معامل الارتباط: الصيغ ، الحساب ، التفسير ، المثال - دوداس - 2025

و معامل الارتباط في الإحصاءات هو مؤشر يقيس الميل اثنين من المتغيرات الكمية X و Y أن يكون خطي أو علاقة طردية بينهما.

بشكل عام ، أزواج المتغيرات X و Y هما خاصيتان لنفس المجتمع. على سبيل المثال ، يمكن أن يكون X طول الشخص ووزنه Y.

الشكل 1. معامل الارتباط لأربعة أزواج من البيانات (X ، Y). المصدر: F. Zapata.

في هذه الحالة ، يشير معامل الارتباط إلى ما إذا كان هناك اتجاه نحو علاقة تناسبية بين الطول والوزن في مجموعة سكانية معينة أم لا.

يُشار إلى معامل الارتباط الخطي لبيرسون بالحرف الصغير r وقيمته الدنيا والحد الأقصى هي -1 و +1 على التوالي.

تشير القيمة r = +1 إلى أن مجموعة الأزواج (X ، Y) متوائمة تمامًا وأنه عندما تنمو X ، ستنمو Y بنفس النسبة. من ناحية أخرى ، إذا حدث أن r = -1 ، فإن مجموعة الأزواج ستكون أيضًا محاذية تمامًا ، ولكن في هذه الحالة عندما تزيد X ، تنخفض Y بنفس النسبة.

الشكل 2. قيم مختلفة لمعامل الارتباط الخطي. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

من ناحية أخرى ، تشير قيمة r = 0 إلى عدم وجود ارتباط خطي بين المتغيرين X و Y. بينما تشير قيمة r = +0.8 إلى أن الأزواج (X ، Y) تميل إلى التجمع على جانب واحد و آخر من سطر معين.

صيغة حساب معامل الارتباط r كما يلي:

كيف تحسب معامل الارتباط؟

معامل الارتباط الخطي هو كمية إحصائية مدمجة في الآلات الحاسبة العلمية ومعظم جداول البيانات والبرامج الإحصائية.

ومع ذلك ، من الملائم معرفة كيفية تطبيق الصيغة التي تحددها ، ولهذا سيتم عرض حساب مفصل ، يتم تنفيذه على مجموعة بيانات صغيرة.

وكما ورد في القسم السابق ، فإن معامل الارتباط هو التغاير Sxy مقسومًا على منتج الانحراف المعياري Sx للمتغيرين X و Sy للمتغير Y.

التباين والتباين

التغاير Sxy هو:

Sxy = / (N-1)

حيث ينتقل المجموع من 1 إلى N أزواج من البيانات (Xi ، Yi). و هي الوسيلة الحسابية للبيانات Xi و Yi على التوالي.

من جانبه ، فإن الانحراف المعياري للمتغير X هو الجذر التربيعي لتباين مجموعة البيانات Xi ، مع i من 1 إلى N:

Sx = √

وبالمثل ، فإن الانحراف المعياري للمتغير Y هو الجذر التربيعي للتباين في مجموعة البيانات Yi ، مع i من 1 إلى N:

سي = √

حالة توضيحية

من أجل توضيح كيفية حساب معامل الارتباط بالتفصيل ، سنأخذ المجموعة التالية من أربعة أزواج من البيانات

(س ، ص): {(1 ، 1) ؛ (2. 3) ؛ (3 ، 6) و (4 ، 7)}.

نحسب أولاً المتوسط ​​الحسابي لـ X و Y على النحو التالي:

= (1 + 2 + 3 + 4) / 4 = 2.5

= (1 + 3 + 6 + 7) / 4 = 4.25

ثم يتم حساب المعلمات المتبقية:

التباين Sxy

Sxy = / (4-1)

Sxy = / (3) = 10.5 / 3 = 3.5

الانحراف المعياري Sx

Sx = √ = √ = 1.29

الانحراف المعياري سي

Sx = √ =

√ = 2.75

معامل الارتباط ص

ص = 3.5 / (1.29 * 2.75) = 0.98

ترجمة

في مجموعة بيانات الحالة السابقة ، لوحظ وجود ارتباط خطي قوي بين المتغيرين X و Y ، والذي يتجلى في كل من مخطط التشتت (كما هو موضح في الشكل 1) وفي معامل الارتباط ، والذي أسفر عن قيمة قريبة جدا من الوحدة.

إلى الحد الذي يكون فيه معامل الارتباط أقرب إلى 1 أو إلى -1 ، كلما كان من المنطقي ملاءمة البيانات مع خط ، نتيجة الانحدار الخطي.

الانحدارالخطي

يتم الحصول على خط الانحدار الخطي من طريقة المربعات الصغرى. حيث يتم الحصول على معلمات خط الانحدار من تصغير مجموع مربع الفرق بين القيمة Y المقدرة و Yi لبيانات N.

من ناحية أخرى ، فإن المعلمات a و b لخط الانحدار y = a + bx ، التي تم الحصول عليها بطريقة المربعات الصغرى ، هي:

* ب = Sxy / (Sx ²) للمنحدر

* أ = - ب لتقاطع خط الانحدار مع المحور ص.

تذكر أن Sxy هو التباين المحدد أعلاه وأن Sx ² هو التباين أو مربع الانحراف المعياري المحدد أعلاه. و هي الوسائل الحسابية للبيانات X و Y على التوالي.

مثال

يتم استخدام معامل الارتباط لتحديد ما إذا كان هناك ارتباط خطي بين متغيرين. يكون قابلاً للتطبيق عندما تكون المتغيرات المراد دراستها كمية ، علاوة على ذلك ، يُفترض أنها تتبع توزيع النوع العادي.

لدينا مثال توضيحي أدناه: مقياس درجة السمنة هو مؤشر كتلة الجسم ، والذي يتم الحصول عليه بقسمة وزن الشخص بالكيلوجرام على مربع ارتفاع الشخص بوحدات المتر المربع.

تريد معرفة ما إذا كان هناك ارتباط قوي بين مؤشر كتلة الجسم وتركيز كوليسترول البروتين الدهني عالي الكثافة في الدم ، مُقاسًا بالملليمول لكل لتر. لهذا الغرض ، تم إجراء دراسة على 533 شخصًا ، تم تلخيصها في الرسم البياني التالي ، حيث تمثل كل نقطة بيانات شخص واحد.

الشكل 3. دراسة مؤشر كتلة الجسم وكوليسترول البروتين الدهني عالي الكثافة في 533 مريضاً. المصدر: معهد أراغون للعلوم الصحية (IACS).

تظهر الملاحظة الدقيقة للرسم البياني أن هناك اتجاهًا خطيًا معينًا (غير ملحوظ جدًا) بين تركيز الكوليسترول HDL ومؤشر كتلة الجسم. المقياس الكمي لهذا الاتجاه هو معامل الارتباط ، والذي تبين في هذه الحالة أنه r = -0.276.

المراجع

1. González C. إحصاءات عامة. تم الاسترجاع من: tarwi.lamolina.edu.pe
2. IACS. معهد أراغون للعلوم الصحية. تم الاسترجاع من: ics-aragon.com
3. Salazar C. and Castillo S. المبادئ الأساسية للإحصاء. (2018). تم الاسترجاع من: dspace.uce.edu.ec
4. سوبر بروف. معامل الارتباط. تم الاسترجاع من: superprof.es
5. USAC. دليل الإحصاء الوصفي. (2011). تم الاسترجاع من: Statistics.ingenieria.usac.edu.gt
6. ويكيبيديا. معامل ارتباط بيرسون. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com.