مثلث SCALENE: الخصائص والصيغة والمساحات والحساب - رياضيات - 2026

A مثلث مختلف الأضلاع هو مضلع مع ثلاث جهات، وكلها لها تدابير أو أطوال مختلفة. لهذا السبب يطلق عليه اسم scalene ، والذي يعني في اللاتينية التسلق.

تعتبر المثلثات المضلعات الأبسط في الهندسة لأنها تتكون من ثلاثة جوانب وثلاثة زوايا وثلاثة رؤوس. في حالة المثلث المتدرج ، من خلال اختلاف جميع الجوانب ، فهذا يعني أن زواياه الثلاث ستكون أيضًا.

خصائص مثلثات Scene

مثلثات Scalene هي مضلعات بسيطة لأنه لا يوجد أي من جوانبها أو زواياها لها نفس القياس ، على عكس المثلثات متساوية الساقين والمثلثات متساوية الأضلاع.

نظرًا لأن جميع جوانبها وزواياها لها قياسات مختلفة ، فإن هذه المثلثات تعتبر مضلعات محدبة غير منتظمة.

بناءً على سعة الزوايا الداخلية ، يتم تصنيف مثلثات Scene على النحو التالي:

• مثلث قائم الزاوية: جميع الجوانب مختلفة. إحدى زواياه قائمة (90 ^أو) والأخرى حادة وبقياسات مختلفة.
• مثلث الحجم المنفرج: جميع الجوانب مختلفة وإحدى زواياه منفرجة (> 90 ^أو).
• المثلث الحاد Scalene: جميع الجوانب مختلفة. جميع الزوايا حادة (أقل من 90 ^أو) بقياسات مختلفة.

سمة أخرى لمثلثات Scene هي أنه بسبب عدم تناسق جوانبها وزواياها ، ليس لديها محور تناظر.

مكونات

الوسيط: هو الخط الذي يبدأ من منتصف أحد الجانبين ويصل إلى الرأس المقابل. يجتمع الوسطاء الثلاثة عند نقطة تسمى مركز barycenter أو centroid.

المنصف: شعاع يقسم كل زاوية إلى زاويتين متساويتين في القياس. تلتقي منصفات المثلث عند نقطة تسمى السيقان.

المنصف: هو قطعة متعامدة مع ضلع المثلث ، ويكون أصله في منتصفه. هناك ثلاثة منصفات في المثلث ويلتقون في نقطة تسمى الختان.

الارتفاع: هو الخط الذي يمتد من الرأس إلى الضلع المقابل ، وهذا الخط أيضًا عمودي على هذا الجانب. كل المثلثات لها ثلاثة ارتفاعات تتطابق عند نقطة تسمى المركز العمودي.

الخصائص

يتم تعريف أو تحديد مثلثات Scalene لأن لها العديد من الخصائص التي تمثلها ، والتي تنشأ من النظريات التي اقترحها علماء الرياضيات الكبار. هم انهم:

الزوايا الداخلية

مجموع الزوايا الداخلية دائمًا يساوي 180 ^درجة.

مجموع الأضلاع

يجب أن يكون مجموع قياسات الجانبين دائمًا أكبر من قياس الضلع الثالث ، أ + ب> ج.

جوانب متناقضة

جميع جوانب مثلثات Scene لها مقاييس أو أطوال مختلفة ؛ أي أنها متناقضة.

زوايا غير متناسقة

نظرًا لأن جميع جوانب المثلث المتدرج مختلفة ، فستكون زواياه أيضًا. ومع ذلك ، سيكون مجموع الزوايا الداخلية دائمًا يساوي 180 درجة ، وفي بعض الحالات ، يمكن أن تكون إحدى زواياه منفرجة أو مستقيمة ، بينما في حالات أخرى تكون جميع زواياها حادة.

الطول والوسيط والمنصف والمنصف ليست مصادفة

مثل أي مثلث ، يحتوي Scene على مقاطع خطية مختلفة تتكون منه ، مثل: الارتفاع والوسيط والمنصف والمنصف.

نظرًا لخصوصية جوانبها ، في هذا النوع من المثلث ، لن يتطابق أي من هذه الخطوط في واحد.

تقويم العظام ، مركز barycenter ، محرض وختان ليست من قبيل الصدفة

نظرًا لأن الطول والوسيط والمنصف والمنصف يتم تمثيله بمقاطع خطية مختلفة ، في مثلث Scene ، سيتم العثور على نقاط الالتقاء - مركز تقويم العظام ، والموقد ، والطارد - في نقاط مختلفة (لا تتطابق).

اعتمادًا على ما إذا كان المثلث حادًا أم يمينًا أم مقياسًا ، فإن لمركز تقويم العظام مواقع مختلفة:

إلى. إذا كان المثلث حادًا ، فسيكون مركز تقويم العظام داخل المثلث.

ب. إذا كان المثلث صحيحًا ، فسوف يتزامن مركز تقويم العظام مع رأس الجانب الأيمن.

ج. إذا كان المثلث منفرجًا ، فسيكون المركز العمودي على خارج المثلث.

ارتفاعات نسبية

المرتفعات متناسبة مع الجوانب.

في حالة مثلث Scene ، سيكون لهذه الارتفاعات قياسات مختلفة. كل مثلث له ثلاثة ارتفاعات نسبية وتستخدم صيغة هيرون لحسابها.

كيف تحسب المحيط؟

يُحسب محيط المضلع بجمع الأضلاع.

نظرًا لأن مثلث Scene في هذه الحالة له جميع جوانبه بمقاييس مختلفة ، فسيكون محيطه:

P = الجانب أ + الجانب ب + الجانب ج.

كيف تحسب المساحة؟

يتم حساب مساحة المثلثات دائمًا بنفس الصيغة ، وضرب القاعدة في الارتفاع والقسمة على اثنين:

المساحة = (القاعدة _* ح) ÷ 2

في بعض الحالات ، لا يُعرف ارتفاع المثلث المتدرج ، لكن هناك معادلة اقترحها عالم الرياضيات هيرون لحساب المساحة التي تعرف قياس الأضلاع الثلاثة للمثلث.

أين:

• أ ، ب ، ج ، تمثل جوانب المثلث.
• س ، يتوافق مع نصف محيط المثلث ، أي نصف المحيط:

س = (أ + ب + ج) ÷ 2

إذا كان لديك قياس ضلعي المثلث والزاوية بينهما فقط ، يمكن حساب المنطقة بتطبيق النسب المثلثية. لذلك عليك أن:

المساحة = (الجانب _* ح) ÷ 2

حيث الارتفاع (ح) هو نتاج جانب واحد وجيب الزاوية المقابلة. على سبيل المثال ، ستكون المساحة لكل جانب:

• المساحة = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• المساحة = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• المساحة = (a _* b _* sin C) 2

كيف تحسب الارتفاع؟

نظرًا لاختلاف جميع جوانب مثلث Scene ، لا يمكن حساب الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس.

من صيغة هيرون المبنية على قياسات الأضلاع الثلاثة للمثلث ، يمكن حساب المساحة.

يمكن مسح الارتفاع من الصيغة العامة للمنطقة:

يتم استبدال الضلع بمقياس الضلع أ أو ب أو ج.

هناك طريقة أخرى لحساب الارتفاع عند معرفة قيمة إحدى الزوايا ، وهي عن طريق تطبيق النسب المثلثية ، حيث يمثل الارتفاع ساق المثلث.

على سبيل المثال ، عندما تُعرف الزاوية المقابلة للارتفاع ، فسيتم تحديدها بواسطة الجيب:

كيف تحسب الأضلاع؟

عندما يكون لديك قياس ضلعين والزاوية المقابلة لهما ، فمن الممكن تحديد الضلع الثالث بتطبيق نظرية جيب التمام.

على سبيل المثال ، في المثلث AB ، يتم رسم الارتفاع بالنسبة إلى القطعة AC. بهذه الطريقة ينقسم المثلث إلى مثلثين قائم الزاوية.

لحساب الضلع ج (الجزء AB) ، طبق نظرية فيثاغورس لكل مثلث:

• بالنسبة للمثلث الأزرق لدينا:

ص ² = س ² + م ²

بما أن م = ب - ن ، نستبدل:

ص ² = ح ² + ب ² (ب - ن) ²

ص ² = س ² + ب ² - ² مليار + ن ².

• بالنسبة للمثلث الوردي ، عليك أن:

ح ² = أ ² - ن ²

يتم استبداله في المعادلة السابقة:

ص ² = أ ² - ن ² + ب ² - ² مليار ن + ن ²

ص ² = أ ² + ب ² - ² مليار.

مع العلم أن n = a _* cos C ، يتم استبداله في المعادلة السابقة ويتم الحصول على قيمة الجانب c:

ص ² = أ ² + ب ² - ² ب _* أ _* كوس ج.

وفقًا لقانون جيب التمام ، يمكن حساب الأضلاع على النحو التالي:

• أ ² = ب ² + ص ² - ² ب _* ج _* كوس أ.
• ب ² = أ ² + ص ² - ² أ _* ج _* كوس ب.
• ص ² = أ ² + ب ² - ² ب _* أ _* كوس ج.

هناك حالات لا تُعرف فيها قياسات جوانب المثلث ، بل ارتفاعها وزواياها المتكونة عند الرؤوس. لتحديد المنطقة في هذه الحالات ، من الضروري تطبيق النسب المثلثية.

معرفة زاوية أحد رؤوسها ، يتم تحديد الأرجل واستخدام النسبة المثلثية المقابلة:

على سبيل المثال ، سيكون الضلع AB معاكسًا للزاوية C ، ولكنه مجاور للزاوية A. اعتمادًا على الضلع المقابل أو الضلع المقابل للارتفاع ، يتم إخلاء الضلع الآخر للحصول على قيمة هذا.

تمارين

التمرين الأول

احسب مساحة وارتفاع المثلث ABC مع العلم أن أضلاعه هي:

أ = 8 سم.

ب = 12 سم.

ج = 16 سم.

المحلول

كبيانات ، يتم إعطاء قياسات الجوانب الثلاثة لمثلث Scene.

نظرًا لعدم توفر قيمة الارتفاع ، يمكن تحديد المنطقة بتطبيق صيغة هيرون.

أولاً يتم حساب semiperimeter:

س = (أ + ب + ج) ÷ 2

س = (8 سم + 12 سم + 16 سم) ÷ 2

س = 36 سم ÷ 2

س = 18 سم.

الآن يتم استبدال القيم في صيغة هيرون:

بمعرفة المساحة ، يمكن حساب الارتفاع بالنسبة للجانب ب. من الصيغة العامة ، توضيحها ، لدينا:

المساحة = (الجانب _* ح) ÷ 2

46 ، 47 سم ² = (12 سم _{* ارتفاع}) ÷ 2

ع = (2 _* 46.47 سم ²) ÷ 12 سم

ع = 92.94 سم ² 12 سم

ح = 7.75 سم.

التمرين الثاني

بالنظر إلى مثلث Scene ABC ، ​​وقياساته هي:

• القطعة AB = 25 م.
• القطعة BC = 15 م.

عند الرأس B تشكلت زاوية قياسها 50º. احسب الارتفاع بالنسبة إلى الضلع ج ومحيط ومساحة ذلك المثلث.

المحلول

في هذه الحالة لدينا قياسات ضلعين. لتحديد الارتفاع ، من الضروري حساب قياس الجانب الثالث.

بما أن الزاوية المقابلة للأضلاع المعطاة معطاة ، فمن الممكن تطبيق قانون جيب التمام لتحديد قياس الضلع AC (b):

ب ² = أ ² + ص ² - ² أ _* ج _* كوس ب

أين:

أ = قبل الميلاد = 15 م.

ج = AB = 25 م.

ب = AC.

ب = 50 ^درجة.

يتم استبدال البيانات:

ب ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* كوس 50

ب ² = (225) + (625) - (750) _* 0.6427

ب ² = (225) + (625) - (482،025)

ب ² = 367.985

ب = -367،985

ب = 19.18 م.

نظرًا لأن لدينا بالفعل قيمة الأضلاع الثلاثة ، فقد تم حساب محيط هذا المثلث:

P = الجانب أ + الجانب ب + الجانب ج

P = 15 م + 25 م + 19 ، 18 م

P = 59.18 م

من الممكن الآن تحديد المنطقة من خلال تطبيق معادلة هيرون ، ولكن يجب أولاً حساب مقياس نصف القطر:

س = ف 2

ص = 59.18 م ÷ 2

س = 29.59 م.

يتم استبدال قياسات الأضلاع ونصف المتر في صيغة هيرون:

أخيرًا بمعرفة المساحة ، يمكن حساب الارتفاع بالنسبة للجانب c. من الصيغة العامة ، عليك أن:

المساحة = (الجانب _* ح) ÷ 2

143.63 م ² = (25 م _* ح) ÷ 2

ع = (2 _* 143.63 م ²) ÷ 25 م

ع = 287.3 م ² 25 م

ح = 11.5 م.

التمرين الثالث

في مثلث القياس ، الضلع ABC يساوي 40 سم ، والضلع c يساوي 22 سم ، والقمة A ، تكون الزاوية 90 ^أو. احسب مساحة هذا المثلث.

المحلول

في هذه الحالة ، يتم إعطاء قياسات ضلعي المثلث المتدرج ABC ، ​​بالإضافة إلى الزاوية التي تكونت عند الرأس A.

لتحديد المنطقة ، ليس من الضروري حساب قياس الضلع أ ، لأنه من خلال النسب المثلثية ، يتم استخدام الزاوية للعثور عليه.

بما أن الزاوية المقابلة للارتفاع معروفة ، فسيتم تحديدها بحاصل ضرب جانب واحد وجيب الزاوية.

الاستعاضة في صيغة المنطقة لدينا:

• المساحة = (الجانب _* ح) ÷ 2
• ح = ج _* الخطيئة أ

المساحة = (b _* c _* sin A) ÷ 2

المساحة = (40 سم _* 22 سم _* خطيئة 90) ÷ 2

المساحة = (40 سم _* 22 سم _* 1) ÷ 2

المساحة = 880 سم ² 2

المساحة = 440 سم ².

المراجع

1. ألفارو ريندون ، أركنساس (2004). الرسم الفني: دفتر النشاط.
2. Ángel Ruiz ، HB (2006). الهندسة. تقنية CR.
3. أنجل ، أركنساس (2007). الجبر الابتدائي. تعليم بيرسون ،.
4. بالدور ، أ. (1941). الجبر. هافانا: ثقافة.
5. باربوسا ، جيه إل (2006). الهندسة الإقليدية المستوية. ريو دي جانيرو،.
6. كوكستر ، هـ. (1971). أساسيات الهندسة. المكسيك: ليموزا وايلي.
7. دانيال سي ألكساندر ، GM (2014). الهندسة الابتدائية لطلاب الكلية. سينجاج ليرنينج.
8. هاربي ، ب. د. (2000). موضوعات في نظرية المجموعة الهندسية. مطبعة جامعة شيكاغو.