مثل المثال أعلاه ، يتم استخدام القاعدة المركبة للطريقة الثلاثة في الغالب. يتكون هذا من إنشاء أنواع العلاقات بين الكميات والمجهول ثم تمثيل المنتج بين الكسور.

فيما يتعلق بالمثال الأولي ، يتم تنظيم الكسور المقابلة لجدول القيم على النحو التالي:

ولكن قبل حل المجهول وحلها ، يجب عكس الكسور المقابلة للعلاقة العكسية. والتي تتوافق في هذه الحالة مع الوقت المتغير. بهذه الطريقة ، ستكون عملية الحل:

الذي الاختلاف الوحيد هو انعكاس الكسر المقابل لمتغير الوقت 4/3. نشرع في العمل ومسح قيمة x.

وبالتالي ، هناك حاجة لأكثر من أحد عشر شخصًا ليتمكنوا من تفريغ 15 طنًا من البضائع في 4 ساعات أو أقل.

تفسير

التناسب هو العلاقة الثابتة بين الكميات الخاضعة للتغيير ، والتي ستكون متماثلة لكل من الكميات المعنية. هناك علاقات تناسبية عكسية ومباشرة ، وبالتالي تحديد معاملات التناسب البسيط أو المركب.

حكم مباشر من ثلاثة

يتكون من علاقة تناسبية بين المتغيرات ، والتي تظهر نفس السلوك عند تعديلها. إنه متكرر جدًا في حساب النسب المئوية التي تشير إلى مقادير غير مائة ، حيث يتم تقدير هيكلها الأساسي.

على سبيل المثال ، يمكن حساب 15٪ من 63. للوهلة الأولى ، لا يمكن تقدير هذه النسبة بسهولة. لكن بتطبيق قاعدة الثلاثة ، يمكن إجراء العلاقة التالية: إذا كانت 100٪ هي 63 ، إذن 15٪ ، فما مقدارها؟

100٪ ---- 63

15٪ - X

والعملية المقابلة هي:

(15٪ 63) / 100٪ = 9.45

حيث يتم تبسيط علامات النسبة المئوية ويتم الحصول على الرقم 9.45 والذي يمثل 15٪ من 63.

القاعدة العكسية للثلاثة

وكما يشير اسمه ، فإن العلاقة بين المتغيرات في هذه الحالة هي عكس ذلك. يجب إنشاء العلاقة العكسية قبل الشروع في الحساب. إجرائه مماثل لقاعدة الثلاثة ، باستثناء الاستثمار في الكسر المراد حسابه.

على سبيل المثال ، يحتاج 3 رسامين إلى 5 ساعات لإنهاء الجدار. في كم ساعة سينهيها 4 رسامين؟

في هذه الحالة ، تكون العلاقة معكوسة ، لأنه كلما زاد عدد الرسامين ، يجب أن يقل وقت العمل. تم تأسيس العلاقة ؛

3 رسامين - 5 ساعات

4 رسامين - X ساعة

عندما تنعكس العلاقة ، يتم عكس ترتيب العملية. هذه هي الطريقة الصحيحة.

(3 رسامين). (5 ساعات) / 4 رسامين = 3.75 ساعة

تم تبسيط مصطلح الرسامين ، وكانت النتيجة 3.75 ساعة.

شرط

لكي تكون في وجود مركب أو تناسب متعدد ، من الضروري إيجاد كلا النوعين من العلاقة بين المقادير والمتغيرات.

- مباشر: المتغير له نفس سلوك المجهول. أي عندما يزيد أحدهما أو ينقص ، يتغير الآخر بالتساوي.

- معكوس: المتغير له سلوك متضاد لسلوك المجهول. يجب عكس الجزء الذي يحدد المتغير المذكور في جدول القيم ، من أجل تمثيل العلاقة التناسبية العكسية بين المتغير وغير المعروف.

التحقق من النتائج

من الشائع جدًا الخلط بين ترتيب الكميات عند العمل مع التناسب المركب ، على عكس ما يحدث في حسابات النسب المعتادة ، والتي تكون طبيعتها في الغالب مباشرة وقابلة للحل عن طريق قاعدة بسيطة من ثلاثة.

لهذا السبب ، من المهم فحص الترتيب المنطقي للنتائج ، والتحقق من تماسك الأرقام الناتجة عن القاعدة المركبة المكونة من ثلاثة.

في المثال الأولي ، سيؤدي ارتكاب مثل هذا الخطأ إلى 20 نتيجة. أي 20 شخصًا لتفريغ 15 طنًا من البضائع في 4 ساعات.

للوهلة الأولى ، لا تبدو النتيجة مجنونة ، لكن من الغريب زيادة عدد الموظفين بنسبة 200٪ تقريبًا (من 7 إلى 20 شخصًا) عندما تكون الزيادة في البضائع 50٪ ، وحتى مع وجود هامش أكبر من الوقت لتنفيذها العمل.

وبالتالي ، فإن التحقق المنطقي من النتائج يمثل خطوة مهمة في تنفيذ القاعدة المركبة المكونة من ثلاثة.

تخليص

على الرغم من كونها أساسية في طبيعتها فيما يتعلق بالتدريب الرياضي ، فإن الإجازة تمثل خطوة مهمة في حالات التناسب. يكفي التخليص الخاطئ لإبطال أي نتيجة يتم الحصول عليها في قاعدة الثلاثة البسيطة أو المركبة.

التاريخ

أصبح حكم الثلاثة معروفًا في الغرب عبر العرب ، مع منشورات لمؤلفين مختلفين. ومن بينهم الجوارزمي والبيروني.

تمكن البيروني ، بفضل معرفته المتعددة الثقافات ، من الوصول إلى معلومات واسعة بشأن هذه الممارسة في رحلاته إلى الهند ، كونه مسؤولاً عن أكثر التوثيق شمولاً حول قاعدة الثلاثة.

ويذكر في بحثه أن الهند كانت المكان الأول الذي أصبح فيه استخدام قاعدة الثلاثة أمرًا شائعًا. يؤكد الكاتب أنه تم تنفيذه بطريقة سلسة بنسخه المباشرة والمعكوسة وحتى المؤلفة.

لا يزال التاريخ الدقيق الذي أصبحت فيه قاعدة الثلاثة جزءًا من المعرفة الرياضية للهند غير معروف. ومع ذلك ، تم اكتشاف أقدم وثيقة تتناول هذه الممارسة ، مخطوطة بخشالي ، في عام 1881. وهي موجودة حاليًا في أكسفورد.

يدعي العديد من مؤرخي الرياضيات أن هذه المخطوطة تعود إلى بداية العصر الحالي.

تمارين محلولة

التمرين 1

يجب أن تحمل شركة الطيران 1535 شخصًا. من المعروف أنه مع 3 طائرات ، سيستغرق الأمر 12 يومًا لتوصيل آخر راكب إلى الوجهة. وصل 450 شخصًا إضافيًا إلى شركة الطيران وتم طلب إصلاح طائرتين للمساعدة في هذه المهمة. كم عدد الأيام التي ستستغرقها شركة الطيران لنقل آخر راكب إلى وجهته؟

العلاقة بين عدد الأشخاص وأيام العمل علاقة مباشرة ، لأنه كلما زاد عدد الأشخاص ، زاد عدد الأيام التي يستغرقها تنفيذ هذا العمل.

من ناحية أخرى ، فإن العلاقة بين الطائرات والأيام تتناسب عكسيا. مع زيادة عدد الطائرات ، تنخفض الأيام اللازمة لنقل جميع الركاب.

تم عمل جدول القيم التي تشير إلى هذه الحالة.

كما هو مفصل في المثال الأولي ، يجب عكس البسط والمقام في الكسر المقابل للمتغير العكسي فيما يتعلق بالمجهول. العملية كالتالي:

X = 71460/7675 = 9.31 يومًا

يستغرق نقل 1985 شخصًا باستخدام 5 طائرات أكثر من 9 أيام.

تمرين 2

يتم نقل محصول الذرة 25 طنًا إلى شاحنات الشحن. من المعروف أن العام السابق استغرق 8 ساعات مع رواتب 150 عاملاً. إذا زادت الرواتب لهذا العام بنسبة 35٪ ، فكم من الوقت سيستغرق لملء شاحنات البضائع بمحصول 40 طنًا؟

قبل تمثيل جدول القيم ، يجب تحديد عدد العاملين لهذا العام. وزاد هذا بنسبة 35٪ عن الرقم الأولي البالغ 150 عاملاً. يتم استخدام قاعدة مباشرة من ثلاثة لهذا.

100٪ - 150

35٪ - X

س = (35100) / 100 = 52.5. هذا هو عدد العمال الإضافيين مقارنة بالعام السابق ، الذين حصلوا على إجمالي عدد العمال 203 ، بعد تقريب المبلغ الذي تم الحصول عليه.

ننتقل إلى تحديد جدول البيانات المقابل

في هذه الحالة ، يمثل الوزن متغيرًا يرتبط ارتباطًا مباشرًا بالوقت غير المعروف. من ناحية أخرى ، فإن متغير العمال له علاقة عكسية مع الوقت. كلما زاد عدد العمال ، قل يوم العمل.

مع أخذ هذه الاعتبارات في الاعتبار وعكس الكسر المقابل لمتغير العمال ، نشرع في الحساب.

X = 40600/6000 = 6.76 ساعة

ستستغرق الرحلة أقل من 7 ساعات.

تمارين مقترحة

- تحديد 73٪ من 2875.

- احسب عدد الساعات التي تنامها تيريزا ، إذا عرف أنها تنام 7٪ فقط من إجمالي اليوم. حدد عدد ساعات نومك في الأسبوع.

- صحيفة تنشر 2000 نسخة كل 5 ساعات باستخدام ماكنتين فقط للطباعة. كم عدد النسخ التي سينتجها في ساعة واحدة إذا كان يستخدم 7 آلات؟ كم من الوقت سيستغرق إنتاج 10000 نسخة باستخدام 4 آلات؟

المراجع

1. موسوعة الفاريز الشروع. A. ألفاريز ، أنطونيو ألفاريز بيريز. EDAF ، 2001.
2. الدليل الكامل للتعليم الابتدائي والابتدائي العالي: لاستخدام المعلمين الطموحين وخاصة طلاب المدارس العادية في المقاطعة ، المجلد 1. Joaquín Avendaño. طباعة د.ديونيزيو هيدالجو ، ١٨٤٤.
3. التقريب العقلاني للوظائف الحقيقية. ب بتروشيف ، وفاسيل أتاناسوف بوبوف. مطبعة جامعة كامبريدج ، 3 مارس. 2011.
4. الحساب الابتدائي للتدريس في المدارس والكليات في أمريكا الوسطى. داريو غونزاليس. تلميح. أريناليس ، 1926.
5. دراسة الرياضيات: في دراسة الرياضيات وصعوباتها. أوغسطس دي مورغان. بالدوين وكرادوك ، ١٨٣٠.