القوس (الهندسة): القياس ، أنواع الأقواس ، الأمثلة - رياضيات - 2025

و قوس ، في الهندسة، أي الخط المنحني الذي يربط نقطتين. الخط المنحني ، بخلاف الخط المستقيم ، هو الخط الذي يختلف اتجاهه عند كل نقطة عليه. الجزء المقابل للقوس هو مقطع ، لأن هذا مقطع مستقيم يصل بين نقطتين.

القوس الأكثر استخدامًا في الهندسة هو قوس المحيط. الأقواس الأخرى الشائعة الاستخدام هي القوس المكافئ والقوس الإهليلجي وقوس سلسال. يستخدم شكل القوس أيضًا بشكل متكرر في الهندسة المعمارية كعنصر زخرفي وعنصر هيكلي. هذه هي حالة عتبات الأبواب والنوافذ وكذلك الجسور والقنوات.

الشكل 1. قوس قزح عبارة عن خط منحني يربط بين نقطتين في الأفق. المصدر: Pixabay

القوس وقياسه

قياس القوس هو طوله ، والذي يعتمد على نوع المنحنى الذي يربط النقطتين وموقعهما.

يعد طول القوس الدائري من أبسط الطرق في الحساب ، لأن طول القوس أو محيط المحيط الكامل معروف.

محيط الدائرة يساوي اثنين pi في نصف قطرها: p = 2 π R. بمعرفة ذلك ، إذا أردنا حساب طول القوس الدائري للزاوية α (يقاس بالراديان) ونصف القطر R ، يتم تطبيق النسبة:

(ق / ع) = (α / 2 π)

بعد ذلك ، مسح s من التعبير السابق واستبدال المحيط p بتعبيرها كدالة لنصف القطر R ، لدينا:

ق = (α / 2 π) ص = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

أي أن قياس القوس الدائري هو نتاج فتحه الزاوي مضروبًا في نصف قطر القوس الدائري.

بالنسبة للقوس بشكل عام ، تكون المشكلة أكثر تعقيدًا ، لدرجة أن كبار المفكرين في العصور القديمة ادعوا أنها كانت مهمة مستحيلة.

لم يتم حل مشكلة قياس أي قوس بشكل مرض حتى ظهور التفاضل والتكامل في عام 1665.

قبل اختراع حساب التفاضل والتكامل ، يمكن إيجاد الحلول فقط باستخدام خطوط متعددة الأضلاع أو أقواس محيط تقترب من القوس الحقيقي ، لكن هذه الحلول لم تكن دقيقة.

أنواع الأقواس

من وجهة نظر الهندسة ، تصنف الأقواس وفقًا للخط المنحني الذي يربط نقطتين على المستوى. وهناك تصنيفات أخرى حسب استعمالها وشكلها المعماري.

قوس دائري

عندما يكون الخط الذي يربط بين نقطتين في المستوى قطعة محيط بنصف قطر معين ، يكون لدينا قوس دائري. يوضح الشكل 2 قوسًا دائريًا c نصف قطره R يربط بين النقطتين A و B.

الشكل 2. قوس دائري نصف قطر R يربط بين النقطتين A و B. وضعه ريكاردو بيريز.

قوس مكافئ

القطع المكافئ هو المسار الذي يتبعه جسم تم إلقاؤه بشكل غير مباشر في الهواء. عندما يكون المنحنى الذي يربط بين نقطتين قطعًا مكافئًا ، يكون لدينا قوس مكافئ مثل الذي يظهر في الشكل 3.

الشكل 3. قوس مكافئ يربط النقاط A و B. وضع ريكاردو بيريز.

هذا هو شكل تدفق الماء الذي يخرج من خرطوم متجهًا إلى أعلى. يمكن ملاحظة القوس المكافئ في مصادر المياه.

الشكل 4. قوس مكافئ شكلته المياه من نافورة في درسدن. المصدر: Pixabay.

قوس سلسال

قوس سلسال هو قوس طبيعي آخر. سلسال هو المنحنى الذي يتشكل بشكل طبيعي عندما تتدلى سلسلة أو حبل بشكل غير محكم من نقطتين منفصلتين.

الشكل 5. قوس سلسال ومقارنة مع القوس المكافئ. من إعداد ريكاردو بيريز.

تتشابه السلسة مع القطع المكافئ ، ولكنها ليست بالضبط نفس الشيء الذي يمكن رؤيته في الشكل 4.

يستخدم القوس المقلوب في الهندسة المعمارية كعنصر هيكلي عالي القوة. في الواقع ، يمكن إظهار أنه أقوى نوع من القوس بين جميع الأشكال الممكنة.

لبناء قوس سلسال صلب ، ما عليك سوى نسخ شكل حبل معلق أو سلسلة ، ثم يتم قلب الشكل المنسوخ لإعادة إنتاجه على عتبة الباب أو النافذة.

قوس بيضاوي الشكل

يكون القوس بيضاوي الشكل إذا كان المنحنى الذي يربط بين نقطتين عبارة عن قطعة من القطع الناقص. يتم تعريف القطع الناقص على أنه موضع النقاط التي تضيف المسافة إلى نقطتين معينتين دائمًا كمية ثابتة.

القطع الناقص هو منحنى يظهر في الطبيعة: إنه منحنى مسار الكواكب حول الشمس ، كما أوضح يوهانس كبلر في عام 1609.

من الناحية العملية ، يمكن رسم القطع الناقص عن طريق تثبيت دعامتين على الأرض أو دبابيس في قطعة من الورق وربط خيط بها. ثم يتم شد الحبل بقلم التحديد أو القلم الرصاص ويتم تتبع المنحنى. قطعة من القطع الناقص عبارة عن قوس بيضاوي. يوضح الرسم المتحرك التالي كيفية رسم القطع الناقص:

الشكل 5. تتبع القطع الناقص باستخدام حبل مشدود. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز

يوضح الشكل 6 قوسًا بيضاويًا يربط بين نقطتي G و H.

الشكل 6. قوس بيضاوي الشكل يربط بين نقطتين. من إعداد ريكاردو بيريز.

أمثلة على الأقواس

تشير الأمثلة التالية إلى كيفية حساب محيط بعض الأقواس المحددة.

مثال 1

يوضح الشكل 7 نافذة منتهية في قوس دائري مقطوع. الأبعاد الموضحة في الشكل بالأقدام. أوجد طول القوس.

الشكل 7. حساب طول القوس الدائري للنافذة. (التعليقات التوضيحية الخاصة - صورة النافذة على Pixabay)

للحصول على مركز ونصف قطر القوس الدائري لعتبة النافذة ، يتم عمل التركيبات التالية على الصورة:

- يتم رسم المقطع KL ومنصفه.

- ثم تقع أعلى نقطة في العتبة ، والتي نسميها M. بعد ذلك ، يتم أخذ مقطع KM في الاعتبار ويتم تتبع وسيطه.

تقاطع المنصفين هو النقطة N وهو أيضًا مركز القوس الدائري.

-الآن يجب أن نقيس طول القطعة NM والتي تتزامن مع نصف القطر R للقوس الدائري: R = 2.8 قدم.

- لمعرفة طول القوس بالإضافة إلى نصف القطر لا بد من معرفة الزاوية التي يشكلها القوس. والتي يمكن تحديدها بطريقتين ، إما أن تقاس بالمنقلة ، أو بدلاً من ذلك تحسب باستخدام حساب المثلثات.

في الحالة الموضحة ، الزاوية التي شكلها القوس هي 91.13 درجة ، والتي يجب تحويلها إلى راديان:

91.13º = 91.13 درجة * π / 180 درجة = 1.59 راديان

أخيرًا نحسب طول القوس باستخدام الصيغة s = α R.

ق = 1.59 * 2.8 قدم = 4.45 قدم

مثال 2

أوجد طول القوس البيضاوي الموضح في الشكل 8 ، مع معرفة المحور شبه الرئيسي r والمحور شبه الصغير s للقطع الناقص.

الشكل 8. قوس بيضاوي الشكل بين GH. من إعداد ريكاردو بيريز.

كان العثور على طول القطع الناقص من أصعب المشاكل في الرياضيات لفترة طويلة. يمكنك الحصول على حلول يتم التعبير عنها بالتكاملات البيضاوية ولكن للحصول على قيمة عددية ، يجب عليك توسيع هذه التكاملات في سلسلة القوة. قد تتطلب النتيجة الدقيقة شروطًا لا نهائية لتلك السلسلة.

لحسن الحظ ، وجد العبقري الهندوسي الرياضي رامانوجان ، الذي عاش بين عامي 1887 و 1920 ، صيغة تقارب بدقة محيط القطع الناقص:

محيط القطع الناقص حيث r = 3 cm و s = 2.24 cm هو 16.55 cm. ومع ذلك ، فإن القوس البيضاوي الموضح له نصف تلك القيمة:

طول القوس البيضاوي GH = 8.28 سم.

المراجع

1. كليمنس س. 2008. الهندسة وعلم المثلثات. تعليم بيرسون.
2. García F. الإجراءات العددية في Java. طول القطع الناقص. تم الاسترجاع من: sc.ehu.es
3. الهندسة الديناميكية. أقواس. تعافى من geometriadinamica.es
4. بيتزا. القطع الناقص والقطع المكافئ من حولنا. تم الاسترجاع من: piziadas.com
5. ويكيبيديا. القوس (الهندسة). تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com